《振動噪音科普專欄》頻譜分析與時頻分析有甚麼差別呢？

先前單元討論的主題：「甚麼是時頻圖？」，其中，「時頻圖」，也可以說是「時頻譜」，就是可以透過對「時間域波形」信號p(t)進行「短時傅立葉轉換」(short time Fourier transform, STFT)的「時頻分析」(spectrogram analysis)，可以求得其「時頻函數」P(t, f)，以同時觀察「時間域」和「頻譜域」信號特徵，此「時頻圖」可稱為「time-frequency plot」，正式的英文名詞為「spectrogram」。

另外，也有單元討論【甚麼是頻譜分析？】、【對一個信號進行頻譜分析，可以得到甚麼？】，其中「頻譜分析」(spectral analysis)，簡單的說，就是對「時間域波形」信號a(t)進行「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform, FFT)，可以求得如：「傅立葉頻譜」、「自身功率頻譜」、「三分之一八音頻帶頻譜」等三種頻譜。【加速度頻譜，有幾種？】

由以上說明，已經簡單的區別了「頻譜分析」及「時頻分析」，那麼這兩種分析有甚麼差異？也知道可以得到不同的「頻譜圖」以及「時頻圖」，其間又有甚麼差別？為什麼需要這兩種圖示呢？能夠觀察到甚麼現象及觀察的重點呢？有甚麼用途？以及實務的應用呢？

本單元以一部機車的振動信號進行說明，首先由圖示上方，是機車在怠速(idle)的狀態下，量測的加速度信號，分別進行了「頻譜分析」以及「時頻分析」，簡要說明如下：

1.      「頻譜分析」：由取得的時間域波形信號a(t)，進行FFT「頻譜分析」及PSD「功率頻譜分析」，可以得到Gaa(f)「自身功率頻譜」，範例圖示取了10次平均。可以再放大頻譜圖，從頻寬6000Hz的範圍，僅觀察200Hz的頻率範圍。可發現此「加速度頻譜」，有「轉速倍頻」的現象，其中，「轉速頻率」f=14 Hz，相當於840 RPM (RPM = 60*f)。這是典型轉動機械的振動加速度頻譜，都有的「轉速倍頻」現象。

2.       「時頻分析」：以相同的加速度信號a(t)，進行spectrogram analysis，可以得到「時頻圖」，其中，水平軸是時間，垂直軸是頻率，彩色的圖示是「加速度時頻函數」Gaa(t,f)。可以觀察出有穩定的「峰值頻率」現象，這和在「頻譜分析」得到的Gaa(f)，所觀察的現象似乎有相同的資訊。在機車怠速狀態下的加速度信號之「時頻分析」好像沒有特別的優點。

不過，參考圖示右下方，是機車在加速過程(Run-up test)的狀態下，量測的加速度信號，進行了「時頻分析」，簡要說明如下：

1.      實驗量測的a(t)信號：機車以腳架撐起，由怠速狀態，慢慢逐漸加大油門，使得加快引擎轉速，這就是run-up test的過程。隨後釋放油門，回到怠速狀態，可以說是coast-down test。由圖示加速度的時間域波形信號，可以看出run-up及coast-down的歷程。

2.      若是對此a(t)信號進行「頻譜分析」：由於是暫態響應，不同的時間區間，所得到的頻譜特徵，都會有所差異。因此，採用「頻譜分析」對此機車加速過程的振動加速度信號做分析，不一定有效、有幫助了解其振動特性。

3.      「加速度時頻函數」Gaa(t,f)：由「時頻圖」分析就有一些優點。(1)可以發現隨著引擎轉速升高，「轉速頻率」及其「轉速倍數頻率」都有明顯的峰值，也就是圖示中的紅色線條。此紅色線條有階梯狀，是控制油門不平順的現象。而紅色線條有兩個向右上斜的不同斜率，一是引擎轉速倍頻效應，一是變速箱效應，都可以確認是與轉速相關的振動特徵。(2)在run-up test中，時頻圖可以觀察到的重要特徵，如圖示中，不隨轉速頻率變動的峰值頻率(non-synchronous peak frequencies)，可以推斷可能來自「結構自然頻率」(structural natural frequency)的效應。至於是怎樣的「振動模態」，就需要另行探討了。【甚麼是結構振動模態】

在本單元分別由「頻譜分析」及「時頻分析」，探討機車振動加速度信號的頻譜特徵。

1.      「頻譜分析」：可以明確的探討信號之頻譜特徵，對於如機車怠速時的「穩態響應」(steady state response)分析，可以比較細緻的觀察頻譜內涵與特徵。

2.      「時頻分析」：對於機車的加速或降速過程，在run-up或coast-down的「暫態響應」(transient response)分析，除了可以觀察「轉速頻率」的變化過程，也可辨識出不隨轉速變化的峰值頻率效應，通常可推論是來自結構的「自然頻率」，也就是結構「振動模態」的影響。此結構模態特徵，通常就要藉由「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)的實驗方法，輔助了解結構的模態。【甚麼是【實驗模態分析】？What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)？】

這個單元區別了「頻譜分析」及「時頻分析」，這兩種分析有甚麼差異，以及分別可以得到「頻譜圖」及「時頻圖」的特徵與特性。並以機車的怠速及加速過程，比較機車振動之加速度信號的「頻譜分析」及「時頻分析」，以及兩種分析的差異探討。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「頻譜分析」以及「時頻分析」的差異與應用。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.05.21

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《振動噪音科普專欄》甚麼是時頻圖？

這個單元來看的主題：「甚麼是時頻圖？」，其中，「時頻圖」，也可以說是「時頻譜」，就是可以同時觀察「時間域」和「頻譜域」信號特徵的圖示，此圖示可稱為「time-frequency plot」，正式的英文名詞為「spectrogram」。

本單元就來觀察幾種典型信號的「時頻圖」特徵，在討論之前，先自我提問一下：為什麼需要「時頻圖」？「時頻圖」與一般的「頻譜圖」有甚麼不同？讀者可參閱：【加速度頻譜，有幾種？】。如何取得「時頻圖」呢？又取得「時頻圖」能夠觀察到甚麼現象及觀察的重點呢？了解「時頻圖」有甚麼用途？以及實務的應用呢？

參考圖示，左上角第一個圖示是「單一頻率正弦波」的「時頻圖」，此「時間域波形信號」p(t)，是頻率f=200Hz的簡諧波，持續約1.2秒。對此p(t)信號進行「短時傅立葉轉換」(short time Fourier transform, STFT)，可以求得其「時頻函數」P(t, f)，STFT的運算原理再另闢單元討論。

參閱圖示「單一頻率f=200Hz」的「時頻圖」，由影片可聽到此信號為200Hz的聲音，說明其「時頻圖」特性如下：

1.      時間軸：在水平軸向，此時間軸和「時頻圖」上方的「時間域信號」(time waveform)，是相互對應的時間軸。

2.      頻率軸：是垂直軸向，此頻率軸的最高「有效頻率」(Nyquist frequency) fnyq，係由量測時間域信號的「取樣頻率」(sampling frequency) fs所決定，fnyq=fs/2。讀者可參閱：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。

3.      「時頻函數」P(t,f)：若時間t的水平軸為x方向，頻率f的垂直軸為y方向，則P(t,f)「時頻函數」就是z方向的量值，圖示中的「時頻圖」是以「等高線圖」(contour plot)方式呈現，圖示中的紅色區域是量值較大，藍色則是量值較小。在頻率f=200Hz，隨著時間軸，有一條「連續的紅色線條」，表示隨著時間變化，一直都有200Hz的頻率存在。這樣說來，也不意外，因為這就是一個連續的200Hz頻率的信號。

參閱圖示「兩個單頻率f1=200Hz，f2=300Hz」的「時頻圖」，可以觀察垂直軸的頻率，在f=200Hz以及f=300Hz，隨著水平軸向的時間變化，有兩條紅色的線條，表示一直都有此兩個頻率的信號，而且，f=200Hz比f=300Hz的線條更深紅，代表f1=200Hz信號的「振幅」比f2=300Hz信號的「振幅」要大。「簡諧波」的「振幅」定義，可參閱：【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義？】。

再參閱圖示「兩個單頻率f1=200Hz，f2=210Hz」的「時間域波形」及「時頻圖」，可以觀察到有「重擊現象」(beating phenomenon)，也有稱為「拍擊現象」。讀者可參閱：【甚麼是重擊現象(beating phenomenon)？】，有不同的「重擊頻率」(beating frequency)之時間域波形介紹。在此單元，看到的則是「時頻圖」的典型「重擊現象」之特徵。

「重擊現象」的原因：主要是有兩個頻率相近的正弦波之合成效應。時間域響應的重擊週期，會依兩個頻率的差值，所得到的重擊頻率之倒數推算之。由圖示，可以知道典型「重擊現象」之「時間域波形」及「時頻圖」的特徵。

再觀察「低轉速到高轉速的聲音」之「時頻圖」，說明如下：

1.      聲音特性：由影片可聽到此信號的對應聲音，大約是由低頻率慢慢升高到高頻率的聽感。

2.      時間域波形特性：由p(t)時間域波形，實在看不出來有甚麼特別的差異，因為都是隨機信號，勉強可說，隨著時間變化，能觀察到有不同的大小變化吧！

3.      時頻圖特性：已知紅色的線條，代表該頻率的振幅大，由圖示可觀察，紅色線條有幾個特徵：(1)紅色線條呈現「向右上斜」，也就是隨著時間變化，頻率逐漸增大。這是因為由轉動機械如馬達，由低轉速、慢慢增加到高轉速，又知道轉速可以轉換得「轉速頻率」【什麼是轉速頻率(rotating speed frequency)？】，所以有此「向右上斜」的現象。(2)從水平軸的每一個時間，觀察到垂直軸的頻率特徵有「紅色」的點，其實，就是「轉速頻率」的「倍頻」效應。這也是轉動機械，典型的「轉速倍頻」效應。(3)不隨時間變化的高響應之紅色區域，除了隨時間變化的連續「紅色直線」外，可以觀察到有如同前述「單一頻率」的特徵，也就是一直存在的相同頻率之響應，這種特徵，是不隨轉速變化的系統頻率響應。其實，可以推論就是結構系統的「自然頻率」(natural frequency)，也有稱為「固有頻率」，確實就是一直存在的結構響應之主要頻率特徵。

接著，再觀察「人的聲音」之「時頻圖」，說明如下：

1.      聲音特性：由影片可聽到此信號的對應聲音，是由本人以「哼」的方式，由低頻率慢慢升高到高頻率，在中間有持平約2秒，再快速降低頻率的過程，所錄製起來的聲音。

2.      時間域波形特性：由p(t)時間域波形，一樣也是看不出來有甚麼特別的差異，因為都是隨機信號，勉強可說，隨著時間變化，能觀察到在高頻率聲音時，有相對比較大的量值吧！

3.      時頻圖特性：垂直軸只觀察0~2000Hz的頻率區間。同樣，紅色的線條，代表該頻率的振幅大，由圖示可觀察，最紅的線條在t=0時，約為100Hz，在t=8~10秒之間，持續的最高頻率約200Hz左右，隨後頻率又降下來。所以，「時頻圖」的優點是可以觀察出隨時間變化時，該信號的頻率變動情形。另外，也可觀察出「人的聲音」也呈現出「倍頻音」的效應，就是在「時頻圖」中顯現出「等高線」的特徵。

最後，再觀察「人的聲音Do,Re,Mi,Fa,…」之「時頻圖」，說明如下：

1.      聲音特性：由影片可聽到此信號的對應聲音，是由本人以「Do,Re,Mi,Fa,…」的方式，唱出音階的聲音，在此不評論音階的音準是否正確，謹以此聲音來探討「時頻圖」的特徵。

2.      時間域波形特性：由p(t)時間域波形，一樣也是看不出來有甚麼特別的差異，因為都是隨機信號，勉強可說，隨著時間變化，能觀察到高音的音階時，有相對比較大的量值吧！

3.      時頻圖特性：在此「時頻圖」中，垂直軸一樣只觀察0~2000Hz的頻率區間。同樣，紅色的線段，代表該頻率的振幅大，由圖示可觀察，最紅的線段在t=0時，約為100Hz，每一個音階，呈現一條「紅色線段」，隨著音階的升高，「紅色線段」有逐漸往高頻率偏移。此「紅色線段」與前兩個聲音的「紅色連續線條」之差異，是因為唱Do、Re、Mi的音階時，是一個時間區間、一一的分段唱出，所以呈現片段連續(piecewise continuous)的「紅色線段」。又，每個音階的聲音都有數個「峰值頻率」，也接近呈現「倍頻音」的效應。最低頻率的第一個頻率音，稱為「基音頻率」(fundamental frequency)，就是可以辨識的Do、Re、Mi的音階頻率，有興趣的讀者可以參閱：【音階標準頻率】。而此「倍頻音」，就是「泛音頻率」(overtone frequencies)，這就是每個人的聲音的「音色」(tone color, timbre)，同樣唱出Do，能夠分辨出不同人的聲音，其實，就是「泛音頻率」組成所造成每個人「音色」的差異。

為什麼需要「時頻圖」？「時頻圖」與一般的「頻譜圖」有甚麼不同？「時頻圖」能夠觀察到甚麼現象及觀察的重點呢？「時頻圖」有甚麼用途？以及實務的應用呢？綜合說明如下：

1.      「時頻圖」特徵：最主要可以觀察出隨時間變化的頻譜特性，也就是可以得知，信號在不同時間下的頻譜整體分布狀態，因此，很適合觀察如轉速變化之運轉機器的聲音與振動。

2.      「時頻圖」不同於一般的「頻譜」：如「傅立葉頻譜」是一個時間區間的頻譜、或是「自身功率頻譜」可以是一段時間區間的平均頻譜，比較適合「穩態」(steady state)響應狀態的解析，讀者可參閱：【加速度頻譜，有幾種？】。「時頻圖」可以如本單元呈現的「等高線圖」模式，觀察整體的時間與頻率分布狀態，比較適合「暫態」(transient state)之響應解析。

3.      「時頻分析」(spectrogram analysis)：「時頻分析」是對信號解析的一種方法，除了本單元應用在聲音的解析，同樣可以應到振動響應及其他物理量的解析。對於轉動機械，由靜止到額定轉速啟動時的「run-up test」，以及關機時的「coast-down test」，是可以觀察與區別出「轉速頻率」或結構「自然頻率」的效應。

這個單元主要在介紹「時頻圖」是甚麼？由不同的「時間域信號」說明其在「時頻圖」的特性與特徵，包括：單一頻率簡諧波、兩個單頻率簡諧波的合成音、重擊音、低轉速到高轉速連續變化音、人由低音到高音「哼」的聲音、以及唱Do、Re、Mi系列音階的聲音。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「時頻圖」的現象解讀。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.05.08

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