這個單元主要參考以下的研討會論文：王栢村，王廷維，2013，「簡諧響應分析之阻尼模擬」，中華民國振動與噪音工程學會第21屆學術研討會，台北，論文編號：D0012。
參閱圖片左上方表格，針對不同的「阻尼模型」(damping model)，有關阻尼矩陣[𝑪]，有不同的定義方式。在先前單元，已經探討各個「阻尼模型」原理、背景知識、實務的應用方法、以及在CAE軟體的應用設定，有多種選項與應用方式，包括：
1. Model (A) = Undamped = 無阻尼。
2. Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼。
3. Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比。
4. Model (D) = Modal damping ratio = 模態阻尼比。
5. Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼。
6. Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。
7. Model (G) = Damping element = 阻尼元素。
表格中指出，「簡諧響應分析」(Harmonic response
analysis)的三種求解方法：
1. FULL
method「全模型法」。
2. Reduced
method「縮減模型法」。
3. MSUP = Mode Superposition method「模態疊加法」。
其中，Reduced method「縮減模型法」比較複雜，在現今電腦運算度快，需求性已經沒有那麼大。
本單元，主要針對FULL「全模型法」與MSUP「模態疊加法」，說明兩種求解方法的原理、背景知識、以及實務的應用方法。
首先，參閱圖片左下方，是對一個懸臂樑，進行「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)的實驗架構圖。採用了Hammer衝擊槌，敲擊結構，使用的感測器(sensor)是Accelerometer加速規，量測結構的加速度響應。樑結構上的佈點規劃，有30個點，搭配一部「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，量測取得實驗數據。
進行EMA「實驗模態分析」，主要步驟就是先量測結構的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。
其次，透過「曲線嵌合」(curve-fitting)，即可取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)
，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。其中，𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
如果，要進行CAE軟體應用分析，也就是常採用的「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行仿真模擬分析(simulation)。就需要透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，希望能夠模擬得到與實驗相符的FRF，達到仿真分析的目標。
參閱圖片左下方，顯示了建構的「有限元素模型」(Finite Element Model)。要分析取得(𝒊,𝒋)=(𝟑𝟎,𝟑𝟎)的FRF「頻率響應函數」，也就是對應於敲擊在自由端，量測也在自由端位置的FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)。兩個FRF「頻率響應函數」圖示，說明如下：
1. Model (C) 與Model (F)的分析與實驗FRF曲線圖示：黑色線條是EMA實驗曲線，紅色與藍色線條分別是FEA分析，採用Model (C) 與Model (F)的FRF曲線，兩者完全重合，因為此懸臂樑是單一材料的結構。同時，可以觀察到分析的FRF曲線趨勢與量值，與實驗的FRF比較，都相當準確，有達到仿真的效果。
2. Model (D)的分析與實驗FRF曲線圖示：可以觀察到分析的FRF的曲線趨勢與量值，也大致對應於實驗的FRF，有接近仿真的效果。但是，在第四、第五個模態，其峰值響應，對應不太好。
回到本單元的重點，要瞭解振動的「簡諧響應分析」(Harmonic response
analysis)，採用FULL「全模型法」與MSUP「模態疊加法」有甚麼差異？
參閱圖片右上方，顯示「多自由度系統」(MDOF system) 的「運動方程式」(equation of motion, EOM)：[𝑴]{𝒙 ̈}+[𝑪]{𝒙 ̇}+
[𝑲]{𝒙}={𝒇(𝒕)}。在FEA，實際的振動分析，就會是這樣的EOM系統方程式。其中，阻尼矩陣[𝑪]，取決於不同的「阻尼模型」(damping model)，會有有不同的阻尼矩陣[𝑪]定義方式。
以下將說明，如何由EOM系統方程式，進行「簡諧響應分析」(Harmonic response
analysis)。
第一，FULL「全模型法」。進行「簡諧響應分析」，解析取得FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」的步驟，概述如下：
1. 令，{𝒇(𝒕)}={𝑭}𝒆^𝒊𝝎𝒕，也就是假設為簡諧外力(harmonic force)，激振頻率為𝝎。因此，系統位移的穩態響應(steady state
response)，也會是簡諧響應(harmonic response)： {𝒙(𝒕)}={𝑿}𝒆^𝒊𝝎𝒕。
2. 將{𝒇(𝒕)}={𝑭}𝒆^𝒊𝝎𝒕 及 {𝒙(𝒕)}={𝑿}𝒆^𝒊𝝎𝒕，帶入EOM，可得到：
(−𝝎^2 [𝑴]+𝒊𝝎[𝑪]+[𝑲])
{𝑿}𝒆^𝒊𝝎𝒕={𝑭}𝒆^𝒊𝝎𝒕
([𝑲]−𝝎^2 [𝑴]+𝒊𝝎[𝑪]) {𝑿}={𝑭}
【等號兩邊，刪除𝒊𝝎𝒕】
[𝑨(𝝎)]{𝑿}={𝑭}
【令：[𝑨(𝝎)] =([𝑲]−𝝎^2 [𝑴]+𝒊𝝎[𝑪])】
[𝑨(𝝎)]^(−1) [𝑨(𝝎)]{𝑿}=[𝑨(𝝎)]^(−1) {𝑭}
【兩端乘以[𝑨(𝝎)]的逆矩陣 = =[𝑨(𝝎)]^(−1)】
{𝑿}=[𝑯(𝝎)] {𝑭} 【[𝑯(𝝎)] = [𝑨(𝝎)]^(−1) 】
3. 取得[𝑯(𝝎)]「頻率響應函數」矩陣：[𝑯(𝝎)] = [𝑨(𝝎)]^(−1) = ([𝑲]−𝝎^2 [𝑴]+𝒊𝝎[𝑪]) ^(−1)
4. 以3 DOF為例，{𝑿}=[𝑯(𝝎)] {𝑭}：
{𝑿𝟏；𝑿𝟐；𝑿𝟑}=[𝑯𝟏𝟏,𝑯𝟏𝟐,𝑯𝟏𝟑；𝑯𝟐𝟏,𝑯𝟐𝟐,𝑯𝟐𝟑；𝑯𝟑𝟏,𝑯𝟑𝟐,𝑯𝟑𝟑] {𝑭𝟏；𝑭𝟐；𝑭𝟑}
5. [𝑯(𝝎)]「頻率響應函數」矩陣的一個元素，FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)
= 𝑿𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點位移頻譜𝑿𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。
FULL「全模型法」的分析理念，由以上推導的方程式，可知：
1. FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)是[𝑯(𝝎)]「頻率響應函數」矩陣的一個元素(𝒊,𝒋)。
2. [𝑯(𝝎)]「頻率響應函數」矩陣，係由系統的質量矩陣[𝑴]、阻尼矩陣[𝑪]、勁度矩陣[𝑲]，組成的[𝑨(𝝎)]，取其逆矩陣(inverse matrix)，所得到。
3. 要取得如圖示分析的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」曲線，最高頻率=1,000 Hz，如果，頻率解析度 = 1 Hz，那麼需要對[𝑨(𝝎)]，做1000次的逆矩陣(inverse matrix)運算。因此，電腦求解會很耗時間。
第二，MSUP「模態疊加法」。進行「簡諧響應分析」，解析取得FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」的步驟，概述如下：
1. 以「比例阻尼」(proportional damping)來看，FRF是：𝑯𝒊𝒋(𝒇) =
𝑿𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇) =
∑(𝒓=𝟏) ~∞ (𝝓𝒓(𝒙𝒊) 𝝓𝒓(𝒙𝒋)) / ((𝝎𝒓^𝟐−𝝎^𝟐)−𝒊(𝟐𝝃𝒓 𝝎𝒓))，其中，𝝎=𝟐𝝅𝒇。此 𝑯𝒊𝒋(𝒇) 方程式重要的意義是：由系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)，可以推算得到FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)。
2. 由EMA「實驗模態分析」，主要步驟就是先量測結構的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。
3. 𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)，與𝑯𝒊𝒋(𝒇) =
𝑿𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇)，兩者之間，有(𝒊𝝎)^𝟐的倍數關係：𝑯𝒊𝒋(𝒇)=
𝑨𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇)
= (𝒊𝝎)^𝟐 𝑿𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇) = −𝝎^𝟐 𝑿𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)。
MSUP「模態疊加法」的分析理念，由以上推導的方程式，可知：
1.
要使用MSUP「模態疊加法」，進行「簡諧響應分析」之前，必須完成「模態分析」(modal analysis)，取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)
，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。其中，𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)必須由EMA「實驗模態分析」取得。
2.
又，如果要取得如圖示的FRF曲線，其最高頻率=1,000 Hz。「模態參數」必須取至少1.5倍的頻率範圍，也就是到1,500
Hz。因為，FRF曲線是所有振動模態效應的累加，需要納入較高頻率模態的效應。
3.
使用MSUP「模態疊加法」，求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，求解速度會快很多，因為，都是加減乘除的四則運算。
參閱左上方表格，可以得知：
1.
Model (D) = Modal
damping ratio = 模態阻尼比。無法採用FULL「全模型法」，因為，沒有定義到阻尼矩陣[𝑪]。
2.
Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼。無法採用MSUP「模態疊加法」。
綜合這個單元的討論，振動的「簡諧響應分析」(Harmonic response
analysis)，採用FULL「全模型法」與MSUP = Mode Superposition「模態疊加法」有甚麼差異？總結如下：
1. FULL「全模型法」：必須求得[𝑯(𝝎)]「頻率響應函數」矩陣，而[𝑯(𝝎)]，係由系統的質量矩陣[𝑴]、阻尼矩陣[𝑪]、勁度矩陣[𝑲]，組成的[𝑨(𝝎)]，取其逆矩陣(inverse matrix)，所得到。因為包含逆矩陣(inverse matrix)運算，所以，分析求解時間會比較長。再能觀察FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。
2. MSUP = Mode Superposition「模態疊加法」：求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，求解速度會快很多，因為，𝑯𝒊𝒋(𝒇)是由結構的三個「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓，所推導得來，都只是加減乘除的四則運算。所以，進行「簡諧響應分析」之前，必須完成「模態分析」(modal analysis)。
3. 可參考表格提供的資訊，確認不同的「阻尼模型」(damping model)，所適用的求解方法。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.02.06 
