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《振動噪音科普專欄》甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」?


結構振動的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system)是振動課程的基礎入門單元之一,因為可以從「SDOF系統」,學習許多振動的現象。除了「外力激振(force excitation)形式外,還有「基座激振(base excitation)形式,本單元要介紹的是「外力激振」的「單自由度系統」。

首先,如圖示「質塊彈簧之實體結構」,以一個質塊」吊掛在「彈簧」的下方,而「彈簧」的另一端是固定在邊界上。如果,對「質塊」施予外力,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。

對此「質塊彈簧之實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model),說明如下:

1.          質塊(mass):假設質塊為「剛體(rigid body),以一個質點「質量m,代表質塊,SI制單位:kg
2.          阻尼元件(damper):為了模擬彈簧的「阻尼效應」,常採用的「阻尼模型(damping model)是「黏滯阻尼模型(viscous damping model),以「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)c,代表此彈簧的「阻尼效應(damping effect)SI制單位:N / m/s = N.s/m,是彈簧變形每單位速度的受力,也就是「彈簧阻尼力fd=c*vv是質塊的速度。
3.          彈簧(spring):彈簧以其「彈簧常數(spring constant)k,代表此彈簧的剛性(stiffness)SI制單位:N/m,是彈簧每單位長度變形的受力。

所以,可以得到系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

得到了「數學模型」可以推導其「運動方程式(equation of motion, EOM)ma+cv+kx=f(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0

接下來以ISO系統方塊圖」的理念作說明【甚麼是ISOSPR】。ISO:雖然是簡單的系統方塊圖,但是隱含了許多物理意義,針對此外力激振」的「單自由度系統指的是:

1.          Input輸入:也就是施加於此系統的「外力(external force),以及兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0
2.          System系統:也就是「系統參數mck。另外一個角度看系統,也就是「模態參數(modal parameters),包括:fn,「自然頻率(natural frequency)ξ阻尼比(damping ratio)
3.          Output輸出:此系統的「輸出」就是「質塊」的位移速度加速度,分別以xva代表。

至此,我們瞭解了系統參數、輸入、及輸出,接下來觀察右上方圖示,是次阻尼(under-damped)狀態下,0<ξ<1,此「質塊」的位移軌跡圖,有興趣讀者可參閱先前單元:【相同初始位移,不同阻尼比,對質塊的振動有甚麼影響?】、【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】。

甚麼是「阻尼比」呢?摘錄先前單元:【工程實務上,如何表示阻尼?黏滯阻尼的特性】,「阻尼比」是「黏滯阻尼比」的簡稱,說明如下:

1.      黏滯阻尼比(viscous damping ratio):以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明
2.      「臨界黏滯阻尼係數」(critical viscous damping coefficient):以Cc代表,定義可參閱圖示,摘錄如下,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。

甚麼是「自然頻率」呢?摘錄先前單元:【如何計算質塊彈簧系統的「自然頻率」?】。參閱圖示的「自然頻率」方程式,可知:fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5。又由「質塊」的「振動週期T 1/fn,和「自然頻率」直接的關聯性。

參閱右上方圖示,是質塊」受到「初始位移X0作用,系統是「次阻尼(under-damped)狀態下,0<ξ<1,此「質塊」的位移軌跡圖,重點討論如下:

1.      質塊」的上下來回振盪的「振動週期」,和系統的「自然頻率」相關。
2.      質塊」的上下來回振盪的「衰減」現象,和系統的「阻尼比」相關。

接著,再看數學模型」的示意圖,兩種「數學模型」的表示方式,在本質上是相同的,只是一個是「質塊」在上、一個是「質塊」在下。

接下來參閱右下方圖示,是外力f(t)=0,有「初始位移X0及「初始速度V0的作用之「質塊」位移響應軌跡圖,可以看出幾個特徵:

1.      質塊」的上下來回振盪的「對數衰減」現象,衰減速度與「阻尼比」相關。
2.      質塊」的上下來回振盪的「振動週期」,和系統的「阻尼自然頻率」相關。T=2π/ωd,其中,ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率(damped natural frequency),而ωn=(k/m)^0.5,是「無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)。若是,阻尼比很小,則ωd~=ωn,也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」。

好的,這個單元我們主要介紹的是:「外力激振」的「單自由度系統」。回顧一下本單元的重點:

1.      實體結構:也就是左上方圖示的質塊彈簧之實體結構」。
2.      數學模型化:對「實體結構」進行「數學模型化」,可以得到「數學模型」。
3.      數學模型:如圖示有兩種表示方式,一個是「質塊」在上、一個是「質塊」在下,在本質上兩種表示是相同的。
4.      系統參數:就是:mck,分別是質塊「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
5.      運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0
6.      ISO系統方塊圖:由Input輸入System系統Output輸出,解讀此系統的ISO內涵與關係。
7.      模態參數包括:fn,「自然頻率(natural frequency)ξ阻尼比(damping ratio)。也是系統參數。
8.      系統輸出響應:觀察了典型的「質塊」位移軌跡圖之特徵。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.02.14

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