這個單元要來探討的主題是：甚麼是「動態模數」(dynamic modulus)？和「靜態模數」(static modulus)有甚麼不同嗎？
首先，來看「模數」(modulus)這個名詞，工程應用上，常見到的兩個名詞，「彈性模數」(Elastic modulus)、「楊氏係數」(Young’s modulus)。其簡單的定義：𝑬 =
𝝈/𝜺。其中，𝑬 就是「彈性模數」或稱「楊氏係數」。𝝈 是應力(stress)。𝜺 是應變(strain)。
對比於前一個單元，是在談彈簧元件(spring component)的「剛性」(stiffness)，就是其
𝒌 「彈簧常數」(spring component)，口語上也稱，「勁度」(stiffness)。𝒌 的定義：𝒌 = 𝑭𝒔 / 𝒙。其中，𝑭𝒔 是彈簧力(spring force)；𝒙 是彈簧元件的變形位移(displacement)。
𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)或稱「楊氏係數」(Young’s modulus)，是一個材料的機械性質(mechanical property)，也可以說是材料的「剛性」(stiffness)。
對比於前一個單元，彈簧元件(spring component)的「剛性」(stiffness)，有所謂的「靜態剛性」(static stiffness)和「動態剛性」(dynamic stiffness)。
本單元要介紹的是，一個材料的𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)或稱「楊氏係數」(Young’s modulus)，也有所謂的「靜態模數」(static modulus)和「動態模數」(dynamic modulus)。
首先，來看如何量測取得材料的「靜態模數」(static modulus)。其測定原理，是施予靜力負荷(static force)。通常透過拉伸試驗(tension testing)來求得一個材料的
𝑬 值。參閱圖片左邊中間圖示，是摘錄自ASTM E 8M-04，其中說明了拉伸試驗的試體(Specimen of
Tension Testing)的幾何形狀，可以有兩種形式：(1) 圓柱體、或(2)
薄板型。
備註：ASTM = American
Society for Testing and Materials。ASTM美國材料和試驗協會國際組織，是國際標準化組織，它是制定、發布有關材料、產品、系統和服務的技術標準。
參閱圖片右上方圖示，是典型的鋼材，製作成試體(specimen)，透過拉伸試驗(tension testing)，所量測得到的應力應變曲線(stress-strain curve)，如紅色曲線，係針對延展性材料(ductile material)，重點說明如下：
1. 水平軸是應變(strain)：𝜺 =
𝚫𝑳/𝑳。其中，𝑳
是試體的公稱長度。𝚫𝑳是拉伸過程的變形位移。𝜺 是單位長度的變形量，就是試體的應變(strain)，是無因次單位。
2. 垂直軸是應力(stress)：𝝈 = 𝑭/𝑨。其中，𝑭 是拉伸試體的外力，可視為靜力負荷(static force)。𝑨 是試體的截面積。𝝈 是單位面積的受力，就是試體的應力(stress)，單位：Pa = N/m^2。
3. 彈性區(elastic zone)：𝝈 應力(stress)與 𝜺 應變(strain)，呈現良好的線性關係，其斜率就是𝑬「彈性模數」：𝑬 =
𝝈/𝜺。在此區間，材料受力變形後，仍會恢復原來形狀，所以稱為彈性區(elastic zone)。
4. 塑性區(plastic zone)：從彈性區(elastic zone)到塑性區(plastic zone)的臨界點，稱為降伏點(yielding point)。過了降伏點(yielding point)，在塑性區(plastic zone)，材料試體開始會有永久變形(permanent deformation)，外力釋放後，不會恢復原有形狀。應力應變曲線(stress-strain curve)會開始呈現上升的曲線變化，到達一臨界點，曲線開始下降，直到材料試體斷裂。曲線下降的原因，是因為材料試體的延展性，開始縮頸效應(necking effect)。
5. 材料強度(material strength)：由圖示之應力應變曲線(stress-strain curve)，依變化過程，可得到三個材料強度(material strength)：(1) 𝑺𝒚𝒑 材料的降伏強度(yielding strength)，(2) 𝑺𝒖𝒕材料的抗拉強度(ultimate strength)，(3) 𝑺𝒇𝒓 材料的破壞強度(fracture strength)。其值的大小排序：𝑺𝒖𝒕 > 𝑺𝒇𝒓 > 𝑺𝒚𝒑。工程實務，保守的設計會取 𝑺𝒚𝒑 材料的降伏強度，當作結構的容許應力(allowable stress)。
參閱圖示，所量測得到的應力應變曲線(stress-strain curve)，如藍色曲線，針對脆性材料(brittle material)，和延展性材料(ductile material)的主要差異，說明如下：
1. 沒有明顯的降伏點(yielding point)。因此，塑性區(plastic zone)不明顯。也沒有明顯的縮頸效應(necking effect)。
2. 材料強度(material strength)，通常只可界定
𝑺𝒇𝒓 材料的破壞強度(fracture strength)。
3. 一般的延展性材料(ductile material)，𝑺𝒕 抗拉強度(tensile strength)和 𝑺c抗壓強度(compressive strength)，大致相同，𝑺𝒕 ≈ 𝑺c。而脆性材料(brittle material)，一般來說，𝑺c 抗壓強度(compressive strength)會大於
𝑺𝒕 抗拉強度(tensile strength)，𝑺c > 𝑺𝒕。
以上拉伸試驗(tension testing)中，雖然施予不同的外力，實際上，施予的外力是常數，也就是接近靜力負荷(static force)。所以，量測到的
𝑬「彈性模數」：𝑬 =
𝝈/𝜺，稱為「靜態模數」(static modulus)。
接著，來看材料的「動態模數」(dynamic modulus)。其測定原理，是施予動態負荷(dynamic force)。參閱圖片右下方圖示，是摘錄自ASTM E 756-04，均勻懸臂薄樑(uniform
cantilever beam)試體的示意圖。ASTM
E 756-04係以振動方法量測材料的「動態模數」(dynamic modulus)以及材料阻尼特性的「散失因子」(loss factor)。主要的試驗步驟概述如下：
1. 量測懸臂樑結構頻率響應函數(frequency response function, FRF) = 𝑯(𝒇)：透過簡易的實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)，以衝擊鎚(impact hammer)敲擊樑結構，可得到外力頻譜𝑭(𝒇)。另外，以加速度規(accelerometer)量測樑結構的加速度響應頻譜𝑨(𝒇)。再進行信號處理(signal processing)，可以得到系統的FRF
= 𝑯(𝒇) = 𝑨(𝒇) /
𝑭(𝒇)。
2. 取得每個振動模態的自然頻率(natural frequency)
= 𝒇𝒓：參閱圖示是一個振動模態的𝑯(𝒇)示意圖，繪製得到|𝐻(𝑓)|，即FRF的振幅圖。由FRF曲線|𝐻(𝑓)|的峰值(peak)，對應得到的頻率，就會是系統的自然頻率(natural
frequency) 𝑓𝑟。𝑓𝑟是指第𝒓個自然頻率。
3. 推算動態楊氏係數(dynamic Young’s
modulus) = 𝑬：參閱圖片的方程式：𝑬 = (𝟏𝟐𝝆𝑳^𝟒 𝒇𝒓^𝟐)/(𝑯^𝟐 𝑪𝒓^𝟐 )。其中，𝝆
是試體材料的密度，單位：kg/m^3。𝑳 和 𝑯 分別是懸臂樑的長度和厚度，單位：m。𝒇𝒓是懸臂樑第𝒓個自然頻率。𝑪𝒓是懸臂樑的第𝒓個模態係數，圖中，顯示了前5個模態的 𝑪𝒓 值。
4. 以半能量點法(Half Power Point
method)，取得「阻尼比」(damping ratio) = 𝝃：𝝃 ≅
(𝒇𝒃−𝒇𝒂)/(𝟐𝒇𝒓 ) = 𝜟𝒇/(𝟐𝒇𝒓 )。其中，𝒇𝒂
和 𝒇𝒃頻率值：由半能量點=𝑸/√𝟐，與|𝑯(𝒇)|曲線交叉的位置，會有兩個交叉點，此兩個交叉點的頻率值，分別就是𝒇𝒂
和 𝒇𝒃。𝜟𝒇=(𝒇𝒃−𝒇𝒂)。
5. 取得「散失因子」(loss factor) = 𝜼：由已知：𝜼 = 𝟐 𝝃= 𝜟𝒇/𝒇𝒓。其中，𝝃「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)。𝜼「散失因子」(loss factor)。
以上的振動方法，可以量測到材料的𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)、𝝃「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)、𝜼「散失因子」(loss factor)。因為是施予動態負荷(dynamic force)，也量測了動態響應(dynamic response)。所以，量測到材料的𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)，就稱為「動態模數」(dynamic modulus)。
取得材料的𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)，兩種試驗方法，簡單的比較：
1. 拉伸試驗(tension testing)：可得到材料的𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)，就稱為「靜態模數」(static modulus)。另外，可以得到材料的三個材料強度(material strength)：(1)
𝑺𝒚𝒑 材料的降伏強度(yielding strength)，(2)
𝑺𝒖𝒕材料的抗拉強度(ultimate strength)，(3)
𝑺𝒇𝒓 材料的破壞強度(fracture strength)。
2. 振動方法(vibration method)：可得到材料的𝑬「彈性模數」(Elastic modulus)，就稱為「動態模數」(dynamic modulus)。同時，也可得到材料的阻尼特性(damping property)，包括：𝝃「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)以及 𝜼「散失因子」(loss factor)。
綜合這個單元的討論：甚麼是「動態模數」(dynamic modulus)？和「靜態模數」(static modulus)有甚麼不同嗎？總結如下：
1. 「模數」(modulus)：是指一個材料的「彈性模數」(Elastic modulus)或「楊氏係數」(Young’s modulus)。其簡單的定義：𝑬 =
𝝈/𝜺。其中，𝑬 就是「彈性模數」或稱「楊氏係數」。𝝈 是應力(stress)。𝜺 是應變(strain)。
2. 材料的「靜態模數」(static modulus)：量測取得材料的「靜態模數」(static modulus)。其測定原理，是施予靜力負荷(static force)，通常透過拉伸試驗(tension testing)，量測其應力應變曲線(stress-strain curve)。在降伏點(yielding point)前的彈性區(elastic zone)，𝝈 應力(stress)與
𝜺 應變(strain)，呈現良好的線性關係，其斜率就是𝑬「彈性模數」：𝑬 =
𝝈/𝜺。
3. 材料的「動態模數」(dynamic modulus)：係以振動方法量測材料的 𝑬「動態模數」(dynamic modulus)以及材料的 𝜼「散失因子」(loss factor)或是 𝝃 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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