《振動噪音科普專欄》結構邊界狀態對結構「自然頻率」的影響？

先前單元：【甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？】，主要是探討了甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」，掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。甚麼是「GMBI」？【結構系統之振動模擬分析：問題定義的F-GMBI-R】，簡要如下：

1.      Geometry幾何

2.      Material材料

3.      Boundary邊界

4.      Interface 組合接觸介面

參閱圖1，引用重要的3個「系統方塊圖」(system block diagram)：

1.          ISO/SPR系統方塊圖

2.          模態域系統方塊圖

3.          FàGMBIàR系統方塊圖

所以，可以知道結構系統的「GMBI」是影響結構「自然頻率」的主要因素。這個單元，將著重在「Material材料」的影響，特別是「材料參數」對結構「自然頻率」的影響。

首先參考圖1的懸臂樑結構，以結構系統的「GMBI」來看此懸臂樑結構：

1.      Geometry幾何：懸臂樑的長度、寬度、厚度，就是幾何參數，令L=380mm，W=300mm，T=2mm。形狀和尺寸明確，就完成了幾何模型的定義。

2.      Material材料：主要的材料參數，包括：「密度」(density)、「楊氏係數」(Young’s modulus)、「普松比」(Poisson ratio)等，分別假設為：ρ=8000kg/m^3、E=207GPa、ν=0.3。在此假設材料可以以「等向性材料模型」(isotropic material model)表示，只需要「楊氏係數」、「普松比」兩個材料參數。

3.      Boundary邊界：由於是懸臂樑，所以如圖示懸臂樑左端的端面，是完全固定的邊界。

4.      Interface 組合接觸介面：此懸臂樑結構，是單一零件，所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

對此懸臂樑結構，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以求得結構的「自然頻率」fr及對應的「模態振型」φr。圖1列出此懸臂樑結構的前10個「振動模態」。

綜合先前兩個單元：【結構的幾何形狀尺寸如何影響結構的「自然頻率」？】、【結構的材料參數如何影響結構的「自然頻率」？】，摘錄如下：

1.      結構的「幾何尺寸」，如何影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法：結構越「薄、大、長」，自然頻率越「低」。反之，結構越「厚、小、短」，自然頻率越「高」。

2.      結構的「材料參數」，如何影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法：結構越「輕、軟」，自然頻率越「低」。反之，結構越「重、硬」，自然頻率越「高」。

這個單元討論的重點，在針對不同的「邊界狀態」(boundary)，參閱圖1說明如下：

1.      F Plate：F指的是Fixed「固定」邊界，也就是如圖示，平板只有一個邊是完全的固定。此「固定」邊界，是所有的自由度，包括位移和旋轉自由度，都是零。

2.      FF Plate：也就是如圖示，平板在左右兩端，是完全「固定」。

3.      FFF Plate：也就是如圖示，除了平板在左右兩端，還加上長邊的端面，都是完全「固定」。

4.      FFFF Plate：也就是如圖示，平板的4個邊，都是完全「固定」。

5.      SSSS Plate：S指的是simply-supported「簡支」邊界，也就是如圖示，平板的4個邊，都是「簡支」邊界，和「固定」邊界不同的地方，「簡支」邊界只有位移自由度是零。所以，可以說「簡支」邊界和「固定」邊界相對比較起來，「簡支」邊界是比較「軟」的邊界。

6.      Free Plate：是指「全自由」邊界(free boundary)，也就是平板完全沒有任何拘束(no constraints)。

參閱圖2是以上6種「邊界狀態」的TMA「理論模態分析」分析結果，包括：「自然頻率」及對應的「模態振型」。

首先，由F Plate、FF Plate、FFF Plate、FFFF Plate的「振動模態」，討論說明如下：

1.      「固定」邊界越多，結構「自然頻率」有增高的趨勢。以第1個模態「自然頻率」f1為例，分別為：11.74 Hz、75.07 Hz、85.38 Hz、161.27Hz。增加「固定」邊界，結構「自然頻率」會增高。

2.      「固定」邊界不同，結構「模態振型」隨著「邊界」特性，會有不同的「模態振型」物理意義。如何解讀平板的「模態振型」可參閱：【典型矩形平板模態振型之解讀】。

另外，比較FFFF Plate和SSSS Plate的「振動模態」，以「3K」的模式，討論說明如下：，

1.      Know what?現象探討：(1) FFFF Plate和SSSS Plate兩者的「模態振型」物理意義相似。(2) FFFF Plate和SSSS Plate兩者的「自然頻率」，FFFF Plate明顯比SSSS Plate高。

2.      Know why?原因解析：(1)因為，FFFF Plate和SSSS Plate兩種邊界狀態，基本上都是四週固定，所以，「模態振型」相似，但是，仍有微小差異，係在邊界的轉動效應(rotation effect)。(2)因為，SSSS Plate是「簡支」邊界，只有位移自由度是零。而，FFFF Plate「固定」邊界是所有的自由度，包括位移和旋轉自由度，都是零。所以，「簡支」邊界和「固定」邊界比較起來，「簡支」邊界是比較「軟」的邊界，而「固定」邊界是比較「硬」的邊界。

3.      Know how?因應討論：Fixed「固定」邊界和Simply-supported「簡支」邊界，是兩種截然不同的物理意義，在模擬分析時，需要注意邊界設定要正確的對應。

最後，觀察Free Plate，「全自由邊界」平板的「振動模態」，其第1個模態「自然頻率」為f1=58.17Hz，似乎比F Plate的f1=11.74Hz高，不過，要注意，Free Plate第1個模態的「模態振型」已經是「(2,2)模態」，在F Plate的「(2,2)模態」是第4個模態f4=118.87Hz。

在此，「全自由邊界」平板不宜與「固定邊界」平板，做對應比較，不過，實務上的重點意義：「零組件」在「自由邊界」下得到的結構「自然頻率」，不能視為「組合結構」的「自然頻率」，因為結構的「邊界狀態」已經不同。

本單元，主要探討結構的「邊界狀態」，如何影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法：結構「固定邊界」越「少、軟」，結構的自然頻率越「低」；反之，結構「固定邊界」越「多、硬」，結構的自然頻率越「高」。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.09.10

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圖1

圖2

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《振動噪音科普專欄》結構的材料參數如何影響結構的「自然頻率」？

先前單元：【甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？】，主要是探討了甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」，掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。甚麼是「GMBI」？【結構系統之振動模擬分析：問題定義的F-GMBI-R】，簡要如下：

1.      Geometry幾何

2.      Material材料

3.      Boundary邊界

4.      Interface 組合接觸介面

參閱圖示，引用重要的3個「系統方塊圖」(system block diagram)：

1.          ISO/SPR系統方塊圖

2.          模態域系統方塊圖

3.          FàGMBIàR系統方塊圖

所以，可以知道結構系統的「GMBI」是影響結構「自然頻率」的主要因素。這個單元，將著重在「Material材料」的影響，特別是「材料參數」對結構「自然頻率」的影響。

首先參考圖示的懸臂樑結構，以結構系統的「GMBI」來看此懸臂樑結構：

1.      Geometry幾何：懸臂樑的長度、寬度、厚度，就是幾何參數，令L=380mm，W=300mm，T=2mm。形狀和尺寸明確，就完成了幾何模型的定義。

2.      Material材料：主要的材料參數，包括：「密度」(density)、「楊氏係數」(Young’s modulus)、「普松比」(Poisson ratio)等，分別假設為：ρ=8000kg/m^3、E=207GPa、ν=0.3。在此假設材料可以以「等向性材料模型」(isotropic material model)表示，只需要「楊氏係數」、「普松比」兩個材料參數。

3.      Boundary邊界：由於是懸臂樑，所以如圖示懸臂樑左端的端面，是完全固定的邊界。

4.      Interface 組合接觸介面：此懸臂樑結構，是單一零件，所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

對此懸臂樑結構，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以求得結構的「自然頻率」fr及對應的「模態振型」φr。圖示列出此懸臂樑結構的前10個「振動模態」。

針對結構「材料參數」的變異，對結構「自然頻率」的影響，首先探討不同「密度」ρ之影響，令ρ=16,000 kg/m^3，是原始密度ρ=8,000 kg/m^3的兩倍，以及ρ=4,000 kg/m^3，是0.5倍。同樣進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      「密度」ρ增大，「自然頻率」降低：由數值分析可知，「密度」加倍，「自然頻率」則降低，而且有「根號1/2」的倍數關係。

2.      「密度」ρ減小，「自然頻率」增高：由數值分析可知，「密度」減半，「自然頻率」則增高，而且有「根號2」的倍數關係。

可以推論，針對此懸臂樑結構，「密度」ρ和結構的「自然頻率」成「根號反比例」關係。

接著，針對「楊氏係數」E=207GPa，分別以2倍及0.5倍E值，進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      「楊氏係數」E增大，「自然頻率」增高：由數值分析可知，「楊氏係數」加倍，自然頻率增高，而且有「根號2」的倍數關係。

2.      「楊氏係數」E減小，「自然頻率」降低：由數值分析可知，「楊氏係數」縮小0.5倍，自然頻率降低，而且有「根號1/2」的倍數關係。

可以推論，針對此懸臂樑結構，「楊氏係數」E和結構的「自然頻率」，呈現「根號的正比例」關係。

對於一般型結構，可以推論：fr～sqrt(k/m)～sqrt(E/ρ)，也就是：

1.      自然頻率fr，和楊氏係數E，根號成正比。

2.      自然頻率fr，和密度ρ，根號成反比。

以上推論：fr～sqrt(k/m)～sqrt(E/ρ)，m和k分別是單自由度系統的「質量」和「彈簧常數」，「楊氏係數」E類比於「彈簧常數」k，而「密度」ρ類比於「質量」m。

最後，針對材料參數的「普松比」進行討論，以鋼鐵材料而言，「普松比」常見為：ν=0.28、ν=0.3、ν=0.33，分別對此不同「普松比」，進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      以ν=0.3為參考值，當ν=0.33略為增大時，「自然頻率」大都略為增加，最大增量為0.726%。

2.      以ν=0.3為參考值，當ν=0.28略為減小時，「自然頻率」大都略為降低，最大減量為–0.435%。

由以上數值分析結果，推論：「普松比」在微小的變異範圍，ν=0.28~0.33，對於結構「自然頻率」的影響不大，在 ±1.0%以內。

從結構的「材料參數」對結構的「自然頻率」的影響，口語化概念上的說法：

1.      結構越「輕」，自然頻率越「低」。反之，結構越「重」，自然頻率越「高」。結構材料的「輕重」明確的物理量，應該是材料「密度」的「小大」。

2.      結構越「軟」，自然頻率越「低」。反之，結構越「硬」，自然頻率越「高」。結構材料的「軟硬」明確的物理量，應該是材料「楊氏係數」的「小大」。

3.      結構材料的「普松比」，對結構自然頻率的影響很小，在 ±1%以內。

這個單元，主要是探討了結構的「材料參數」，如何影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法：結構越「輕、軟」，自然頻率越「低」。反之，結構越「重、硬」，自然頻率越「高」。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.09.10

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