《振動噪音科普專欄》結構的幾何形狀尺寸如何影響結構的「自然頻率」？

先前單元：【甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？】，主要是探討了甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」，掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。甚麼是「GMBI」？【結構系統之振動模擬分析：問題定義的F-GMBI-R】，簡要如下：

1.      Geometry幾何

2.      Material材料

3.      Boundary邊界

4.      Interface 組合接觸介面

參閱圖示，引用重要的3個「系統方塊圖」(system block diagram)：

1.          ISO/SPR系統方塊圖

2.          模態域系統方塊圖

3.          FàGMBIàR系統方塊圖

所以，可以知道結構系統的「GMBI」是影響結構「自然頻率」的主要因素。這個單元，將著重在「Geometry幾何」的影響，特別是「幾何尺寸」對結構「自然頻率」的影響。

首先參考圖示的懸臂樑結構，以結構系統的「GMBI」來看此懸臂樑結構：

1.      Geometry幾何：懸臂樑的長度、寬度、厚度，就是幾何參數，令L=380mm，W=300mm，T=2mm。形狀和尺寸明確，就完成了幾何模型的定義。

2.      Material材料：主要的材料參數，包括：「密度」(density)、「楊氏係數」(Young’s modulus)、「普松比」(Poisson ratio)等，分別假設為：ρ=8000kg/m^3、E=207GPa、ν=0.3。在此假設材料可以以「等向性材料模型」(isotropic material model)表示，只需要「楊氏係數」、「普松比」兩個材料參數。

3.      Boundary邊界：由於是懸臂樑，所以如圖示懸臂樑左端的端面，是完全固定的邊界。

4.      Interface 組合接觸介面：此懸臂樑結構，是單一零件，所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

對此懸臂樑結構，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以求得結構的「自然頻率」fr及對應的「模態振型」φr。圖示列出此懸臂樑結構的前10個「振動模態」。

針對結構幾何「尺寸」的變異，對結構「自然頻率」的影響，首先探討不同「厚度」T之影響，令T=4mm，是原始厚度T=2mm的兩倍，以及T=1mm，是0.5倍。同樣進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      「厚度」T增大，「自然頻率」也增高：由數值分析可知，「厚度」加倍，「自然頻率」也加倍。

2.      「厚度」T減小，「自然頻率」也降低：由數值分析可知，「厚度」減半，「自然頻率」也減半。

可以推論，針對此懸臂樑結構，「厚度」T和結構的「自然頻率」成「正比例」關係。

接著，在厚度T不變，長度L及寬度W，分別以2倍及0.5倍長寬進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      「長度寬度」增大，「自然頻率」降低：由數值分析可知，加倍長寬，自然頻率降低，而且是1/4倍的關係。

2.      「長度寬度」減小，「自然頻率」增高：由數值分析可知，縮小0.5倍長寬，自然頻率增高，而且是4倍的關係。

可以推論，針對此懸臂樑結構，「長度」及「寬度」和結構的「自然頻率」，呈現「平方的反比例」關係。

對於類似的平板結構，可以推論：fr～T/L^2，也就是：

1.      自然頻率，和平板厚度，成正比。

2.      自然頻率，和平板的長度及寬度，平方成反比。

從結構的「幾何尺寸」對結構的「自然頻率」的影響，口語化概念上的說法：

1.      結構越「薄」，自然頻率越「低」。反之，結構越「厚」，自然頻率越「高」。

2.      結構越「大」，自然頻率越「低」。反之，結構越「小」，自然頻率越「高」。

3.      結構越「長」，自然頻率越「低」。反之，結構越「短」，自然頻率越「高」。

這個單元，主要是探討了結構的「幾何尺寸」，如何影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法：結構越「薄、大、長」，自然頻率越「低」。反之，結構越「厚、小、短」，自然頻率越「高」。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.09.10

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《振動噪音科普專欄》甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？

我們知道每個結構都有它的「自然頻率」(natural frequency)，那麼有甚麼因素會影響結構的「自然頻率」呢？要探討這個主題，這個單元由3個「系統方塊圖」(system block diagram)進行討論：

1.          ISO/SPR系統方塊圖

2.          模態域系統方塊圖

3.          FàGMBIàR系統方塊圖

首先，參考圖示，由「ISO/SPR系統方塊圖」，【甚麼是ISO及SPR？】說明如下：

1.          Input輸入：和Source 振動或噪音源相同意義，也可說是激勵源，都是指系統的輸入激勵源。

2.          System系統：和Path傳遞路徑相同意義，都是代表結構系統。

3.          Output輸出：和Receiver接受者相同意義，也可以說是Response響應，都是系統的輸出響應。

基本上ISO = SPR，ISO 等同於 SPR，只是不同的說法而已。

接著，再觀察「模態域系統方塊圖」，就是結構的「振動模態」(vibration modes)，包括3個「模態參數」(modal parameters)，【甚麼是結構振動模態】說明如下：

1.      自然頻率(natural frequency)，fr

2.      模態振型(mode shape)，φr

3.      模態阻尼比(modal damping ratio)，ξr

在標示結構「振動模態」，以「自然頻率」的大小，由小排到大，f1 < f2 < f3 < …；而每個「自然頻率」，有其對應的「模態振型」及「模態阻尼比」，所以，例如「第r個振動模態」有：第r個自然頻率(fr)、第r個模態振型(φr)、及第r個模態阻尼比(ξr)，r=1,2,3,…。

在此需注意，圖示的顏色是有意義的，其中，「藍色」代表輸入/激勵源，「綠色」代表系統/路徑，「紅色」代表輸出/響應。而3個「模態參數」：fr、φr、ξr，就是系統資訊。

再以「FàGMBIàR系統方塊圖」，【結構系統之振動模擬分析：問題定義的F-GMBI-R】，摘錄說明如下：

1.          F：force代號，泛指系統的外力負荷(external loadings)

2.          G：geometry代號，泛指系統及其零組件的幾何模型

3.          M：material代號，泛指系統及其零組件的材料參數模型

4.          B：boundary代號，泛指結構系統之邊界狀態

5.          I：interface代號，泛指各零組件的組裝接合介面狀態

6.          R：response，泛指系統的響應

比較以上3個「方塊圖」，觀察「綠色」的「系統」/「路徑」、「振動模態」、以及「GMBI」，就可以很清楚辨識，會影響結構「自然頻率」的因素，就是「GMBI」，也就是「幾何」、「材料」、「邊界」、「組合/接觸介面」。

舉一個懸臂樑結構，如圖示，來說明此結構參數對「自然頻率」的影響：

1.      Geometry幾何：懸臂樑的長寬高，就是幾何參數，長寬高不同，就會影響懸臂樑的「自然頻率」。

2.      Material材料：不同的懸臂樑材質，當然也會影響結構的「自然頻率」。主要的材料參數，包括：「密度」(density)、「楊氏係數」(Young’s modulus)、「普松比」(Poisson ratio)等。

3.      Boundary邊界：由於是懸臂樑，所以如圖示懸臂樑左端的端面，是完全固定的邊界。

4.      Interface 組合接觸介面：此懸臂樑結構，是單一零件，所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

再舉如圖示的壓縮機結構，來說明此結構參數對「自然頻率」的影響：

1.      Geometry幾何：壓縮機的每一個零件，都有其幾何形狀和尺寸，當然，幾何形狀及尺寸不同，就會影響零件以及整體壓縮機結構的「自然頻率」。

2.      Material材料：壓縮機的每一個零件，都有其不同的材質，主要的材料參數，包括：「密度」、「楊氏係數」、「普松比」等，當然也都會影響結構的「自然頻率」。

3.      Boundary邊界：此壓縮機底部由3個橡膠腳墊支撐，上方的本體會連接吐出管，儲液瓶連接吸入管，輸送冷媒。因此，不同的「腳墊邊界」和「管路邊界「=」，就會影響壓縮機的「自然頻率」。

4.      Interface 組合接觸介面：此壓縮機結構，有相當多的零組件組成，藉由銲接組裝，也有各種扣件介面、或滑動接觸介面等，這些組裝方式的差異，以及不同的接觸介面，都會影響壓縮機的「自然頻率」。

綜合一下這個單元的討論：甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？首先，要有「ISO/SPR的系統方塊圖」概念。同時，也需要理解「模態域系統方塊圖」，其中，「振動模態」的「模態參數」就是系統的資訊，而「自然頻率」也是系統資訊之一，「自然頻率」不會因為外力激勵源的不同而有變異。

最後，由「F-GMBI-R系統方塊圖」，可以得知，會影響結構「自然頻率」的因素，就是結構系統的「GMBI」，也就是幾何形狀尺寸、材料參數、邊界狀態、以及零組件的組合接觸介面。

這個單元，主要是探討了甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」，掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。希望由本單元的探討，讀者能夠理解影響結構「自然頻率」的因素有哪些？就是結構系統的「GMBI」了！

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.09.10

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