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《振動噪音科普專欄》如何解讀自由邊界圓形平板的模態振型?


工程師對一個結構進行了理論模態分析(theoretical modal analysis),可以求解得到結構的「自然頻率」(natural frequency)以及對應的「模態振型」(mode shape)。如何解讀結構「模態振型」的物理意義呢?本文針對自由邊界圓形平板結構「模態振型」之物理意義解讀方式作個介紹。
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甚麼是自由邊界(free boundary)呢?也就是結構體完全是懸空的狀態,例如在太空中的衛星、空中的飛機,就是屬於「自由邊界」的結構。在地面上,就很難會有真正的「自由邊界」狀態的結構體。

在實務上,常會以懸吊方式,將結構吊掛起來,模擬接近「自由邊界」的狀態,以進行結構的實驗模態分析,這樣的實驗有助於釐清分析模型在排除「邊界效應」的影響,也就是分析模型在「模型驗證(model verification)的重要工作,有關「模型驗證」我們再另闢單元討論。

在先前的單元談過與振動模態相關的單元:模態振型(mode shape)如何解讀?物理意義?】、【典型矩形平板模態振型之解讀】、【甚麼是結構的振動模態?】,【如何解讀典型圓形平板的模態振型?】,讀者可以先瀏覽以溫故知新。

結構的振動模態(vibration modes),包括:自然頻率(natural frequency)模態振型(mode shape)、及模態阻尼比(modal damping ratio)。此三個參數稱為模態參數(modal parameters),振動模態是系統的特性,我們可以由理論分析、數值解析求得結構的「理論模態參數」;也可以由實驗方法,以「實驗模態分析」,求得「實際結構的模態參數」,可參考先前單元:【甚麼是【實驗模態分析】?What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)】。

如圖示,是一個四週為自由邊界的圓形平板結構,進行理論模態分析」所求得的「自然頻率」以及對應的「模態振型」,對於「自由邊界」的結構振動模態,可以區別兩種特性:

1.      剛體模態(rigid body mode):對於「自由邊界」結構的剛體模態,其自然頻率理論上都為0 Hz
2.      彈性體模態(elastic body mode)、或稱撓性體模態(flexible body mode):此振動模態顧名思義,就是結構體本身變形的模態特性。任意結構的彈性體模態,會有無限多個自然頻率及其對應的模態振型。

結構的剛體模態】又可以由振動型態的物理意義,區分為:
1.      三個平移模態(translational mode):分別是xyz 三個方向的平移剛體模態
2.      三個旋轉模態(rotational mode):分別是xyz 三個方向的旋轉剛體模態

此四週自由邊界圓形平板【結構的彈性體模態】,依照頻率大小編號由7開始,因為有6個剛體模態,這些模態振型的彩色的圖示、甚至動畫,是不是有眼花撩亂的感覺?不過,還是需要有系統化的解讀。

先前單元:如何解讀典型圓形平板的模態振型?】,已經介紹過圓形平板的模態振型解讀,可以由(r, θ)=(0,0)(r, θ)=(1,0)(r, θ)=(2,0)(r, θ)=(0,1)(r, θ)=(0,2)(r, θ)=(0,3)等方式來標示。看到如(r, θ)=(1,2),就可以知道是沿著半徑方向,有一圈的節線,而沿著圓週方向,有兩條節線。

從圖示,可以得知四週自由邊界的圓形平板結構的彈性體模態(elastic body mode),包括:「自然頻率」以及對應的「模態振型」,可區別如下:

1.          軸對稱模態(axisymmetric mode):由於是圓形的軸對稱結構,振動模態會有軸對稱的模態,如第7及第8個模態,自然頻率都是18.18Hz;其他如10/1112/1314/1516/1718/19都是倆倆的軸對稱模態。特徵是自然頻率相同;模態振型的物理意義相同,但是有90度相位角的差異。此軸對稱模態的共同特徵是,(r, θ)的模態振型物理意義,圓週方向都有節線出現,所以θ不為0
2.          非軸對稱模態(non-axisymmetric mode):在這彈性體振動模態中,也有2個模態是非軸對稱模態,分別是:第9個自然頻率是30.55Hz(r, θ)=(1,0);第20個自然頻率是130.44Hz(r, θ)=(2,0)。此非軸對稱模態的共同特徵是,(r, θ)的模態振型物理意義,圓週方向都沒有節線出現,所以θ0

在此四週自由邊界圓形平板【結構的彈性體模態】,若與圖2四週固定邊界圓形平板做比較,在四週自由邊界時,少了(r, θ)=(0,0) (r, θ)=(0,1)兩個模態,當然,就是因為自由邊界效應。

本篇有關四週自由邊界圓形平板的振動模態,重點整理如下:

1.      因為結構是四週自由邊界,結構振動模態會呈現兩種形式:(1)剛體模態,(2)彈性體模態。
2.      此四週自由邊界結構之剛體模態有6個,其模態振型的物理意義分別是:3個平移剛體模態、以及3個旋轉剛體模態。而此6個剛體模態的自然頻率,理論上,都為0Hz
3.      此四週自由邊界結構之彈性體模態,從第7個模態開始,理論上,有無限多個模態數量。實務應用上,會視應用場合的頻率範圍,求得適當的振動模態數量。
4.      圓形平板結構,適合以(r, θ)極座標的方式,藉以表示模態振型的物理意義。
5.      θ=0,是沿著圓週方向,沒有節線。θ=1,沿著圓週方向,有一條節線。θ=2,沿著圓週方向,有兩條節線。θ=3,沿著圓週方向,有三條節線。餘此類推。
6.      r=0,是沿著半徑方向,沒有節線。r=1,是沿著半徑方向,有一圈的節線。r=2,是沿著半徑方向,有兩圈的節線。餘此類推。
7.      圓形平板結構的彈性體振動模態,會有(1)軸對稱及(2)非軸對稱的振動模態振型之別。
8.      軸對稱模態的共同特徵是,(r, θ)的模態振型物理意義,圓週方向都有節線出現,所以θ不為0
9.      非軸對稱模態的共同特徵是,(r, θ)的模態振型物理意義,圓週方向都沒有節線出現,所以θ0
10.  因為是四週自由邊界,彈性體振動模態會少了(r, θ)=(0,0) (r, θ)=(0,1)兩個模態,當然,就是因為自由邊界效應。

希望本文對解讀形平板結構模態振型(mode shape)物理意義的說明,尤其是全自由邊界的振動模態物理意義的解讀,對您有幫助!

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2018.05.23