《振動噪音科普專欄》結構的幾何形狀尺寸如何影響結構的「自然頻率」？

先前單元：【甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？】，主要是探討了甚麼因素會影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」，掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。甚麼是「GMBI」？【結構系統之振動模擬分析：問題定義的F-GMBI-R】，簡要如下：

1.      Geometry幾何

2.      Material材料

3.      Boundary邊界

4.      Interface 組合接觸介面

參閱圖示，引用重要的3個「系統方塊圖」(system block diagram)：

1.          ISO/SPR系統方塊圖

2.          模態域系統方塊圖

3.          FàGMBIàR系統方塊圖

所以，可以知道結構系統的「GMBI」是影響結構「自然頻率」的主要因素。這個單元，將著重在「Geometry幾何」的影響，特別是「幾何尺寸」對結構「自然頻率」的影響。

首先參考圖示的懸臂樑結構，以結構系統的「GMBI」來看此懸臂樑結構：

1.      Geometry幾何：懸臂樑的長度、寬度、厚度，就是幾何參數，令L=380mm，W=300mm，T=2mm。形狀和尺寸明確，就完成了幾何模型的定義。

2.      Material材料：主要的材料參數，包括：「密度」(density)、「楊氏係數」(Young’s modulus)、「普松比」(Poisson ratio)等，分別假設為：ρ=8000kg/m^3、E=207GPa、ν=0.3。在此假設材料可以以「等向性材料模型」(isotropic material model)表示，只需要「楊氏係數」、「普松比」兩個材料參數。

3.      Boundary邊界：由於是懸臂樑，所以如圖示懸臂樑左端的端面，是完全固定的邊界。

4.      Interface 組合接觸介面：此懸臂樑結構，是單一零件，所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

對此懸臂樑結構，進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，可以求得結構的「自然頻率」fr及對應的「模態振型」φr。圖示列出此懸臂樑結構的前10個「振動模態」。

針對結構幾何「尺寸」的變異，對結構「自然頻率」的影響，首先探討不同「厚度」T之影響，令T=4mm，是原始厚度T=2mm的兩倍，以及T=1mm，是0.5倍。同樣進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      「厚度」T增大，「自然頻率」也增高：由數值分析可知，「厚度」加倍，「自然頻率」也加倍。

2.      「厚度」T減小，「自然頻率」也降低：由數值分析可知，「厚度」減半，「自然頻率」也減半。

可以推論，針對此懸臂樑結構，「厚度」T和結構的「自然頻率」成「正比例」關係。

接著，在厚度T不變，長度L及寬度W，分別以2倍及0.5倍長寬進行TMA「理論模態分析」，如表格顯示，討論如下：

1.      「長度寬度」增大，「自然頻率」降低：由數值分析可知，加倍長寬，自然頻率降低，而且是1/4倍的關係。

2.      「長度寬度」減小，「自然頻率」增高：由數值分析可知，縮小0.5倍長寬，自然頻率增高，而且是4倍的關係。

可以推論，針對此懸臂樑結構，「長度」及「寬度」和結構的「自然頻率」，呈現「平方的反比例」關係。

對於類似的平板結構，可以推論：fr～T/L^2，也就是：

1.      自然頻率，和平板厚度，成正比。

2.      自然頻率，和平板的長度及寬度，平方成反比。

從結構的「幾何尺寸」對結構的「自然頻率」的影響，口語化概念上的說法：

1.      結構越「薄」，自然頻率越「低」。反之，結構越「厚」，自然頻率越「高」。

2.      結構越「大」，自然頻率越「低」。反之，結構越「小」，自然頻率越「高」。

3.      結構越「長」，自然頻率越「低」。反之，結構越「短」，自然頻率越「高」。

這個單元，主要是探討了結構的「幾何尺寸」，如何影響結構的「自然頻率」？最簡要的說法：結構越「薄、大、長」，自然頻率越「低」。反之，結構越「厚、小、短」，自然頻率越「高」。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.09.10

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