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《振動噪音科普專欄》餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?


本單元以餘弦波(cosine wave)為例,說明甚麼是數學意義(mathematical meaning)、幾何意義(geometry meaning)、以及物理意義(physical meaning)

典型的餘弦波可以寫出以下的方程式:x(t)=Xcos(2πft+ϕ),或是=Xcos(ωt+ϕ) ,當寫出一個方程式,可以說這就是其數學意義,當然就要了解其中所有變數代表的意義,其中:

(1)      x(t),代表餘弦波,x是時間t的函數,代表隨時間t變化的量值。
(2)      X為此餘弦波的振幅(amplitude)
(3)      f為此餘弦波的頻率(frequency),單位:Hz
(4)      ω=2πf為此餘弦波的圓周頻率(circular frequency),單位:rad/sec
(5)      ϕ此餘弦波的相位角(phase angle),單位:rad

寫出x(t)餘弦波的方程式,雖然對每一個變數符號,包括:x(t)tXfωϕ都有說明其名稱及意義,其實,還是不容易了解各個變數以及餘弦波的意涵,所以,可以透過圖示的方式藉以表達此餘弦波方程式的幾何意義。

圖示,為餘弦波的幾何示意圖,水平軸為時間t,垂直軸為x(t),餘弦波x(t)呈現波動的特徵,可以觀察出幾個特性:

(1)      此波形的最大值為X,最小值為-X,原來方程式中的X,就是+/-之間的最大值及最小值,所以稱為餘弦波的振幅。
(2)      圖示中,波峰到波峰的時間間距為T,因為有重複性的特徵,所以稱T為週期(period)
(3)      再進一步探討,可以發現:f=1/T此餘弦波的頻率f,會是週期T的倒數。
(4)      不同的相位角,則是會使得餘弦波最大值出現在不同的時間點,此時間差如圖示為ϕ/ω

由以上對餘弦波在時間域的圖示說明,可以看出波形的特徵,可以說就是此餘弦波的幾何意義,特別是餘弦波在時間域的幾何意義。

如果,x(t),代表的是位移函數,那麼這個餘弦波,就有了明確的物理意義,x(t)是時間t的位移函數。當然,實務上x(t)可以用以代表不同的物理量,例如:速度、加速度、電壓、電流、溫度等等,這樣有了物理單位,就有了明確的物理意義。

在此綜合一下,甚麼是數學意義、幾何意義、及物理意義:

(1)      數學意義:寫出如餘弦波的數學方程式,x(t)=Xcos(2πft+ϕ),或是x(t)=Xcos(ωt+ϕ) 可以說是此餘弦波的數學意義,當然要知道每一個變數的名稱及代表的意義,包括:x(t)tXfωϕ
(2)      幾何意義:當劃出如圖示餘弦波x(t)在時間軸上的波動現象,可以說是此餘弦波的幾何意義。當然,就可以觀察出此波動曲線,在不同變數設定值之各種現象與特徵。如果能夠充分了解其幾何現象,對餘弦波的數學方程式,就容易由幾何意義來了解其數學意義。
(3)      物理意義:如果x(t)代表的是位移,那麼,位移就是此餘弦波的物理意義。當然,在許多不同場合,如溫度、電壓、電流等都可以有餘弦波的特徵,此時,餘弦波的數學方程式就有了不同的物理意義。

本單元以一個單一頻率的餘弦波,解釋說明其數學方程式的數學意義,並以圖示解釋其幾何意義。物理意義則是應用此數學方程式在表示不同的物理量,在振動,常見的物理量就是位移、速度、及加速度。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2017.12.05