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《振動噪音科普專欄》高爾夫球桿模型驗證


先前單元:【甚麼是「模型驗證」?】,簡要介紹模型驗證的需要性及實施方法。【如何應用EMA於分析模型的模型驗證?】,說明如何引用EMA於模型驗證。【模型驗證的意義與虛擬測試之應用】,介紹應用模型驗證理念於虛擬測試Virtual Testing的工程實務案例,【結合「CAE」與「EMA」之工程設計與應用:後懸吊扭曲管件結構】,【Integration of CAE and EMA for Engineering Design and ApplicationsVertical Auxiliary Table】,分別以實際的「後懸吊扭曲管件結構」以及「振動試驗機的垂直輔助平台」之設計變更流程,探討模型驗證(Model Verification)的意義與虛擬測試(Virtual Testing)之應用。

這個單元我們再來看高爾夫球碳纖維球桿模型驗證,主要有三個步驟:

1.      對球桿進行實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA):以衝擊鎚為驅動器敲擊球桿,以加速度規量測加速度響應,以取得球桿的頻率響應函數(frequency response function, FRF)。再對量測的一系列FRF,進行曲線嵌合(curve fitting),可以擷取出球桿的模態參數(modal parameter),包括:自然頻率(natural frequency)模態阻尼比(modal damping ratio),以及對應的模態振型(mode shape)
2.      對球桿進行有限元素分析(finite element analysis, FEA):在FEA可以分成兩個步驟:(1)理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到理論的自然頻率以及模態振型(2)簡諧響應分析(harmonic response analysis),可以得到理論的頻率響應函數
3.      進行模型驗證(model verification, MV)的比較程序:觀察圖示共有三個區塊的圖示及表格,右下角是頻率響應函數,左下角是高爾夫球桿的自然頻率比較表,右上角是EMAFEA求得的球桿模態振型

這個單元著重在討論,在模型驗證的比較程序,為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數

首先,由系統的角度,繪製系統方塊圖,可以從3個面向來說明:

1.      物理域(physical domain):如物理域方塊圖,輸入fj(t),代表的是衝擊鎚的外力輸入時間域信號;j,則代表了外力的作用位置與方向。輸出ai(t),代表的是量測到加速度的時間域響應;i,則代表了加速規的擺放位置及量測方向。系統資訊當然就是球桿的幾何與材料參數,在理論分析時,對應的就是[M][C][K]三個矩陣,分別是質量矩陣(mass matrix)阻尼矩陣(damping matrix)勁度矩陣(stiffness matrix)
2.      模態域(modal domain):除了從物理域角度看系統,也可由模態域角度來觀察系統,也就是模態參數,每一個振動模態(vibration mode),都有自然頻率、模態振型、及模態阻尼比,這三個模態參數,圖示中的下標符號r,代表第r個振動模態,r=1,2,…,由低頻率開始排序,理論上,有無限多個振動模態。首先,需要有一個認知,當結構系統參數如幾何形狀、材料參數、邊界條件等固定不變的話,系統的模態參數,也是不變的,也就是不會因為輸入的不同,而改變了結構的振動模態。由TMA正規模態分析(normal mode analysis),只可以得到自然頻率及模態振型;而由EMA,三個模態參數,包括模態阻尼比都可以取得。
3.      頻率域(frequency domain):第三個角度看系統,就是頻率域的系統方塊圖。系統方塊呈現的是Hij(f),就是頻率響應函數,理論上,Hij(f)=Ai(f)/Fj(f),加速度ai(t)傅立葉頻譜Ai(f),除以外力fj(t)傅立葉頻譜。在此,Hij(f)ij,分別代表了加速度及外力的位置與方向。所以本案例的頻率響應函數單位是g/N,也就是加速度除以力的單位。

頻率響應函數圖示,與結構的模態參數,包括自然頻率、模態振型及模態阻尼比,會有怎樣的關聯性呢?綜合討論如下:

1.      頻率響應函數圖示之FRF曲線:由於頻率響應函數是複數(complex number),是因為有阻尼效應的關係。又,模態阻尼比的大小,會影響FRF曲線的尖銳度。本案例FRF圖示,取複數的振幅(amplitude),並以對數座標方式畫出FRF曲線。
2.      FRF曲線的峰值頻率:由頻率響應函數圖示,FRF曲線的每一個峰值所對應的頻率,簡稱峰值頻率(peak frequency),就是結構的自然頻率。一般由最小的自然頻率標註f1,餘此類推,理論上,有無限多個自然頻率。在此高爾夫球桿的案例,在2500Hz頻率範圍內,可以觀察到有7個峰值頻率,也就是有7振動模態(vibration mode)
3.      振動模態的模態參數,是成對倆倆對應:觀察每個峰值頻率,由EMAFEA所對應得到的模態振型,都有明確的倆倆對應之相同物理意義。在此要注意,在自然頻率比較表中,能夠將EMAFEA的自然頻率放在一起比較,探討其自然頻率的差異百分比,必須要確認,所比較的是相同的模態,因為,振動模態的模態參數,是成對出現的。
4.      軸對稱模態:在此高爾夫球桿案例,因為球桿是軸對稱結構,所以會有軸對稱模態(axisymmetric mode),其兩個模態的自然頻率相同,模態振型呈現90度的相位角差,基本上,都是彎曲模態(bending mode),一為y方向、一為z方向的彎曲變形特性。自然頻率比較表中,FEA的分析結果,呈現F07F09等,忽略了F08F10,是因為軸對稱模態的緣故。
5.      剛體模態與彈性體模態:在EMA模態(mode)標示,是E01E02,而FEAF07F09,是為什麼呢?此球桿是全自由邊界(free boundary)的分析,所以會有6剛體模態(rigid body mode)F07開始,才是對應於實驗量測取得的結構彈性體模態(elastic body mode),或稱撓性體模態(flexible body mode)

讀者看到這裡,應該可以理解:在模型驗證的比較程序,為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數?那麼需要比較到甚麼程度,模型驗證才算成功?又,需要哪些技術能力,才能執行模型驗證呢?提示如下:

2.      學會FEA:包括,理論模態分析以及簡諧響應分析。
3.      學會MV的比較程序:要觀察頻率域頻率響應函數,分析與實驗的FRF曲線,不僅趨勢要一致,量值大小也要相符。同時,也要比對模態域模態參數,特別是自然頻率誤差在合理的範圍,此【合理範圍】則需工程判斷(engineering judgement),依照案例及需求自訂。

本單元以高爾夫球碳纖維球桿模型驗證,探討模型驗證的比較程序,為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數?希望對讀者在模型驗證的物理意義與應用,有進一步的了解與體會!

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2018.10.01