這個單元要來探討的主題是：「轉動機械」(rotary machinery) /「轉子系統」(rotor system)的「頻率」(frequency)有哪些？(2)如何求得「臨界轉速」(critical speed)？有甚麼影響？
這是這個系列的第2篇，著重在如何求得「轉子系統」(rotor system)的「臨界轉速」(critical speed)？以及說明在「臨界轉速」(critical speed)下運轉，對「轉動機械」(rotary machinery)的影響。
參閱圖片左上方的圖示，是一個典型的「轉子系統」示意圖，主要的組成，包括：(1)「馬達」(motor) 驅動源(driving unit)，(2) 機械式聯軸器(mechanical coupling)的連接機構(connection unit)，以及(3) 軸(shaft)的被動元件(driven unit)，兩端各有一個滾動軸承(rolling element bearing)。
本單元的主要內容，摘錄自：王栢村，劉健烽，2002，「轉子系統之模態特性及動態響應」，中華民國音響學會第十五屆學術研討會論文集，台南，論文編號：C1-4。
參閱圖片左邊圖示，此「轉子系統」的數學模型(mathematical model)，採用FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，簡要說明如下：
1. 以樑元素(beam element)：模擬主要的軸(shaft)結構之幾何與材料特性。
2. 以彈簧元素(spring element)：模擬兩端的滾動軸承(rolling element bearing)邊界條件(boundary)。
3. 以彈簧元素(spring element)：模擬機械式聯軸器(mechanical coupling)的邊界狀態(boundary)，忽略「馬達」(motor)。
建立了「轉子系統」的數學模型，可以進行以下分析：
1. 進行結構的「模態分析」(Modal analysis)，可求得「振動模態」，每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」(modal parameters)
，包括：(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural
frequencies)、(2)
𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)、(3) 𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal damping ratios)。由FEA，通常進行「正交模態分析」(normal mode modal analysis)，所以只可以求得：𝒇𝒓、𝝓𝒓。
2. 進行結構的「簡諧響應分析」(Harmonic
response analysis)，可求得結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。一般可以直接取得，𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =
𝑿𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇)，也就是位移除以外力。因為，要與實驗的𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)作比較，需要經過轉換才可以得到：𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)
= 𝑨𝒊 (𝒇)
/ 𝑭𝒋 (𝒇)。
同時，也對這個「轉子系統」進行EMA「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)。參閱圖片中間圖示，為「轉子系統」EMA實驗架構。主要步驟說明如下：
1. 量測「FRF」「頻率響應函數」：採用衝擊槌和加速度規，以移槌定規(roving hammer, fixed accelerometer)的方式，可量測到FRF「頻率響應函數」：𝑯𝒊𝒋 (𝒇),
𝒋=𝟏,𝟐,…,𝒎。如圖片右邊圖示，為|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|，𝒊=𝟓,𝒋=𝟓。同點的FRF，呈現出兩兩的共振點，都有反共振點。
2. 進行「曲線嵌合」(curve fitting)：由前一步驟量測得到的𝑯𝒊𝒋 (𝒇)「頻率響應函數」，透過「曲線嵌合」可以得到量測頻帶範圍內，所有「振動模態」的三個「模態參數」(modal parameters)。包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
參閱圖片左下方的兩個表格，以及右上方的圖示，討論如下：
1. 「轉子系統」的𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)：在800 Hz以內，有5個「振動模態」，分析與實驗取得的𝒇𝒓「自然頻率」，差異在5%以內。
2. 「轉子系統」的𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal damping ratios)：5個「振動模態」的𝝃𝒓，介於0.752% ~ 1.187%之間。須注意：𝝃𝒓「模態阻尼比」一般只能由實驗方法取得。
3. 「轉子系統」的𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)：右上方的圖示呈現5個「振動模態」的𝝓𝒓。藍色的箭頭，指出的是軸承的位置。前4個「振動模態」的𝝓𝒓，實驗與分析有良好的對應關係，但是，第5個「振動模態」的𝝓𝒓，就沒有對應的很好。
透過分析與實驗的「振動模態」的三個「模態參數」(modal parameters)。包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓比較探討，參閱圖片的「轉子系統」的邊界參數表格，可以逆向推導求出：兩個軸承邊界以及聯軸器的彈簧元素(spring element)參數數值。
在此須注意，這樣的邊界參數，還不完全對應於實際結構，因為，如前述，第5個「振動模態」的𝝓𝒓，並沒有對應的很好。不過，以探討「轉子系統」的「臨界轉速」(critical speed)的成因與影響來說，仍是可行的。
到這裡，已經透過實驗以及分析，瞭解了「轉子系統」的𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequencies)。由前一個單元，已知：「轉子系統」的「臨界轉速」(critical speed)，簡單的說，就是在結構𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)對應之「轉速」(rotating speed)。
接著，再對這個「轉子系統」進行不同轉速運轉下的振動量測，以驗證此「轉子系統」的「臨界轉速」(critical speed)，說明如下：
1. 參閱圖片，中間下方的圖示，「轉子系統」運轉的實驗架構：進行不同轉速運轉下的振動量測，採用了非接觸式的「渦電流位移計」(eddy current sensor, ECS)，量測軸的側向位移。
2. 參閱圖片，中間下方的圖示，「轉子系統」不同轉速的振動：水平軸為不同RPM轉速，垂直軸是軸的側向位移振動量值。可以看出，標示出3個峰值，其中，兩個峰值，和第1個以及第2個「臨界轉速」有對應，可推論是來自軸側向振動的模態效應。有???標示的峰值，不是側向振動效應，仍有峰值，表示也有共振的疑慮，可能是來自扭轉振動模態的效應，本單元，沒有進一步的討論。
3. 參閱圖片，右下方的表格，「轉子系統」的「臨界轉速」(critical speed)，顯示出兩個「振動模態」對應的𝒇𝒓「自然頻率」、𝒏_𝒄𝒓「臨界轉速」(critical speed) RPM、以及實驗觀察的 𝒏_𝒄𝒓。顯示，兩個「臨界轉速」有對應的共振現象。
綜合一下這個單元的討論：如何求得「臨界轉速」(critical speed)？有甚麼影響？總結如下：
1. 探討一個典型的「轉子系統」，主要的組成，包括：(1)「馬達」(motor) 驅動源(driving unit)，(2) 機械式聯軸器(mechanical coupling)的連接機構(connection unit)，以及(3) 軸(shaft)的被動元件(driven unit)，兩端各有一個滾動軸承(rolling element bearing)。
2. 採用FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，建立此「轉子系統」的數學模型(mathematical model)，分別進行了：(1) 「正交模態分析」(normal mode modal analysis)，可以求得：𝒇𝒓「自然頻率」(Natural
frequencies)、𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)。(2) 「簡諧響應分析」(Harmonic
response analysis)，可求得結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。
3. 對這個「轉子系統」進行EMA「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)。(1) 量測「FRF」「頻率響應函數」：採用衝擊槌和加速度規，以移槌定規(roving hammer, fixed accelerometer)的方式，可量測到FRF「頻率響應函數」：𝑯𝒊𝒋 (𝒇),
𝒋=𝟏,𝟐,…,𝒎。(2) 進行「曲線嵌合」(curve fitting)：可以得到量測頻帶範圍內，所有「振動模態」的三個「模態參數」(modal parameters)。包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
4. 對這個「轉子系統」進行不同轉速運轉下的振動量測，採用了非接觸式的「渦電流位移計」(eddy current sensor, ECS)，量測軸的側向位移，以驗證此「轉子系統」的「臨界轉速」(critical speed)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.08.20
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