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《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振系列(3):不同簡諧激振頻率,對振動響應有甚麼影響?

 

這個單元是SDOF簡諧激振系列的3,要來探討的主題是:不同簡諧激振頻率,對振動響應有甚麼影響?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

參考左下方圖示,是ISO系統方塊圖(ISO system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及兩個「初始條件」的「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t)v(t)a(t) 分別為系統質塊的位移、速度及加速度響應。

 

參考左下方的圖示,就是此「單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以得到兩個「模態參數(modal parameters)在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率(natural frequency)ωn = 2 π fn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比(damping ratio)ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數(critically viscous damping coefficient)

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

以下舉實際的數值案例,進行分析,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 39.47 (N/m),可以求得兩個「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 1 (Hz)阻尼比𝝃 = 0.0796。因為,0 < 𝝃 < 1,所以是次阻尼狀態。

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇,令簡諧外力振幅𝑭 = 0.2 (N),為了探討不同「簡諧外力」的「激振頻率𝒇 之影響,分別令:𝒇 = 0.6 (Hz)1.0 (Hz)1.4 (Hz)

 

再定義系統的「輸入參數」,也就是兩個「初始條件(initial condition, IC),「初始位移X0及「初始速度V0。在此,都假設為0,也就是:𝒙(𝟎)=𝒙𝟎 = 0 (m)𝒙 ̇(𝟎)=𝒗𝟎 = 0 (m/s)

 

首先,觀察3個不同激振頻率」的狀態:

 

1.      𝒇 = 0.6 (Hz),也就是𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏𝒇 <𝒇𝒏,即激振頻率」小於「自然頻率」。

2.      𝒇 = 1.0 (Hz),也就是𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏,即激振頻率」等於「自然頻率」。

3.      𝒇 = 1.4 (Hz),也就是𝒇=1.4𝒇𝒏𝒇 >𝒇𝒏,即激振頻率」大於「自然頻率」。

 

參閱圖中右邊的3個動畫圖示,是質塊的位移響應𝒙(𝒕)示意圖,可以觀察及區別出「暫態響應(transient state response)以及「穩態響應(steady state response)的區間,比較一下這3個響應的「位移振幅𝑿

 

1.      𝒇 = 0.6 (Hz) 𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏𝒇 <𝒇𝒏𝑿 = 0.007 (m)

2.      𝒇 = 1.0 (Hz) 𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏𝑿 = 0.03 (m)

3.      𝒇 = 1.4 (Hz) 𝒇=1.4𝒇𝒏𝒇 >𝒇𝒏𝑿 = 0.005 (m)

 

可以知道,在共振激振(resonant excitation)時,也就是「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 =𝒇𝒏,質塊的位移響應𝒙(𝒕),確實是比較大,可得知「共振(resonance)時,會引發大的振動量。

 

其次,再深入比較三種不同激振頻率」下,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,說明如下:

 

1.      𝒇 = 0.6 (Hz) 𝒇=𝟎.𝟔𝒇𝒏𝒇 <𝒇𝒏,可以觀察:𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,基本上是同相(in-phase)

2.      𝒇 = 1.0 (Hz) 𝒇=1.0𝒇𝒏𝒇 =𝒇𝒏,可以觀察:𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差(90° out-of-phase)

3.      𝒇 = 1.4 (Hz) 𝒇=1.4𝒇𝒏𝒇 >𝒇𝒏,可以觀察:𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形是180°相位差(180° out-of-phase),也就是剛好正負相反的「反相(out-of-phase)

 

由以上的討論,可以知道,不同的激振頻率」,會使得質塊的位移響應𝒙(𝒕)和「簡諧外力𝒇(𝒕)有不同的相位差」,

 

1.      激振頻率」小於「自然頻率」時,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,基本上是同相」。

2.      激振頻率」等於「自然頻率」時,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差」。

3.      激振頻率」大於「自然頻率」時,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,基本上是180°相位差」。

 

爾後,我們會再另闢單元討論,任意的不同激振頻率」時,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形之相位角」的差異特性。

 

由質塊位移響應𝒙(𝒕)的「穩態響應」區間,可以寫出其「簡諧穩態響應」方程式,𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓) (m),其中,

 

1.      𝑿 = 位移振幅 (m),對應3不同激振頻率」,𝒇 = 0.6 (Hz)1.0 (Hz)1.4 (Hz),分別為:𝑿 = 0.0070.030.005 (m)共振激振𝒇 = 1.0 (Hz)時,位移振幅𝑿 = 0.03 (m),有最大的響應。

2.      𝒇 = 簡諧響應的頻率,會是「激振頻率」,分別為:0.61.01.4 (Hz)

3.      𝝓 = 相位角,注意在方程式中的單位是(rad),實務上,常以角度表達,分別為:90°180°

 

到這裡,統整一下這個單元的討論,不同簡諧激振頻率,對振動響應有甚麼影響?

 

1.      設定了3個不同的簡諧激振頻率」,分別是 𝒇 = 0.6 (Hz)1.0 (Hz)1.4 (Hz),也就是「激振頻率」小於、等於、大於「自然頻率」。

2.      質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以區別出「暫態響應(transient state response)以及「穩態響應(steady state response)的區間。在「穩態響應」區間,也會是「簡諧響應(harmonic response),可以寫出位移響應方程式𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)

3.      其中,𝑿 = 位移振幅,在「共振激振(resonant excitation)時,也就是「激振頻率等於自然頻率」,𝒇 =𝒇𝒏,質塊的位移響應𝒙(𝒕),確實是比較大。而在「非共振激振(non-resonant excitation)時,也就是「激振頻率」不等於「自然頻率」,𝒇𝒇𝒏,質塊的位移響應𝒙(𝒕),確實相對會比較小。

4.      其中,𝒇 = 簡諧響應的頻率,在「穩態響應」的「簡諧響應」特徵,其「簡諧響應頻率」會等於「激振頻率」。也就是說,「簡諧激振頻率」是多大,「簡諧穩態響應」的「頻率」就多大。

5.      其中,𝝓 = 相位角,在「共振激振(resonant excitation)時,也就是「激振頻率」等於「自然頻率」,𝒇 =𝒇𝒏𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,剛好是90°相位差」。在「非共振激振(non-resonant excitation)時,「激振頻率」小於「自然頻率」時,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,基本上是同相」。「激振頻率」大於「自然頻率」時,𝒙(𝒕)𝒇(𝒕)的時間波形,基本上是180°相位差」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.04.02

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