這個單元要來探討的主題是：「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「懸臂軸」(cantilever shaft)的「等效旋轉彈簧常數」(Equivalent rotational
spring constant) 𝒌𝜽,𝒆𝒒。
參閱圖示左上方，是一個原始系統：「懸臂軸」自由端具有圓盤質塊的系統。此質塊為一個圓盤，質量𝒎，在此系統，圓盤呈現如圖示的旋轉(rotational)或稱扭轉(torsional)運動，其DOF自由度是 𝜽(𝒕)，也就是圓盤的旋轉角度。
在先前單元，分別討論過：「懸臂樑」(cantilever beam)以及「懸臂柱」(cantilever column)的「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒。「懸臂樑」是沿著樑的側向方向「平移」(translational)振動，而「懸臂柱」是沿著柱的垂直軸向方向「平移」振動。本單元所探討的「懸臂軸」(cantilever shaft)，是以軸向為中心的「旋轉」(rotational)振動。
如果，要分析此系統的振動情形，牽涉到複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析，在此介紹「等效系統分析」的理念，如圖示中間上方，將以SDOF單自由度的「等效系統」(Equivalent System)來分析，其System 系統參數是：𝑱𝟎,𝒆𝒒 「等效質量慣性矩」(Equivalent mass polar moment of inertia)
(kg-𝐦^𝟐)，和 𝒌𝜽,𝒆𝒒「等效旋轉彈簧常數」(Equivalent rotational spring constant)
(N-m/rad)。
要往下討論之前，先回顧先前單元主題：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？以及為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？主要意義與目的，特別針對SDOF單自由度的「旋轉」(rotational)振動系統，參閱圖片的下方系列圖示，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝑱𝟎,𝒆𝒒、𝒄𝜽,𝒆𝒒、𝒌𝜽,𝒆𝒒，分別是「等效質量慣性矩」(kg-𝐦^𝟐)、「等效旋轉阻尼係數」(N-m / rad/s)、「等效旋轉彈簧常數」(N-m/rad)。
2. 推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽 ̇(𝒕)/角加速度𝜽 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力矩 𝑻(𝒕) (N-m)，和兩個初始條件(IC)，初始角度：𝜽𝟎 (rad)，和初始角速度：𝝎𝟎 (rad/s)。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
瞭解了進行「等效系統分析」的意義與目的，再回到原始系統：「懸臂軸」自由端具有圓盤質塊的「旋轉」振動系統，主要是不必進行複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析，就可以快速分析判斷結構是否會有「共振」？
原始系統：「懸臂軸」自由端具有有圓盤質塊的系統。軸的系統參數包括：𝑳：軸的長度 (m)，𝒅：軸的直徑 (𝐦)，𝑮：軸的剪力模數 (GPa)，以及 𝑱：軸的截面積極慣性矩 (𝐦^𝟒)。參閱圖示左下方，如果是圓形：𝑱=(𝝅𝒅^𝟒)/𝟑𝟐。
另外，圓盤的系統參數包括：𝑯：圓盤的厚度 (m)，𝑫=𝟐𝑹：圓盤的直徑 (𝐦)，𝝆：圓盤的密度 (kg/ 𝐦^𝟑)，𝒎：圓盤的質量 (kg)，以及
𝑱𝟎：圓盤的質量極慣性矩 (kg-𝐦^𝟐)。參閱圖示左下方，如果是圓盤：𝑱𝟎 = 𝝆𝑯
(𝝅𝑫^4)/𝟑𝟐 = (𝒎𝑫^𝟐)/𝟖
= 𝟏/𝟐 (𝒎𝑹^𝟐)。
其次，要進行「等效系統分析」，對原始系統做了假設(assumptions)，說明如下：
1. 圓盤為剛體(rigid body)，質量𝒎，圓盤質量極慣性矩：𝑱𝟎 = 𝟏/𝟐 (𝒎𝑹^𝟐)。
2. 圓盤的質量𝒎，遠大於軸質量，所以，軸質量，可忽略，其密度 𝝆= 0。
3. 軸會變形，是撓性體(flexible body)，也就是彈性體(elastic body)，需要定義軸的𝑮：剪力模數。
接下來，參閱圖示左邊中間的懸臂軸自由端受力矩之角度變形示意圖，這是材料力學教科書可以找到的變形量分析，推導取得 𝒌𝜽,𝒆𝒒「等效旋轉彈簧常數」步驟如下：
1. 分析懸臂軸自由端的角度變形量：𝜽=(𝑻𝑳)/ (𝑱𝑮)。
2. 由旋轉彈簧常數的定義：𝒌𝜽 =𝑻/ 𝜽，也就是外力矩 𝑻 除以角度變形量 𝜽。
3. 由步驟1.的角度變形量，做移項處理，可得：𝒌𝜽 =𝑻/ 𝜽 = 𝑱𝑮 /𝑳
=
𝒌𝜽,𝒆𝒒。
其次，即可帶入
𝒇𝒏 方程式，如果，已知：𝑱𝟎,𝒆𝒒、𝒌𝜽,𝒆𝒒，即可求得系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。在此系統，𝑱𝟎,𝒆𝒒 = 𝑱𝟎，所以，可明確求得系統的 𝒇𝒏。
最後，由於取得了系統的
𝒇𝒏「自然頻率」，可以和 𝒇𝒆「激振頻率」比較探討。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。建議：採用20%原則，也就是：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏。
綜合這個單元的討論，進行的是「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「懸臂軸」(cantilever shaft)的「等效旋轉彈簧常數」(Equivalent rotational
spring constant) 𝒌𝜽,𝒆𝒒。統整的分析流程步驟理念如下：
1. 探討原始系統：「懸臂柱」自由端具有圓盤質塊的系統。
2. 進行「等效系統分析」：定義「等效系統」的單自由度「等效彈簧質塊系統」，其System 系統參數是：𝑱𝟎,𝒆𝒒 「等效質量慣性矩」和 𝒌𝜽,𝒆𝒒「等效旋轉彈簧常數」。
3. 分析得到：𝒌𝜽,𝒆𝒒「等效旋轉彈簧常數」以及 𝑱𝟎,𝒆𝒒 「等效質量慣性矩」。
4. 進而，可以推算系統的
𝒇𝒏「自然頻率」。
5. 評估「共振」(resonance)：系統的 𝒇𝒏「自然頻率」再和 𝒇𝒆「激振頻率」比較，可以評估「共振」(resonance)。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2023.07.06
