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《振動噪音科普專欄》位移、速度、加速度之關係與轉換

表達振動的物理量是位移、速度、加速度,這三者之間的關係呢?當我們量測到位移響應,可以得到速度及加速度嗎?又,如果量測到的是加速度響應,可以推算速度、位移嗎?本單元將以單一頻率的簡諧波,說明位移、速度、加速度之關係。

讀過物理學都知道,位移、速度、加速度三者是微分積分的轉換,由微分、積分的理論運算,若知道位移、速度、加速度三者之一,都是可以交互轉換求得另外兩個物理量。

如果,當我們量測到了位移,以x(t)來代表的話,就x(t)t 一次微分,就可以得到速度v(t)。就v(t)t再一次微分,就可以得到加速度a(t)。由位移做一次微分、或二次微分,在理論上以及實務上,已知位移x(t),是能夠合理順利取得速度v(t)或加速度a(t)

反之,如果量測到了加速度a(t),理論上,可以就a(t)t做積分,就可得到速度v(t);就v(t)t做積分,又可到位移x(t)。在此,須注意這是數學理論上的做法,但是,實務上並不是簡單的積分可以求得,因為有積分常數的未知數,需要初始條件的假設,因此,實務上要由加速度求得速度及位移,是有難度的,此現象及處理方式,我們在另外的單元再探討。

如圖示,考慮單一頻率的餘弦波為位移函數x(t) =Xcos(ωt-ϕ),對x(t)做一次微分及二次微分,可分別得到速度函數v(t)= -ωXsin(ωt-ϕ)= -Vsin(ωt-ϕ),以及加速度函數a(t)= -ωVcos(ωt-ϕ)=-A cos(ωt-ϕ)。整理如下:

1.位移函數:x(t) =Xcos(ωt-ϕ)
2.速度函數:v(t)= -ωXsin(ωt-ϕ)= -Vsin(ωt-ϕ)= Vcos(ωt-ϕ-π/2)
3.加速度函數:a(t)= -ωVcos(ωt-ϕ)=-A cos(ωt-ϕ)= A cos(ωt-ϕ-π)

由以上的數學式,綜合觀察的現象如下:

1.     振動量的大小,主要看位移振幅X、或速度振幅V= Xω、或加速度振幅A= Vω=Xω^2,三個物理量的振幅關係:V= XωA =Xω^2,是重要的關係式。
2.     再觀察三個物理量的相位角關係,都以轉換為cosine函數來對比,可以發現v(t)x(t)差了π/2相位角,而a(t)x(t)差了π相位角,以角度來看,剛好是90度與180度。
3.     又以x軸為圓周頻率ω來看,如圖示右方所示,位移振幅X為常數,呈現水平線速度振幅V= Xω是頻率的一次方,呈現斜直線加速度振幅A =Xω^2是頻率的二次方,呈現二次曲線
4.     如圖示右方所示,可以大致看出,在低頻率區,位移振幅X最大;在中頻率區,速度振幅最大;在高頻率區,加速度振幅最大。
5.     因此,在一些機器振動允收規範,會界定低頻率區,以位移振幅為允收標準的依據;在中頻率區,以速度振幅為允收標準的依據;在高頻率區,以加速度振幅為允收標準的依據。
6.     中低頻率區域、以及中高頻率區域的區隔,稱為corner frequency,在此稱為頻率區間的拐角頻率,以ISO 10816-1為例,此corner frequency中、低頻率區域的區隔為10Hz 中、高頻率區域的區隔為 200Hz

本單元以介紹單一頻率的餘弦波,探討說明位移、速度、加速度三者之間的關係,以及相關重要特性,希望對讀者有所幫助。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2017.12.09