這個單元要來探討的主題是：如何有效率的檢查EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)，所量測到FRF 「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)數據的可靠性？
從關鍵詞來看：有效率的=Efficiently，量測FRF數據的可靠性=Reliability，對於進行EMA「實驗模態分析」當然是很重要，以能確保每一次的FRF量測，是可靠的、正確的。
參閱圖片的左上方圖示，對一個矩形鋼板進行EMA，使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer)，當作驅動器(actuator)，可量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。同時，以加速度規(accelerometer)，當作感測器(sensor)，黏貼在矩形鋼板結構表面，量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。
進行EMA，是採用「移槌定規」(roving the hammer,
fixed the accelerometer)，如圖示呈現了對矩形鋼板進行EMA的量測點規劃。也就是：加速度規(accelerometer)固定在1號點位置，移動衝擊槌(impact hammer)，依序敲擊在15個量測點，所以會取得15個𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，𝒊=1，𝒋=1~15。量測到的FRF「頻率響應函數」，其物理意義是：Accelerance「加速率」=「加速度」/「外力」，理論表示式：𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇) /𝑭𝒋 (𝒇)。
當量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形，以及同步量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形，𝒇𝒋 (𝒕)以及𝒂𝒊 (𝒕)是量測到的原始數據(raw data)，需要進行一系列的信號處理(signal processing)，讀者可以回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，其中，EMA量測數據之信號處理流程圖，摘錄如左邊中間圖示，簡要說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)、𝒂𝒊(𝒕)：「時間波形」(time waveform)，是EMA實驗量測的「原始數據」(raw data)。
2. 𝑭𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊 (𝒇)：「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，是透過FFT分析取得。
3. 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)：「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)。𝑮𝒋𝒊(𝒇)、𝑮𝒊𝒋(𝒇)：「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)。都是透過PSD分析取得。
4. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)：「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，是透過FRF分析取得。
5. 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)：「關聯性函數」(coherence function, COH)，是透過COH分析取得。
以上的EMA量測數據之信號處理流程，最重要的就是取得FRF 「頻率響應函數」，這就是EMA「實驗模態分析」的第一個步驟：量測結構的FRF 「頻率響應函數」。
當取得結構的FRF，第二個步驟：對所量測到的FRF，進行「曲線嵌合」(curve-fitting)，以能夠得到結構的「模態參數」(modal
parameters)，包括：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」(natural
frequency)：
2. 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal
damping ratio)：
3. 𝝓𝒓 (𝒙,𝒚)「模態振型」(mode
shape)：
由於要成功地進行「曲線嵌合」，首要條件是，要有良好的FRF品質，才能得到可靠的、正確的「模態參數」。
先前單元，已經介紹過：如何進行「預測試」(Pre-test)，以及探討其背後的「原理」(Principle)和物理意義。都是在確認EMA量測的FRF品質之準確性與可靠度。
另外，以矩形鋼板的布點規劃為例，共有15個量測點，如果，每一個量測點，都要如左邊中間圖示的每一個數據，包括：𝒇𝒋 (𝒕)、𝒂𝒊(𝒕)、𝑭𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊 (𝒇)、𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)、𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)，進行逐一觀察與解析，將會耗費大量的時間精力。
因此，這個單元就是要來看：如何有效率的檢查EMA，所量測到FRF數據的可靠性？
往下討論之前，回顧一下，進行EMA的主要兩個步驟：
1. 量測結構的FRF 「頻率響應函數」：需要有如衝擊槌(impact hammer)的驅動器(actuator)，以及加速度規(accelerometer)的感測器(sensor)，量測到𝒇𝒋 (𝒕)以及𝒂𝒊 (𝒕)的原始數據(raw data)，再進行一系列的信號處理(signal processing)，才可得到FRF，
2. 進行「曲線嵌合」(curve-fitting)：對所量測到的FRF，進行「曲線嵌合」(curve-fitting)，以能夠得到結構的「模態參數」(modal parameters)
在此，就以單元：#338，EMA量測數據之信號處理流程圖，同時，參閱右邊的系列圖示，逐一逐項的說明必要的檢查步驟如下：
1. 觀察𝒇𝒋 (𝒕)時間波形，是否為一個三角波的獨立衝擊波？典型的衝擊槌(impact hammer)的衝擊波，會如圖示接近一個三角波。頭、尾有微小的波動，可能是感測器纜線(cable)的雜訊影響，因為相對衝擊波的最大值，頭、尾的波動偏小，所以，在此的 𝒇𝒋 (𝒕)是合理、可靠的量測。
2. 檢查𝒂𝒊 (𝒕)
以及𝒇𝒋 (𝒕)，兩者的信號，是否有同步？這是相當於檢查，頻譜分析儀(FFT Analyzer)的量測通道之觸發設定(trigger setup)是否正常！圖例顯示，𝒂𝒊 (𝒕) 以及𝒇𝒋 (𝒕)，兩者信號是同步的。
3. 檢查𝒂𝒊 (𝒕)是否衰減到0？如果是，就是選擇boxcar window，如果沒有衰減到0，就要選用exponential window，也就是關係到需要採用哪一種窗函數(window)？對於𝒇𝒋 (𝒕)的window，因為，量測時間的開始與結束，都是0，所以，都是採用boxcar window。
以上，是時間波形信號的檢查，一則決定選用正確、適當的窗函數(window)，一則要確認量測到的𝒇𝒋 (𝒕)以及𝒂𝒊 (𝒕)，是否同步？以及是否有合理的𝒇𝒋 (𝒕)衝擊波與𝒂𝒊 (𝒕)衰減的現象？
其次，要觀察𝒇𝒋 (𝒕)以及𝒂𝒊 (𝒕)的頻率域信號，因為，EMA實驗量測會取三次敲擊的平均，所以，通常會忽略𝑭𝒋 (𝒇)以及𝑨𝒊 (𝒇)傅立葉頻譜(Fourier spectrum)，因為𝑭𝒋 (𝒇)以及𝑨𝒊 (𝒇)是無法平均的，又只是單一次敲擊結果。
一般會觀察𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 以及𝑮𝒊𝒊 (𝒇)「自身功率頻譜」，其中，如圖標示𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋(𝒇)，外力自身功率頻譜，接近於平的白噪音頻譜(white noise spectrum)，是合理、可靠的。而𝑮𝒂𝒊𝒂𝒊 (𝒇)，加速度自身功率頻譜，整體看起來，平順有數個峰值，是合理的曲線，也可以明顯辨識出4個峰值(peak)，其對應的頻率，就是結構的𝒇𝒓「自然頻率」，所以，在量測的頻率範圍，結構就有4個「振動模態」(vibration
modes)。
接下來，就是觀察FRF 「頻率響應函數」= 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)= 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋 (𝒇)，以及對應的COH「關聯性函數」= 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇) = (𝑮𝒊𝒋(𝒇) 𝑮𝒋𝒊(𝒇)) / (𝑮𝒊𝒊 (𝒇) 𝑮𝒋𝒋 (𝒇))。
通常，FRF = 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)，會取振幅值之圖示顯示，檢視：|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|與𝑮𝒂𝒊𝒂𝒊 (𝒇) 曲線趨勢很相似，初步判斷FRF= 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)是合理的。
另外，COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)，整體上，幾乎所有的頻率點，COH都接近於1，這是很好、合理的現象。而，除了有接近「反共振點」(Anti-Resonance point)處，COH有偏低、趨近於0外，這也是合理的物理現象。
最後，觀察的函數是𝑮𝒇𝒋𝒂𝒊 (𝒇)，由FRF = 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) 的定義，其分子= 𝑮𝒋𝒊 (𝒇) =
𝑮𝒇𝒋𝒂𝒊 (𝒇) ，又分母 = 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)，已知衝擊力頻譜特徵是接近平的白噪音，所以，𝑮𝒋𝒊 (𝒇)會和|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|很相近，這也是如預期的效應。
這個單元主要在探討：如何有效率的檢查EMA，所量測到FRF數據的可靠性？首先，回顧進行EMA的主要兩個步驟：
1. 量測結構的FRF 「頻率響應函數」：
2. 進行「曲線嵌合」(curve-fitting)：
由於量測到正確的、可靠的FRF，很重要，又從量測的𝒂𝒊 (𝒕)
以及𝒇𝒋 (𝒕)原始數據(raw data)，到取得FRF，又有一系列的信號處理(signal processing)，對於每一次的FRF量測，都需要確認。所以，本單元建議一套符合【3E】心法：有效的(Effective)、有效率的(Efficient)、省時的(Economic)檢查步驟，統整如下：
1. 觀察𝒇𝒋 (𝒕)時間波形，是否為單一獨立的衝擊波，沒有雙敲擊(double impact)？
2. 檢查𝒂𝒊 (𝒕)
以及𝒇𝒋 (𝒕)，兩者的信號，是否有同步？
3. 檢查𝒂𝒊 (𝒕)是否衰減到0？關係到需要採用哪一種窗函數(window)？衰減到0，選用boxcar window。沒有衰減到0，就要選用exponential window，
4. 觀察𝑮𝒋𝒋 (𝒇)或𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋(𝒇)，外力自身功率頻譜，是否接近於平的白噪音頻譜(white noise spectrum)？先前單元，有介紹過判斷𝑮𝒋𝒋 (𝒇)的有效頻寬方法：採用「20dB」原則。
5. 觀察𝑮𝒊𝒊 (𝒇) 或𝑮𝒂𝒊𝒂𝒊 (𝒇)，加速度「自身功率頻譜」，是否有預期的峰值頻率以及平順的曲線？是否可以明確的辨識出「振動模態」(vibration
modes)？
6. 觀察FRF= 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)，會取振幅值之圖示顯示，檢查|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|與𝑮𝒂𝒊𝒂𝒊 (𝒇) 曲線趨勢是否相似？可以判斷FRF= 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)是否合理？
7. 觀察COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)，整體上，是否幾乎所有的頻率點，COH都接近於1？是否除了有接近「反共振點」(Anti-Resonance point)處，COH有偏低現象外，其他的COH值都接近於1？
8. 觀察𝑮𝒇𝒋𝒂𝒊 (𝒇)，也就是確認
𝑮𝒋𝒊 (𝒇)會和|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)| 是否很相近？這也是如預期的效應。
本單元建議的檢查方法步驟，適用於單一個點的FRF 「頻率響應函數」檢查，建議讀者學習如何觀察量測與分析數據，以及對應的檢查重點！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.04.08
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