這個單元我們再來看高爾夫球碳纖維球桿 模型驗證 ，主要有三個步驟：
1.
對球桿進行實驗模態分析 (experimental
modal analysis, EMA) ：以衝擊鎚為驅動器敲擊球桿，以加速度規量測加速度響應，以取得球桿的頻率響應函數 (frequency response function, FRF ) 。再對量測的一系列 FRF ，進行曲線嵌合 (curve fitting) ，可以擷取出球桿的模態參數 (modal parameter) ，包括：自然頻率 (natural frequency) 、模態阻尼比 (modal damping ratio) ，以及對應的模態振型 (mode shape) 。
2.
對球桿進行有限元素分析 (finite
element analysis, FEA) ：在 FEA 可以分成兩個步驟： (1) 理論模態分析 (theoretical modal analysis, TMA ) ，可以得到理論的自然頻率 以及模態振型 。 (2) 簡諧響應分析 (harmonic response
analysis) ，可以得到理論的頻率響應函數 。
3.
進行模型驗證 (model verification,
MV) 的比較程序 ：觀察圖示共有三個區塊的圖示及表格，右下角是頻率響應函數 ，左下角是高爾夫球桿的自然頻率比較表 ，右上角是 EMA 及 FEA 求得的球桿模態振型 。
這個單元著重在討論，在模型驗證的比較程序，為什麼 需要觀察比對頻率響應函數 以及模態參數 ？
首先，由系統的角度，繪製系統方塊圖 3 個面向來說明：
1.
物理域 (physical domain) ：如物理域方塊圖，輸入 是 fj(t) ，代表的是衝擊鎚的外力輸入時間域信號； j ，則代表了外力的作用位置與方向。輸出 是 ai(t) ，代表的是量測到加速度的時間域響應； i ，則代表了加速規的擺放位置及量測方向。系統 資訊當然就是球桿的幾何與材料參數，在理論分析時，對應的就是 [M] 、 [C] 、 [K] 三個矩陣，分別是質量矩陣 (mass matrix) 、阻尼矩陣 (damping matrix) 、勁度矩陣 (stiffness matrix) 。
2.
模態域 (modal domain) ：除了從物理域角度看系統，也可由模態域角度來觀察系統，也就是模態參數 ，每一個振動模態 (vibration mode) ，都有自然頻率、模態振型、及模態阻尼比，這三個模態參數，圖示中的下標符號 r ，代表第 r 個振動模態， r=1,2,… ，由低頻率開始排序，理論上，有無限多個振動模態。首先，需要有一個認知，當結構系統參數如幾何形狀、材料參數、邊界條件等固定不變的話，系統的模態參數，也是不變的，也就是不會因為輸入的不同，而改變了結構的振動模態。由 TMA 的正規模態分析 (normal mode
analysis) ，只可以得到自然頻率及模態振型；而由 EMA ，三個模態參數，包括模態阻尼比都可以取得。
3.
頻率域 (frequency domain) ：第三個角度看系統，就是頻率域的系統方塊圖。系統方塊呈現的是 Hij(f) ，就是頻率響應函數 ，理論上， Hij(f)=Ai(f)/Fj(f) ，加速度 ai(t) 的傅立葉頻譜 Ai(f) ，除以外力 fj(t) 的傅立葉頻譜 。在此， Hij(f) 的 i 及 j ，分別代表了加速度及外力的位置與方向。所以本案例的頻率響應函數單位是 g/N ，也就是加速度除以力的單位。
從頻率響應函數 圖示，與結構的模態參數 ，包括自然頻率、模態振型及模態阻尼比，會有怎樣的關聯性呢？ 綜合討論如下：
1.
頻率響應函數圖示之 FRF 曲線 ：由於頻率響應函數是複數 (complex number) ，是因為有阻尼效應的關係。又，模態阻尼比的大小，會影響 FRF 曲線的尖銳度。本案例 FRF 圖示，取複數的振幅 (amplitude) ，並以對數座標方式畫出 FRF 曲線。
2.
FRF 曲線的峰值頻率 ：由頻率響應函數圖示， FRF 曲線的每一個峰值所對應的頻率，簡稱峰值頻率 (peak frequency) ，就是結構的自然頻率。一般由最小的自然頻率標註 f1 ，餘此類推，理論上，有無限多個自然頻率。在此高爾夫球桿的案例，在 2500Hz 頻率範圍內，可以觀察到有 7 個峰值頻率，也就是有 7 個振動模態 (vibration mode) 。
3.
振動模態的模態參數，是成對倆倆對應 ：觀察每個峰值頻率，由 EMA 及 FEA 所對應得到的模態振型 ，都有明確的倆倆對應之相同物理意義。在此要注意，在自然頻率比較表中，能夠將 EMA 及 FEA 的自然頻率放在一起比較，探討其自然頻率的差異百分比，必須要確認，所比較的是相同的模態，因為，振動模態的模態參數，是成對出現的。
4.
軸對稱模態 ：在此高爾夫球桿案例，因為球桿是軸對稱結構 ，所以會有軸對稱模態 (axisymmetric mode) ，其兩個模態的自然頻率相同，模態振型呈現 90 度的相位角差，基本上，都是彎曲模態 (bending mode) ，一為 y 方向、一為 z 方向的彎曲變形特性。自然頻率比較表中， FEA 的分析結果，呈現 F07 、 F09 等，忽略了 F08 、 F10 ，是因為軸對稱模態的緣故。
5.
剛體模態與彈性體模態 ：在 EMA 的模態 (mode) 標示，是 E01 、 E02 ，而 FEA 是 F07 、 F09 ，是為什麼呢？此球桿是全自由邊界 (free boundary) 的分析，所以會有 6 個剛體模態 (rigid body mode) ， F07 開始，才是對應於實驗量測取得的結構彈性體模態 (elastic body mode) ，或稱撓性體模態 (flexible body mode) 。
讀者看到這裡，應該可以理解：在模型驗證的比較程序 ，為什麼需要觀察比對頻率響應函數 以及模態參數 ？那麼需要比較到甚麼程度，模型驗證才算成功？ 又，需要哪些技術能力 ，才能執行模型驗證 呢？提示如下：
2.
學會 FEA ：包括，理論模態分析以及簡諧響應分析。
3.
學會 MV 的比較程序 ：要觀察頻率域 的頻率響應函數 ，分析與實驗的 FRF 曲線，不僅趨勢要一致，量值大小也要相符。同時，也要比對模態域 的模態參數 ，特別是自然頻率誤差在合理的範圍，此【合理範圍】則需工程判斷 (engineering
judgement) ，依照案例及需求自訂。
本單元以高爾夫球碳纖維球桿 的模型驗證 ，探討模型驗證 的比較程序，為什麼需要觀察比對頻率響應函數 以及模態參數 ？希望對讀者在模型驗證 的物理意義與應用，有進一步的了解與體會！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.10.01
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