這個單元要來探討的主題是：如何進行EMA量測數據之信號處理？
在前一個單元，有介紹了對一個在自由邊界(free boundary)的響鈴板結構進行EMA，參閱圖示中間下方的「EMA實驗架構」示意圖。進行EMA主要在求得結構的「模態參數」(modal parameter)，簡要的EMA實驗步驟說明如下：
1. 響鈴板(ring bell)結構：以懸吊方式，模擬自由邊界狀態。
2. 衝擊錘(impact hammer)：採用具有力感測器(force sensor)的衝擊錘，敲擊響鈴板結構，可以量測到敲擊外力的時間波形𝒇𝒋 (𝒕)。
3. 加速規(accelerometer)：採用單軸向加速規，可以量測到響鈴板側向振動之加速度響應的時間波形𝒂𝒊(𝒕)。
4. 訊號擷取卡(data acquisition
device)：連接力感測器與加速規，可將感測器的類比信號(analog signal)，轉換為數位信號(digital signal)。
5. 筆記型電腦安裝量測軟體：採用振動噪音實驗室開發的SVM (Sound and Vibration Measurement)【http://aitanvh.blogspot.com/2015/03/blog-post_31.html】，取得量測到的「數據」，包括：敲擊外力𝒇𝒋 (𝒕)與加速度響應𝒂𝒊(𝒕)的時間波形，並進行對應的「信號處理」。
其次，參閱圖示中間下方的「響鈴板EMA之佈點規畫」示意圖，總共布了72點，採用了「移錘定規」的實驗量測方式。加速規固定在 𝒊=𝟏𝟗，而移動衝擊錘作用點在
𝒋，需要敲擊所有的布點，以下的信號處理，以 𝒋=𝟐𝟗為例作說明。
這個單元要來看的是EMA的量測數據，如何進行「信號處理」(Signal processing)？有別於前一個單元，是以「物理域系統方塊圖」的角度，探討各種信號的關聯性，本單元將以「信號處理」分析角度來說明。
參閱圖示中間的「EMA量測數據之信號處理」流程示意圖，由量測到的「原始數據」(raw data)，分別是𝒇𝒋 (𝒕) 敲擊外力的時間波形，以及𝒂𝒊(𝒕) 加速度響應的時間波形，會進行3種分析，簡述如下：
1. FFT分析：「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform, FFT)，將𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)「時間波形」(time waveform)，轉換為頻率域的𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)。
2. PSD分析：「功率頻譜密度函數」(power spectral density (PSD) function)的PSD分析，係將「傅立葉頻譜」，進行PSD分析，可以取得𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)，或是取得𝑮𝒋𝒊(𝒇) 以及𝑮𝒊𝒋(𝒇)「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)。
3. FRF分析：在求得輸出和輸入兩個信號之間的關係，𝑯𝒊𝒋 (𝒇)是FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，是輸出信號𝒂𝒊(𝒕)除以輸入信號𝒇𝒋 (𝒕)，兩者之間的FRF = 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)。另外也可求得𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)是COH「關聯性函數」(coherence function, COH)，就是兩個信號之間的關聯性。
接下來，就逐項來看EMA的實驗量測數據之「信號處理」過程結果，說明如下：
1. 「時間波形」(time waveform)：量測的「原始數據」(raw data)，分別是𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)，圖示分別呈現兩者典型的時間波形，𝒇𝒋 (𝒕)是一個衝擊波，若放大來看是個三角波，而𝒂𝒊(𝒕)是具有衰減現象的隨機信號(random signal)。
2. 「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)：透過FFT分析，將時間波形𝒇𝒋 (𝒕) 以及𝒂𝒊(𝒕)，轉換為頻率域的頻譜，取得𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)。𝑭𝒋 (𝒇)是敲擊外力的「傅立葉頻譜」，𝑨𝒊
(𝒇)是加速度響應的「傅立葉頻譜」。參閱圖示的|𝑭𝒋 (𝒇)| 以及|𝑨𝒊 (𝒇)|，分別是𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)的振幅(Amplitude)，因為「傅立葉頻譜」、是複數(complex number)，而且無法執行平均處理(averaging)。
3. 「功率頻譜密度函數」(power spectral
density (PSD) function)：係將𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)「傅立葉頻譜」，進行PSD分析，可以取得𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)，分別是𝑭𝒋 (𝒇) 以及𝑨𝒊 (𝒇)的「自身功率頻譜」。也可以取得𝑮𝒋𝒊(𝒇)是𝑭𝒋 (𝒇)以及𝑨𝒊 (𝒇)的「交叉功率頻譜」、或是取得𝑮𝒊𝒋(𝒇) 是𝑨𝒊 (𝒇)以及𝑭𝒋 (𝒇)的「交叉功率頻譜」。須注意：𝑮𝒋𝒊(𝒇)和𝑮𝒊𝒋(𝒇)，兩個是不相等的。在PSD分析，是可以執行平均處理(averaging)，參閱圖示，所有的PSD都是取平均次數AVG=3次，因為進行EMA，每一個量測點都需要敲擊3次。可以觀察到「功率頻譜」曲線相較於「傅立葉頻譜」平滑許多，平均處理消除了雜訊(noise)。
4. 「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：參閱圖示的「頻率域系統方塊圖–實驗分析」，由實驗分析，要取得𝑯𝒊𝒋 (𝒇)頻率響應函數，其分析方式是：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊(𝒇)
/ 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)。其中，𝑮𝒋𝒊(𝒇)是𝑭𝒋 (𝒇)以及𝑨𝒊 (𝒇)的「交叉功率頻譜」。FRF的物理意義：𝑯𝒊𝒋 (𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)，也就加速度響應頻譜𝑨𝒊 (𝒇)除以敲擊外力頻譜𝑭𝒋 (𝒇)的「頻率響應函數」。
5. 「關聯性函數」(Coherence function, COH)：其定義為：𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇) = (𝑮𝒊𝒋(𝒇) 𝑮𝒋𝒊(𝒇)) / (𝑮𝒊𝒊(𝒇)𝑮𝒋𝒋(𝒇))，界定了兩個信號之間的關聯性。COH的數值範圍，介於0 ~ 1之間，COH = 1，表示有良好的關聯性，反之，COH = 0，表示兩個信號完全沒有關聯性。COH ~= 1，是檢查EMA實驗數據品質的基本條件。如何判斷評估的實驗品質，將另闢單元討論。
綜合一下這個單元的討論，是從「信號處理」(Signal processing)分析的角度，來看進行EMA量測到的與分析得到的「數據」(data)，總結如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)、𝒂𝒊(𝒕)：「時間波形」(time waveform)，是EMA實驗量測的「原始數據」(raw data)。
2. 𝑭𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊 (𝒇)：「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，是透過FFT分析取得。
3. 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)：「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)。𝑮𝒋𝒊(𝒇)、𝑮𝒊𝒋(𝒇)：「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)。都是透過PSD分析取得。
4. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)：「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，是透過FRF分析取得。
5. 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)：「關聯性函數」(coherence function, COH)，是透過COH分析取得。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
