這個單元要來探討的主題是：如何檢視觀察EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)實驗的所有FRF 「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)數據？
會探討這個主題，當然是量測到正確的、可靠的FRF，很重要，又從量測的𝒂𝒊 (𝒕) 以及𝒇𝒋 (𝒕)原始數據(raw data)，到取得FRF，又有一系列的信號處理(signal processing)，對於每一次的FRF量測，都需要確認。
在先前單元：#369，【如何有效率的檢查EMA量測FRF數據的可靠性？】，主要針對單一次的FRF量測，建議一套符合【3E】心法：有效的(Effective)、有效率的(Efficient)、省時的(Economic)檢查步驟。
本單元要探討的是：如何檢視觀察EMA實驗的所有FRF數據？
參閱圖片的左上方圖示，對一個矩形鋼板進行EMA，使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer)，當作驅動器(actuator)，可量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。同時，以加速度規(accelerometer)，當作感測器(sensor)，黏貼在矩形鋼板結構表面，量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。
進行EMA，是採用「移槌定規」(roving the hammer,
fixed the accelerometer)，如圖示呈現了對矩形鋼板進行EMA的量測點規劃。也就是：加速度規(accelerometer)固定在1號點位置，移動衝擊槌(impact hammer)，依序敲擊在15個量測點，所以會取得15個𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，𝒊=1，𝒋=1~15。量測到的FRF「頻率響應函數」，其物理意義是：Accelerance「加速率」=「加速度」/「外力」，理論表示式：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇) /𝑭𝒋 (𝒇)。
當量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形，以及同步量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形，𝒇𝒋 (𝒕)以及𝒂𝒊 (𝒕)是量測到的原始數據(raw data)，需要進行一系列的信號處理(signal processing)，讀者可以回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，其中，EMA量測數據之信號處理流程圖，摘錄如左邊中間圖示，簡要說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)、𝒂𝒊(𝒕)：「時間波形」(time waveform)，是EMA實驗量測的「原始數據」(raw data)。
2. 𝑭𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊 (𝒇)：「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，是透過FFT分析取得。
3. 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)：「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)。𝑮𝒋𝒊(𝒇)、𝑮𝒊𝒋(𝒇)：「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)。都是透過PSD分析取得。
4. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)：「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，是透過FRF分析取得。
5. 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)：「關聯性函數」(coherence function, COH)，是透過COH分析取得。
參閱圖片左邊圖示，回顧一下，進行EMA的主要兩個步驟：
1. 量測結構的FRF 「頻率響應函數」：需要有如衝擊槌(impact hammer)的驅動器(actuator)，以及加速度規(accelerometer)的感測器(sensor)，量測到𝒇𝒋 (𝒕)以及𝒂𝒊 (𝒕)的原始數據(raw data)，再進行一系列的信號處理(signal processing)，才可得到FRF。
2. 進行「曲線嵌合」(curve-fitting)：對所量測到的FRF，進行「曲線嵌合」(curve-fitting)，以能夠得到結構的「模態參數」(modal parameters)。
參閱圖示左下方，此矩形鋼板在5000 Hz以下，有4個「振動模態」(vibration modes)，其結構的「模態參數」(modal parameters)，包括：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」(natural
frequency)：有4個𝒇𝒓，分別是𝒇1=1013.2
Hz、𝒇2=1438.3
Hz、𝒇3=2803.4
Hz、𝒇4=3100.2 Hz。
2. 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal
damping ratio)：有4個𝝃𝒓，分別是𝝃1=0.023746 %、𝝃2=0.205140 %、𝝃3=0.085166 %、𝝃4=0.199630 %。
3. 𝝓𝒓 (𝒙,𝒚)「模態振型」(mode
shape)：有4個𝝓𝒓，分別是𝝓1 (𝒙,𝒚)
=(3,1)、𝝓2 (𝒙,𝒚) =(2,2)、𝝓 3(𝒙,𝒚)
=(4,1)、𝝓4 (𝒙,𝒚) =(3,2)。
接著，再回到本單元的主題：如何檢視觀察EMA實驗的所有FRF數據？在此矩形鋼板案例，規劃了15個量測點，所以，會有15個FRF數據。會以重疊繪圖(Overlap plot)方式，繪製所有FRF曲線圖。
參閱圖片右邊的圖示，建議觀察FRF的Overlap plot重疊圖，包括：
1. 「振幅」(amplitude)圖：可以觀察到FRF曲線的峰值(peak)有4個，每一個peak所對應的頻率，就是結構的𝒇𝒓「自然頻率」，所以，在量測的頻率範圍，有4個「振動模態」(vibration modes)。注意：在此的「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。
2. 「實數部」(real)圖：結構的𝒇𝒓「自然頻率」，會出現在：通過「0點」的頻率。
3. 「虛數部」(imaginary)圖：結構的𝒇𝒓「自然頻率」，會出現在：有最大「峰值」的頻率。
整體來看以上3張15個FRF數據的Overlap plot重疊圖，可以明顯的辨識出4個「振動模態」。
其次，很重要、需要觀察的是𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)：「關聯性函數」(coherence function, COH)，由COH的Overlap plot重疊圖，可以大致觀察到所有15次FRF量測的COH分布，幾乎大部分的頻率範圍，COH數值都趨近於1，僅有少數的頻率點COH數值有趨近於0，這是因為局部的「反共振點」(Anti-Resonance point)效應，是合理的現象。因此，此案例的COH分布狀態是可靠的。
另外，也可以使用兩者繪圖技巧，來呈現FRF數據的Overlap plot重疊圖，分別如下：
1.
Waterfall plot瀑布圖、或稱Cascade plot，都是指瀑布圖：可以明顯看出15個FRF量測曲線，有相同的峰值頻率，但是，曲線分布狀態會有不同，因為是不同的量測點。
2.
Colormap plot 彩色分布圖、或稱Spectrogram頻譜彩色分布圖：本質上，和Waterfall plot瀑布圖相同，可以很明確看出峰值頻率的分布狀態。
針對量測到的15個FRF的數據，進行「曲線嵌合」(curve-fitting)，可以得到結構的「模態參數」(modal
parameters)。參閱圖示右上方，在FRF數據「振幅」(amplitude)的overlap plot重疊圖，對應於4個峰值頻率，就是結構的4個𝒇𝒓「自然頻率」，每一個𝒇𝒓，都可顯示出對應的𝝓𝒓 (𝒙,𝒚)「模態振型」，由動畫可以了解其振動型式的物理意義。
由以上所呈現的實驗量測FRF數據，以及「曲線嵌合」後，取得的「模態參數」：𝒇𝒓、𝝃𝒓、𝝓𝒓 (𝒙,𝒚)，看起來是很好的實驗結果，也是個成功的EMA案例。
最後，綜合一下這個單元的討論，主題是：如何檢視觀察EMA實驗的所有FRF數據？圖示觀察的技巧與步驟，統整建議如下：
1. 觀察FRF的「振幅」(amplitude) Overlap plot重疊圖。
2. 觀察COH的overlap plot重疊圖。
3. 觀察FRF的「實數部」(real) Overlap plot重疊圖。
4. 觀察FRF的「虛數部」(imaginary) Overlap plot重疊圖。
5. 觀察FRF的「振幅」(amplitude) Waterfall plot瀑布圖。
6. 觀察FRF的「振幅」(amplitude) Colormap plot 彩色分布圖。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.04.08
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