這個單元要來探討的主題是：如何繪圖呈現與解讀結構的「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)？
參閱圖示左上方，節錄自先前單元，#364：【如何求得結構的頻率響應函數？】。重點摘錄如下：
1. 「如何求得」：可以概分為「分析」與「實驗」，兩種方法。
2. 「結構」：任意的結構，當然都可以分別由「分析」與「實驗」，求得FRF「頻率響應函數」。
3. 「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元，#363：【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)？】。
左上方圖示摘錄的是頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析，說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力：可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer)，量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)。
2. 𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應：可以透過加速度規(accelerometer)，黏貼在結構表面，量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊(𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)。
3. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)
= FRF「頻率響應函數」：要注意，在實驗量測中，由於經過數位化處理(digitization)，不能如理論分析，直接由傅立葉頻譜取得，必須由PSD功率頻譜，才能取得正確的FRF「頻率響應函數」。其中，𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)。
其中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，最常看到的圖示是𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|，本單元要詳細來看如何繪圖呈現與解讀結構的FRF。
繼續討論之前，先回顧先前單元，#223：【SDOF簡諧激振FRF系列(10)：Receptance位移率、Mobility移動率、Accelerance加速率之FRF頻率響應函數的定義？有甚麼特性與差異？】。
參考圖示右上方，是「外力激振」「單自由度系統」實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
針對外力激振的SDOF系統，可以定義出三種「頻率響應函數」FRF的表示式，統整如下：
1. Receptance「位移率」=「位移」/「外力」= 𝑯𝒙(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝟏 / [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。
2. Mobility「移動率」=「速度」/「外力」= 𝑯𝒗(𝒇) = 𝑽(𝒇) / 𝑭(𝒇) = 𝒊𝝎 / [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。
3. Accelerance「加速率」=「加速度」/「外力」= 𝑯𝒂(𝒇)= 𝑨(𝒇) / 𝑭(𝒇) = (−𝝎^𝟐) / [(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]。
其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇，為外力的「激振頻率」，可以看出兩兩之間，相差了𝒊𝝎的倍數，因為複數 𝒊 的關係，就會有90度的相位角差，而(𝒊𝝎)^2等於(−𝝎^𝟐)，則是相當於有180度相位角差。
知道了這個外力激振的SDOF系統，有這三種FRF「頻率響應函數」的背景知識。又由於EMA實務上的響應量測，通常採用加速度規，所以量測到的是Accelerance「加速率」= 「加速度」 / 「外力」= 𝑯𝒂(𝒇)。
以下列舉的實際數值案例，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
1 (N/ m/s)、k = 39.48 (N/m)，也就是m、c及k固定。由「系統參數」：m、c、k，可以推算得到「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 =1 (Hz)，「阻尼比」𝝃 =0.0796。因為，0 < 𝝃 < 1，所以都是「次阻尼」狀態。
參閱圖示，顯示 Accelerance「加速率」的表達方式，因為FRF是複數(complex number)，可以畫出其3組圖示，共有5個圖，如何解讀FRF，討論如下：
1. 「波德圖」(Bode plot)：包含了「振幅」(amplitude)圖以及「相位角」(phase angle)圖，水平軸都是頻率，單位=Hz。垂直軸分別就是amplitude以及phase angle。在「振幅」(amplitude)圖：可以觀察到在激振頻率 𝒇 =1 (Hz)，有一個峰值(peak)，對應的就是此SDOF系統的「自然頻率」𝒇𝒏 =1 (Hz)。在「相位角」(phase angle)圖：在𝒇~=
𝒇𝒏時，其「相位角」會有180度的變化，而在𝒇=
𝒇𝒏時，剛好是在FRF所對應變化180度相位角的中間值，等於90度。
2. 「實數部」(real)圖以及「虛數部」(imaginary)圖：在「實數部」(real)圖：觀察「加速率」𝑯𝒂(𝒇)，其「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，通過「0點」的頻率。在「虛數部」(imaginary)圖：觀察𝑯𝒂(𝒇)「加速率」，其「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，有最大「峰值」的頻率。
3. 「奈氏圖」(Nyquist
plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」， FRF的曲線圖，會形成一個「圓圈」，所以也有稱之為circle plot。在Accelerance「加速率」，「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。
以上簡要的回顧先前單元，#223，說明了SDOF系統的三種「頻率響應函數」FRF的表示式，也繪製了圖示的表達方式以及解讀系統的𝒇𝒏「自然頻率」。
接著，就來觀察一個連續系統結構，實際上是一個矩形鋼板結構，實驗量測到的FRF「頻率響應函數」，就是Accelerance「加速率」，參閱左下方圖示，以下就依照主要的5種圖示，分別說明討論如下：
1. 「振幅」(amplitude)圖：可以觀到FRF曲線的峰值(peak)有4個，每一個peak所對應的頻率，就是結構的𝒇𝒏「自然頻率」，所以，在量測的頻率範圍，有4個「振動模態」(vibration modes)。注意：在此的「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。
2. 「相位角」(phase angle)圖：在有「振動模態」的頻率區間，會有180度的相位角變化。而在FRF所對應變化180度相位角的中間值，等於90度，其對應的頻率會是：𝒇=
𝒇𝒏「自然頻率」。
3. 「實數部」(real)圖：結構的𝒇𝒏「自然頻率」，會出現在：通過「0點」的頻率。
4. 「虛數部」(imaginary)圖：結構的𝒇𝒏「自然頻率」，會出現在：有最大「峰值」的頻率。
5. 「奈氏圖」(Nyquist
plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：可以觀察到有4個「圓圈」，對應的就是結構的4個「振動模態」。要區別哪一個「圓圈」是哪一個「振動模態」，就要繪製垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現的「振幅」(amplitude)圖，每個「振動模態」的峰值大小，可以區別出對應的「振動模態」。每一個「圓圈」有最大振幅的頻率點，或是虛數部的峰值頻率，就可以取得𝒇=
𝒇𝒏「自然頻率」。
最後綜合這個單元的討論，如何繪圖呈現與解讀結構的FRF「頻率響應函數」，共有三組、5個重要圖示，彙整如下：
1. 「波德圖」(Bode plot)：包含了「振幅」(amplitude)圖以及「相位角」(phase angle)圖。「振幅」(amplitude)圖。垂直軸，可以是以對數座標(logarithmic scale)呈現，或是以線性座標(linear
scale)呈現。
2. 「實數部」(real)圖以及「虛數部」(imaginary)圖。
3. 「奈氏圖」(Nyquist
plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)。
另外，針對結構系統FRF「頻率響應函數」的Accelerance「加速率」，分別探討了兩個系統型式，包括：
1. 外力激振的SDOF系統：系統只有一個自由度(degree of freedom,
DOF)，所以，只有一個「振動模態」(vibration modes)。
2. 矩形鋼板結構：在量測的頻率範圍，觀察到有4個「振動模態」(vibration modes)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.04.05
