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《振動噪音科普專欄》如何表示「位移」的振動量大小?



在先前的單元:【振動的大小如何表示呢?】,相信讀者已經有了初步的認知:「振動大小」可以由「位移振幅大小」來界定之。那麼實務上我們如何表示「位移」的振動量大小呢?

讀者可以回顧先前單元:【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?】。在此就以餘弦波」的位移信號為例,說明如何表示其「位移」的「振動量」大小?

首先,參閱1以一個餘弦波」的位移信號為例,可以寫出以下的方程式:x(t)=Xcos(2πft-φ),或是=Xcos(ωt-φ) ,當寫出一個方程式,可以說這就是其「數學意義」,當然就要了解其中所有「變數(variable)代表的意義,其中:

1.          x(t),代表餘弦波」的位移x是時間t的函數,代表隨時間t變化的量值。
2.          X為此「餘弦波」位移的「振幅(amplitude),單位:m
3.          f為此「餘弦波」位移的「頻率(frequency),單位:Hz
4.          ω=2πf為此「餘弦波」位移的「圓周頻率(circular frequency),單位:rad/sec
5.          φ此「餘弦波」位移的「相位角(phase angle),單位:rad

同時,我們也可以畫出這個餘弦波」的時間域波形(time waveform),參閱1,可以了解各個參數在時間域波形的關係,也就是「幾何意義」。

1為「餘弦波」的幾何示意圖,水平軸為時間t,垂直軸為x(t),「餘弦波」x(t)呈現波動的特徵,可以觀察出幾個特性:

1.          餘弦波的振幅(amplitude)此波形的最大值為X,最小值為-X,原來方程式中的X,就是+/-之間的最大值及最小值,所以稱為餘弦波的振幅
2.          餘弦波的週期(period)圖示中,波峰到波峰的時間間距為T,因為有重複性的特徵,所以稱T週期
3.          餘弦波的頻率(frequency)再進一步探討,可以發現:f=1/T此餘弦波的「頻率f,會是週期T的倒數。
4.          餘弦波的相位角(phase angle)不同的相位角,則是會使得餘弦波最大值出現在不同的時間點,此時間差如圖示為φ/ω

由以上對餘弦波在時間域的圖示說明,可以看出波形的特徵,可以說就是此餘弦波幾何意義在此,我們假設x(t)位移」的信號,所以這個「餘弦波」的「物理意義」就是「位移」了。

回顧了餘弦波」的「數學意義」、「幾何意義」及「物理意義」,接著參閱2來探討:如何表示「位移」的振動量大小呢?

參閱2如前述,「餘弦波」的「位移」信號為x(t)=Xcos(2πft-φ),表達「位移」的振動量大小有幾種方式:

1.      峰值(peak)Xpeak=X
2.      波峰至波峰值(peak-to-peak)Xp-p=X
3.      平方平均根值 (root mean square, RMS)Xrms=X/sqrt(2)=0.707X
4.      平均值(averaged)Xavg=0

以上4「位移」振動量值的表示方式,peak peak-to-peak的定義很直觀,只要了解「餘弦波」的定義,就能理解。

如何求得Xrms呢?先對信號取平方、再取平均、再開根號,所以稱為「平方平均根值」,或可簡稱「方均根值」,不宜稱為「均方根值」,因為對信號處理的次序不正確了。

在此需注意:Xrms=X/sqrt(2)=0.707X,僅適用於正弦波」及「餘弦波」單一頻率的信號,如果是任意的隨機信號,必須對實際的信號:取平方、再取平均、再開根號,才能正確取得Xrms平方平均根值」。

由於振動信號,不管是「位移」、「速度」、「加速度」,其「平均值」大都為零,所以,幾乎不以「平均值」當作振動的大小量值。這也間接說明,以Xrms平方平均根值」為「振動量值」的潛在意義!

綜合來說,表達一個結構的「振動量」,也就是「振動大小」的方式:

1.      選擇適當的「物理量」:可以取「位移」、「速度」或「加速度」。三者之間有微分、積分關係,可參閱單元:【位移、速度、加速度之關係與轉換
2.      選擇適當的「量值」:此「量值」包括:(1)peak(2)peak-to-peak、以及(3)RMS值。在「位移」時,除了RMS值,peak-to-peak也是常用的「量值」。在「速度」或「加速度」則多以RMS值表達,也有以peak表示。總之,仍須注意標示的「量值」形式。

本單元探討了表達振動大小振動量」時,要注意選用的「物理量」,以及所選用的「量值」。

在實務上,例如:機器「振動量」的驗收標準,就要明確的敘明是哪一個「物理量」。如果是「位移」,就要確認是哪一個「量值」:XpeakXp-p、或是Xrms,否則將會引起爭議,因為3種「量值」的差異是:X2X、或是0.707X

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.02.08

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1、餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?


2、如何表示「位移」的振動量大小?



《振動噪音科普專欄》振動的大小如何表示呢?



我們都知道結構有振動的現象,那麼如何表示振動的大小呢?這個單元就著重在討論振動的大小」!

首先,請讀者觀看影片或參閱圖示,觀察幾個結構的「振動現象」:

1.      基座激振之懸臂樑:圖示左邊的影片是一支15公分長的鋼尺,類似一支簧片,固定夾持在基座上。此基座受到垂直方向的振動輸入,因此,稱之為基座激振(base excitation)。此基座激振」帶動了簧片的振動現象。【基座激振之懸臂樑:共振現象ODS的觀察
2.      單擺:圖示中央是典型的單擺結構,可以觀察到單擺左右來回震盪的振動現象。【如何求得單擺的自然頻率?
3.      基座激振的質塊彈簧系統:圖示右上方是兩個質塊以彈簧連接,基座質塊有位移輸入,進而帶動了上方質塊的振動現象。
4.      質塊彈簧系統:圖示右下方是典型的單自由度振動系統,質塊以彈簧懸吊在固定邊界上,而質塊有上下來回振盪的現象。【質塊彈簧系統「自然頻率」(natural frequency)

針對這4個結構,再進一步解剖其振動現象,參閱圖示或影片,分別標示了振動的位移響應,討論如下:

1.      基座激振之懸臂樑:圖示的固定夾持基座,受到垂直方向的位移輸入,進而帶動了簧片的振動,使得此簧片有上下來回的「位移」振動。
2.      單擺:圖示中央是典型的單擺結構,圖示的「位移」振動軌跡圖,可以觀察到單擺左右來回震盪的振動現象。
3.      基座激振的質塊彈簧系統:圖示右上方是兩個質塊以彈簧連接,基座質塊有連續三個鋸齒波的「位移」輸入,進而帶動了上方質塊的「位移」振動現象。
4.      質塊彈簧系統:圖示右下方是典型的單自由度振動系統,質塊的「位移」振動軌跡圖,可以觀察出質塊的「位移」上下來回振盪的現象。

從以上4個結構的觀察,都可以感覺到結構振動的現象,那麼甚麼是「振動」呢?由這4個結構來看,都可以觀察到「位移」上下、左右的來回振盪現象,這就是「振動」!

那麼「結構為什麼會振動呢?」,主要就是結構系統受到了「外部激振(external excitation),而引發了結構的振動,例如基座激振的懸臂樑及質塊彈簧系統,都是在「基座」受到了「位移輸入,進而帶動了簧片及質塊的「位移」振動。至於「結構為什麼會振動呢?」,我們再另闢單元討論。

接下來,就要針對本單元的重點:如何界定振動的大小呢?由以上討論,初步認知結構的振動就是結構位移」的變化響應!

有人懷疑地說:振動的頻率大,振動就會大嗎?這一點是有迷失的,雖然結構系統的振動,與「外力激振頻率」大小有關,但是,「振動頻率」與「振動大小」並不是直接的關聯。

要解剖這個問題,先來看一下甚麼是「頻率」?參閱圖示,分別討論如下:

1.      單擺:由單擺的「位移」振動軌跡圖,波峰到波峰的時間是「週期(period),而「週期」的倒數是「頻率」,可以觀察到單擺左右來回震盪的「位移大小」,才是真正的「振動大小」。單擺的「振動頻率大」,只是來回震盪的「速度」大,單擺振動的「位移」其實是不變的。
2.      基座激振的質塊彈簧系統:圖示右上方,基座質塊有一個鋸齒波的「位移」輸入,「週期」如圖示的標註,此鋸齒波的「位移」大小,和此鋸齒波的「頻率」是不同的,也就是基座質塊的「激振頻率」是這個鋸齒波的「頻率」,此基座質塊的「振動大小」,其實是此鋸齒波的「位移大小」
3.      質塊彈簧系統:圖示右下方的質塊「位移」振動軌跡圖,波谷到波谷的時間是「週期」(period),而「週期」的倒數是「頻率」,可以觀察此質塊的「振動大小」是由上下來回振盪的「位移大小」所決定的。對質塊彈簧的單自由度系統而言,質塊上下來回振盪的「振動頻率」,並不影響振動的大小。

眼尖的讀者,可能會注意到圖示中標示的「頻率」符號,有fn f,兩者是有差別的,fn代表的是結構的「自然頻率(natural frequency),而f是結構外部激振的「激振頻率(excitation frequency)。有興趣讀者可以參閱先前單元:【「自然頻率」和「共振頻率」有差別嗎?】、【「轉速頻率」 就是「激振頻率」嗎?】。

接著的疑問:怎樣是振動大呢?以下就以「位移」振幅大小來說明:

1.      基座激振之懸臂樑:圖示的固定夾持基座,受到垂直方向的位移輸入,有其「位移振幅」大小,進而帶動了簧片有上下來回「位移振幅」的振動。再觀察在自由端位置的簧片,「位移振幅」最大,越靠近固定夾持端,「位移振幅」越小。因此可知,結構在不同位置,「位移振幅」不同,也就是「振動大小」不同。
2.      單擺:圖示中央是典型的單擺結構,圖示的「位移」振動軌跡圖,在單擺靜止位置為中心,可以觀察到單擺左右來回震盪的「位移振幅」,也就此單擺的「振動大小
3.      基座激振的質塊彈簧系統:圖示右上方是兩個質塊以彈簧連接,基座質塊有一個鋸齒波的「位移振幅」輸入,進而帶動了上方質塊隨時間變動的「位移振幅」響應,質塊的「振動大小」就是由質塊的「位移振幅」來表示
4.      質塊彈簧系統:圖示右下方是典型的單自由度振動系統,圖示的質塊「位移」振動軌跡圖,質塊靜止位置為中心,也就是「位移為0」,可以觀察出質塊的「位移」上下來回振盪現象,其「位移振幅」就是此質塊的「振動大小」

討論了這麼多,本單元的主題:如何表示振動的大小呢?相信讀者已經有了譜,「振動大小」可以由「位移振幅大小」來界定之。

本單元分別觀察了「基座激振之懸臂樑」、「單擺」、「基座激振的質塊彈簧系統」、「質塊彈簧系統4個結構系統,由結構的「位移」,特別是位移的「振幅大小」,可以界定出結構的「振動大小」!

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.02.08

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