這個單元要來探討的主題是：有「洩漏」(Leakage)信號，施予「窗函數」(Window)處理，如何改善取得較佳的「頻譜」(spectrum)？
在前一個單元：#453，【有洩漏Leakage信號，其頻譜會有甚麼特徵？】，已經有介紹過，有「洩漏」(Leakage)信號，進行FFT分析信號處理，會取得不正確的「頻譜」(spectrum)。又，「洩漏」(Leakage)一定發生，必須進行窗函數處理(windowing)，這個單元，就來探討有關windowing窗函數處理。
首先，來回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。
4. Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。本單元將以此設定，來探討信號的「洩漏」(leakage)，如何施予「窗函數」(Window)處理，以改善取得較佳的「頻譜」(spectrum)？
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。典型的窗函數，如：(1) ”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，(2) ”Hanning”=「漢寧窗函數」，(3) ”Hamming”=「漢明窗函數」，(4) ”Flat
top”=「平頂窗函數」。本單元，將探討以上4種「窗函數」(Window)處理，其差異性比較。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，定義如下：
1. 線性平均(Linear averaging)。
2. 平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。因為是一次性的信號，所以，取一次平均，就是沒有平均處理(Averaging)。
3. 平均重疊率(Overlap % for averaging)：Overlap
= 0 %。因為，沒有平均處理(Averaging)，所以，為0 %。
參閱圖片右上方圖示，分別呈現：
1. 「無洩漏」(No Leakage)信號，F0 =10.0 Hz，A =1：在「時間波形」(time waveform)，量測時間T = 1/R = 1 sec，擷取到1秒，有10個完整的sine波週期，其振幅值(amplitude)是1。得到的「頻譜」(spectrum)，在F=10 Hz，有一峰值(peak)，其振幅值(amplitude)是1。在F=10 Hz兩側以及其他的頻率點，均為零。此「頻譜」完全正確的對應「時間波形」的特徵。
2. 「有洩漏」(With Leakage)信號，F0 =10.5 Hz，A =1：在「時間波形」(time waveform)，量測時間T = 1/R = 1 sec，擷取到1秒，只有9.5個的sine波週期，其振幅值(amplitude)是1。雖然，起始點與結束點的值，都為零，但是，最後末端的信號，沒有擷取到完整的sine波週期。得到的「頻譜」(spectrum)，在F=10 Hz、F=11 Hz，分別有峰值(peak)，其振幅值(amplitude)不是1，而是0.652063、0.621899，兩側以及鄰近的頻率點，不為零。此「頻譜」並沒有正確的解析出單一頻率sine波「時間波形」的「頻譜」特徵。而且，這種「頻譜」特徵，會讓人誤判、以為是振動模態(vibration mode)的響應特性。這種情形，就是所謂的「洩漏」(Leakage)的現象。
再觀察「有洩漏」(With Leakage)信號的「時間波形」(time waveform)以及「頻譜」(spectrum)，有施予”Hanning”「漢寧窗函數」處理的特徵，說明如下：
1. 「時間波形」(time waveform)：圖片中，黑色的曲線是原始的「時間波形」，紅色的曲線是施予”Hanning”「漢寧窗函數」處理的「時間波形」，起始和結束的信號有降低，均趨近於零，而中間的信號有略微提高。
2. 「頻譜」(spectrum)：當以”Hanning”「漢寧窗函數」處理的「時間波形」，進行FFT分析，所得到的「頻譜」，可以大致看到，有明顯的改善「頻譜」的「洩漏」(Leakage)現象。也就是，更接近單一頻率sine波的「頻譜」特徵。
接著，回顧一下「洩漏」(Leakage)的現象、原因、以及處理對策：
1. Know what? 現象：由於取樣的「時間波形」，不是完整的週期。信號頻率F0，不是FFT的頻譜解析頻率R = 1 Hz。「頻譜」的峰值，不正確，而且，F0鄰近頻率，有振幅值。無法取得正確的頻率(frequency)和振幅值(amplitude)，進而影響實務上判斷信號的頻率和振幅值。
2. Know why? 原因：F0 / R 不是整數(integer)。其中，R = 頻率解析度(Resolution)，R = Fmax / LOR =
200/200 = 1 Hz。
3. Know how? 對策：實務上，一個信號，任何頻率都有，不可能F0/R=整數，所以，「洩漏」(Leakage)一定發生，必須進行窗函數處理(windowing)。
本單元將針對4種windowing窗函數處理，所得到的「頻譜」來瞭解窗函數處理(windowing)的效應以及改善情形。
參閱圖片右邊中間的左側圖示，顯示了「有洩漏」(With Leakage)信號，F0 =10.5 Hz，A =1，在施予4種「窗函數」(Window)處理的差異性比較，先從振幅(Amplitude)解析的角度來看：
1. ”Box”「方形/均勻/矩形窗函數」：相當於沒有「窗函數」(Window)處理，其「頻譜」有明顯的「洩漏」(Leakage)現象。又，在F=10 Hz的振幅值，約0.6520，然而，實際的訊號是頻率F0 =10.5 Hz，振幅值為1。所以，”Box”「窗函數」(Window)處理，所得到的「頻譜」是不好的、不正確的「頻譜」。
2. ”Hanning”「漢寧窗函數」：其「頻譜」有明顯的改善了「洩漏」(Leakage)現象。又，在F=10 Hz的振幅值，約0.8476，然而，實際的sine波訊號是頻率F0 =10.5 Hz，振幅值為1。所以，”Hanning”「窗函數」(Window)處理，所得到的「頻譜」雖然不完美，因為，振幅值仍然不是1，大約有15%的差異。但是，大大改善了「頻譜」的「洩漏」(Leakage)現象，不會誤判是振動模態(vibration mode)的響應特性。
3. ”Hamming”「漢明窗函數」：其「頻譜」特徵，和”Hanning”「漢寧窗函數」很類似，都能改善了「頻譜」的「洩漏」(Leakage)現象，不會誤判是振動模態(vibration mode)的響應特性。又，sine波訊號的振幅值，比”Hanning”「漢寧窗函數」更好一些，約0.8797，大約有12%的差異。
4. ”Flat
top”「平頂窗函數」：其「頻譜」特徵，最顯著的效應是，其sine波訊號的振幅值，非常接近於1，大約是0.9967，僅有0.3%的差異。因此，可以正確的解析sine波訊號的振幅值。所以，”Flat top”「平頂窗函數」常應用於感測器(sensor)的校正(calibration)。
接著，再參閱圖片右邊中間的右側圖示，顯示了「有洩漏」(With Leakage)信號，F0 =10.5 Hz，A =1，在施予4種「窗函數」(Window)處理的差異性比較，觀察其頻率(frequency)解析的效果：
1. ”Box”「方形/均勻/矩形窗函數」：相當於沒有「窗函數」(Window)處理，其「頻譜」有明顯的「洩漏」(Leakage)現象。所以，”Box”「窗函數」(Window)處理，所得到的「頻譜」是不好的、不正確的「頻譜」。
2. ”Hanning”「漢寧窗函數」：其「頻譜」有明顯的改善了「洩漏」(Leakage)現象。由實際的sine波訊號是頻率F0 =10.5 Hz，振幅值為1。”Hanning”「漢寧窗函數」有顯示微小振幅值的範圍，是8、9、10、11、12、13。而，實際訊號是介於10、11之間。
3. ”Hamming”「漢明窗函數」：其「頻譜」特徵，和”Hanning”「漢寧窗函數」很類似，都能改善了「頻譜」的「洩漏」(Leakage)現象。”Hamming”「漢明窗函數」有顯示微小振幅值的範圍，是9、10、11、12。而，實際訊號是介於10、11之間。可以看出，”Hamming”比”Hanning”的頻率(frequency)解析，又更好一些。
4. ”Flat
top”「平頂窗函數」：其「頻譜」特徵，最顯著的效應是，其sine波訊號的振幅值，非常接近於1，大約是0.9967，僅有0.3%的差異。也就是，”Flat
top”「平頂窗函數」有最佳的振幅(Amplitude)解析。但是，”Flat
top”「平頂窗函數」的頻率(frequency)解析，卻是最差的，顯示微小振幅值的範圍，是7、8、9、10、11、12、13、14。而，實際訊號是介於10、11之間。
從以上的振幅(Amplitude)解析、以及頻率(frequency)解析，排除”Box”，來看哪一種「窗函數」(Window)處理比較好？總結如下：
1. 振幅(Amplitude)解析：最優的順序依次如下，”Flat top”、”Hamming”、”Hanning”。
2. 頻率(frequency)解析：最優的順序依次如下，”Hamming”、”Hanning”、”Flat top”。
在振動或噪音的頻譜分析實務應用，「窗函數」(Window)處理的選用原則：
1. 對任意的隨機信號(random signal)，因為任何頻率都可能存在，為了要充分瞭解信號的頻率組成，採用”Hanning”或”Hamming”「窗函數」(Window)處理，都可以對「頻譜」的振幅(Amplitude)與頻率(frequency)解析，有權衡的、有效的處理。
2. 對單一頻率的sine波信號，例如加速度規(accelerometer)或是麥克風(microphone)的感測器(sensor)之校正(calibration)，標準振動源、或標準聲源的信號，就是單一頻率的sine波信號，因此，可以採用有最佳振幅(Amplitude)解析的”Flat top”「平頂窗函數」。
綜合一下這個單元的討論，有「洩漏」(Leakage)信號，施予「窗函數」(Window)處理，如何改善取得較佳的「頻譜」(spectrum)？重點說明如下：
1. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
2. 針對Control variables控制變數，尤其重要，設定的參數，包括：(1) FFT 參數(parameters)：Fmax = 200 Hz，以及LOR = 200 條。(2) 窗函數形式(Window Type)：選擇4種「窗函數」(without window)的比較，包括：”Box”「方形/均勻/矩形窗函數」、”Hanning”「漢寧窗函數」、”Hamming”「漢明窗函數」、”Flat
top”「平頂窗函數」。(3) 平均處理(Averaging) 定義：線性平均(Linear averaging)、Navg = 1次、Overlap = 0 %。
3. 探討了「無洩漏」(No Leakage)信號，F0 =10.0 Hz：因為，F0/R=整數，所以，得到的「頻譜」完全正確的對應「時間波形」的特徵。
4. 探討了「有洩漏」(With Leakage)信號：也觀察了不同窗函數處理(windowing)處理，對「頻譜」的振幅(Amplitude)與頻率(frequency)解析，能有權衡的、有效的處理方式。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.12.22
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