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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振FRF系列(3):不同形式圖示的頻率響應函數(FRF)有甚麼特徵?

這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的3,要來探討的主題是:不同形式圖示的「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼特徵?

 

首先,快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

 

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),其中,𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。

 

當這個正弦波的簡諧外力」,作用在此SDOF單自由度系統」,由先前單元:#208,【SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?】,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以區別出,有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

 

其中,有興趣的是「穩態位移響應」,也是簡諧響應」,可以寫出位移響應方程式:𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),其中,

 

1.      𝑿:是「穩態位移響應」的「位移振幅」。

2.      𝒇:是「穩態位移響應」的「響應頻率」,此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。

3.      𝝓是「穩態位移響應」的「相位角(phase angle),是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差。

 

特別有興趣的是「位移振幅𝑿(𝒇) 相位角𝝓。為了有效率的全盤了解穩態位移響應」的特性,所以,定義了頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇)

 

1.      𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。

2.      𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

3.      𝑯(𝒇) =穩態位移振幅/外力振幅

 

這樣,可以快速知道𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)的關係。又,因為不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿,所以,分別以𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)變數符號表示之。

 

針對「單自由度系統」之 FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],會和系統參數」:mck相關,也會隨著不同的「激振頻率𝒇,而會有不同的𝑯(𝒇)

 

接下來,舉一個實際數值案例做探討,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),繪製FRF的數值案例。可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = 0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以是次阻尼狀態。

 

由於𝑯(𝒇) 是複數(complex number),可以繪製4種圖示,各個圖示的水平軸是頻率,代表的是簡諧外力𝒇(𝒕)的「激振頻率𝒇垂直軸,分別是 𝑯(𝒇)振幅(amplitude)相位角(phase angle)實數部(real)虛數部(imaginary)

 

有關「單自由度系統」的FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)4種圖示的重要特徵,討論如下:

 

1.      𝒇 =𝒇𝒏,也就是共振激振(resonant excitation):在「振幅」圖,就是「峰值(peak)最高的位置,代表位移的響應最大,就是「共振(resonance),有大的振動響應。在「相位角」圖,剛好會是90°也就是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差90°。在「實數部」圖,剛好是通過「0」,而在「虛數部」會在其最高的「峰值」。

2.      𝒇𝒇𝒏,也就是非共振激振(non-resonant excitation):當 𝒇 <𝒇𝒏在「相位角」圖,會是接近於,也就是位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)是接近同相(in-phase)。如果, 𝒇>𝒇𝒏在「相位角」圖,會是接近於180°,也就是位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)是接近反相(out-of-phase)

3.      𝒇𝒇𝒏,也就是接近於共振激振(resonant excitation):如果,「激振頻率」很接近於「自然頻率」,可以觀察FRF振幅」圖,也都有高的位移響應。在「相位角」圖,可以觀察「激振頻率」逐漸增大,在穿越「自然頻率」時,會有180°相位角」的變化。若是接近「共振激振」,「相位角」會是接近90°

4.      如何避免「共振」呢?當然,就是讓「激振頻率」遠離結構的「自然頻率」,建議:以「20%」原則,也就是 𝒇 < 0.8 𝒇𝒏,或是 𝒇 > 1.2 𝒇𝒏,由「振幅」圖的觀察,可以知道在遠離結構「自然頻率」的簡諧激振,其位移響應是相對的小很多。

 

最後,介紹另一種表示FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)的圖示,稱為奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極坐標圖(polar plot),將 𝑯(𝒇)的「實數部」設為水平軸,𝑯(𝒇)的「虛數部」設為垂直軸,可以將每一個頻率點的數值,描繪出來,得到如右邊圖示,形成一個「圓圈」。

 

𝒇 =𝒇𝒏,剛好是在虛數部」的最大值位置,在Nyquist plotpolar plot,看不到頻率資訊,不過,對照「實數部」及「虛數部」,可以知道隨著「激振頻率」的增加,是沿著這個「圓圈」順時針變化。

 

這個單元的重點是在探討:不同形式圖示的「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼特徵?總共介紹了5種圖示,由FRF可以看到甚麼資訊,綜合如下:

 

1.      振幅(amplitude)FRF曲線的峰值(peak)所對應的頻率,會是結構系統的「自然頻率(natural frequency),在相等或相近於「自然頻率」的「簡諧激振」,會有高的振動量,就是「共振激振(resonant excitation)。要如何避免「共振」呢?建議:以「20%」原則,也就是「激振頻率」遠離「自然頻率」「20%」以上,也就是 𝒇 < 0.8 𝒇𝒏,或是 𝒇 > 1.2 𝒇𝒏

2.      相位角(phase angle)激振頻率」逐漸增大,在穿越「自然頻率」時,會有180°相位角」的變化,所以,在觀察頻譜圖,可以利用此特徵,檢視是否有「自然頻率」的存在。同時也知道,「激振頻率」遠小於「自然頻率」時,「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)是接近同相(in-phase)。如果,「激振頻率」遠大於「自然頻率」時,「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)是接近反相(out-of-phase)

3.      實數部(real)通過「0」的頻率,會是結構的「自然頻率」。

4.      虛數部(imaginary):在其最高的「峰值」,會是結構的「自然頻率」。

5.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極坐標圖(polar plot):因為是單自由度系統」,只有一個模態,會形成一個「圓圈」,在「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.05.08