先前模型驗證議題的相關單元：
這個單元我們再來看底盤前懸吊口字樑的模型驗證，主要有三個步驟：
1.
對口字樑進行實驗模態分析(experimental
modal analysis, EMA)：以衝擊鎚為驅動器敲擊球桿，以加速度規量測加速度響應，以取得球桿的頻率響應函數(frequency response function, FRF)。再對量測的一系列FRF，進行曲線嵌合(curve fitting)，可以擷取出球桿的模態參數(modal parameter)，包括：自然頻率(natural frequency)、模態阻尼比(modal damping ratio)，以及對應的模態振型(mode shape)。圖示是模型驗證前4個模態的模態振型。
2.
對口字樑進行有限元素分析(finite
element analysis, FEA)：在FEA可以分成兩個步驟：(1)理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA)，可以得到理論的自然頻率以及模態振型。(2)簡諧響應分析(harmonic response
analysis)，可以得到理論的頻率響應函數。
3.
進行口字樑模型驗證(model verification,
MV)的比較程序：觀察圖示共有三個區塊的圖示及表格，中間下方是頻率響應函數圖示，右下方是口字樑的自然頻率比較表，圖示上方是分別是EMA及FEA求得的口字樑模態振型。
這個單元著重在討論，在模型驗證的比較程序，為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數？如何觀察模態振型？以及振動模態在頻率響應函數中顯現的特徵為何？
首先，由系統的角度，繪製系統方塊圖，可以從3個面向來說明：
1.
物理域(physical domain)：如物理域方塊圖，輸入是fj(t)，代表的是衝擊鎚的外力輸入時間域信號；j，則代表了外力的作用位置與方向。輸出是ai(t)，代表的是量測到加速度的時間域響應；i，則代表了加速規的擺放位置及量測方向。系統資訊當然就是口字樑的幾何與材料參數。在建構幾何模型時，當然就是確認形狀、尺寸與實際結構的對應。在設定材料參數時，包括：材料的密度、楊氏係數及普松比。在理論分析時，對應的就是[M]、[C]、[K]三個矩陣，分別是質量矩陣(mass matrix)、阻尼矩陣(damping matrix)、勁度矩陣(stiffness matrix)。
2.
模態域(modal domain)：除了從物理域角度看系統，也可由模態域角度來觀察系統，也就是模態參數，每一個振動模態(vibration mode)，都有自然頻率、模態振型、及模態阻尼比，這三個模態參數，圖示中的下標符號r，代表第r個振動模態，r=1,2,…，由低頻率開始排序，理論上，有無限多個振動模態。首先，需要有一個認知，當結構系統參數如幾何形狀、材料參數、邊界條件等固定不變的話，系統的模態參數，也是不變的，也就是不會因為輸入的不同，而改變了結構的振動模態。由TMA的正規模態分析(normal mode
analysis)，只可以得到自然頻率及模態振型；而由EMA，三個模態參數，包括模態阻尼比都可以取得。
3.
頻率域(frequency domain)：第三個角度看系統，就是頻率域的系統方塊圖。系統方塊呈現的是Hij(f)，就是頻率響應函數，在此對應於EMA的敲擊實驗，理論上，Hij(f)=Ai(f)/Fj(f)，加速度ai(t)的傅立葉頻譜Ai(f)，除以外力fj(t)的傅立葉頻譜。所以，Hij(f)的i及j，分別代表了加速度及外力的位置與方向。注意，本案例的頻率響應函數單位是g/N，也就是加速度除以力的單位。
針對此口字樑的案例，在模型驗證程序如何觀察與討論，分別從頻率域的頻率響應函數比較，以及模態域的模態參數比較，綜合如下：
頻率域的頻率響應函數圖示之FRF曲線比較：
1.
由於頻率響應函數是複數(complex number)，是因為有阻尼效應的關係。又，模態阻尼比的大小，會影響FRF曲線的尖銳度。本案例FRF圖示，取複數的振幅(amplitude)，並以對數座標方式畫出FRF曲線。
2.
圖中，分別有實驗及FEA理論分析所求得Experimental及Theoretical的FRF曲線，兩個FRF曲線比對在看趨勢及量值。
3.
FRF趨勢比對：主要觀察如FRF的峰值頻率，稱共振點(resonance point)，以及倒峰值頻率，稱反共振點(anti-resonance point)。
4.
FRF量值比對：當然是FRF曲線的每個頻率點之數值要相對應。
模態域的模態參數比較：
1.
FRF曲線的峰值頻率：由頻率響應函數圖示，FRF曲線的每一個峰值所對應的頻率，簡稱峰值頻率(peak frequency)，就是結構的自然頻率。一般由最小的自然頻率標註f1，餘此類推，理論上，有無限多個自然頻率。
2.
在此口字樑的案例，第1個模態是相當於平板結構的(2,2)模態，從EMA及FEA所觀察的模態振型物理意義相對應，所以，可以比較兩者自然頻率的差異，約-1.45%。
3.
在此口字樑的案例，第2個模態是相當於平板結構的(3,1)模態，從EMA及FEA所觀察的模態振型物理意義相對應，所以，可以比較兩者自然頻率的差異，約-3.33%。
4.
在此口字樑的案例，第3個模態是結構的扭曲(twisting)模態，從EMA及FEA所觀察的模態振型物理意義相對應，所以，可以比較兩者自然頻率的差異，約2.13%。
5.
在此口字樑的案例，第4個模態是口字樑兩側長樑的局部彎曲模態(local bending mode)特性，從EMA及FEA所觀察的模態振型物理意義相對應，所以，可以比較兩者自然頻率的差異，約2.02%。
6.
振動模態的模態參數，是成對倆倆對應：觀察每個峰值頻率，由EMA及FEA所對應得到的模態振型，都有明確的倆倆對應之相同物理意義。在此要注意，在自然頻率比較表中，能夠將EMA及FEA的自然頻率放在一起比較，探討其自然頻率的差異百分比，必須要確認，所比較的是相同的模態，因為，振動模態的模態參數，是成對出現的。
綜合來說，可以分別由頻率域的頻率響應函數比較，以及模態域的模態參數比較，依循上述討論方式，要確保分析模型與實際結構的等效性，這就達成模型驗證的目標。
本單元以口字樑的模型驗證，從三個觀察系統的角度，包括：物理域、模態域、及頻率域，以了解結構系統的特徵。並且探討模型驗證的比較程序，為什麼需要觀察比對頻率響應函數以及模態參數？希望對讀者在模型驗證的物理意義與應用，有進一步的了解與體會！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.10.08
