本單元以餘弦波(cosine wave)為例，說明甚麼是數學意義(mathematical meaning)、幾何意義(geometry
meaning)、以及物理意義(physical meaning)。
典型的餘弦波可以寫出以下的方程式：x(t)=Xcos(2πft+ϕ)，或是=Xcos(ωt+ϕ) ，當寫出一個方程式，可以說這就是其數學意義，當然就要了解其中所有變數代表的意義，其中：
(1)
x(t)，代表餘弦波，x是時間t的函數，代表隨時間t變化的量值。
(2)
X為此餘弦波的振幅(amplitude)。
(3)
f為此餘弦波的頻率(frequency)，單位：Hz。
(4)
ω=2πf為此餘弦波的圓周頻率(circular
frequency)，單位：rad/sec。
(5)
ϕ是此餘弦波的相位角(phase angle)，單位：rad。
寫出x(t)餘弦波的方程式，雖然對每一個變數符號，包括：x(t)、t、X、f、ω、ϕ，都有說明其名稱及意義，其實，還是不容易了解各個變數以及餘弦波的意涵，所以，可以透過圖示的方式藉以表達此餘弦波方程式的幾何意義。
圖示，為餘弦波的幾何示意圖，水平軸為時間t，垂直軸為x(t)，餘弦波x(t)呈現波動的特徵，可以觀察出幾個特性：
(1)
此波形的最大值為X，最小值為-X，原來方程式中的X，就是+/-之間的最大值及最小值，所以稱為餘弦波的振幅。
(2)
圖示中，波峰到波峰的時間間距為T，因為有重複性的特徵，所以稱T為週期(period)
(3)
再進一步探討，可以發現：f=1/T，此餘弦波的頻率f，會是週期T的倒數。
(4)
不同的相位角，則是會使得餘弦波最大值出現在不同的時間點，此時間差如圖示為ϕ/ω。
由以上對餘弦波在時間域的圖示說明，可以看出波形的特徵，可以說就是此餘弦波的幾何意義，特別是餘弦波在時間域的幾何意義。
如果，x(t)，代表的是位移函數，那麼這個餘弦波，就有了明確的物理意義，x(t)是時間t的位移函數。當然，實務上x(t)可以用以代表不同的物理量，例如：速度、加速度、電壓、電流、溫度等等，這樣有了物理單位，就有了明確的物理意義。
在此綜合一下，甚麼是數學意義、幾何意義、及物理意義：
(1)
數學意義：寫出如餘弦波的數學方程式，x(t)=Xcos(2πft+ϕ)，或是x(t)=Xcos(ωt+ϕ) ，可以說是此餘弦波的數學意義，當然要知道每一個變數的名稱及代表的意義，包括：x(t)、t、X、f、ω、ϕ。
(2)
幾何意義：當劃出如圖示餘弦波x(t)在時間軸上的波動現象，可以說是此餘弦波的幾何意義。當然，就可以觀察出此波動曲線，在不同變數設定值之各種現象與特徵。如果能夠充分了解其幾何現象，對餘弦波的數學方程式，就容易由幾何意義來了解其數學意義。
(3)
物理意義：如果x(t)代表的是位移，那麼，位移就是此餘弦波的物理意義。當然，在許多不同場合，如溫度、電壓、電流等都可以有餘弦波的特徵，此時，餘弦波的數學方程式就有了不同的物理意義。
本單元以一個單一頻率的餘弦波，解釋說明其數學方程式的數學意義，並以圖示解釋其幾何意義。物理意義則是應用此數學方程式在表示不同的物理量，在振動，常見的物理量就是位移、速度、及加速度。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2017.12.05
