《振動噪音科普專欄》單一頻率與倍數頻率聲音的聽感差異？

由本單元的主題名稱來看，甚麼是單一頻率的聲音？甚麼是倍數頻率的聲音？甚麼是聽感？是聽到一個聲音的感覺嗎？

讀者是否會好奇，不同樂器所演奏出來同樣的音高(pitch)，例如Do的音階(musical note)，為什麼我們能夠分辨得出來，是鋼琴、是小提琴、是喇叭、是薩克斯風、或其他樂器所演奏的呢？

在先前單元：【音階標準頻率】由工程聲學的角度，來說明音階、音符、音高、音名這些名詞。每個音階都有其標準頻率，例如：C4=261.63 Hz。C4就是鋼琴鍵中央Do，其頻率是261.63 Hz。A4=440 Hz的頻率。

那麼為什麼，同樣演奏C4=261.63 Hz，不同樂器會有不同的聽感呢？這就是本單元要來探討，單一頻率的聲音，以及具有2個、3個、到4個倍數頻率所組成的聲音，在聽感上的差異，以及在頻譜分析時，所呈現的差異性。

如圖示，是4個區段的聲音，分別是單一1個頻率音，以及有2個、3個、4個倍數於基音頻率的多個聲音組成，當泛音有此倍數特性，我們稱之為簡諧倍頻音(harmonic sound)。一般的弦樂器都有這種簡諧倍頻音之特性。

這種有2個、3個、到4個倍數頻率所組成的聲音，也就是除了基音頻率(fundamental frequency)之外，還有2倍、3倍、及4倍的基音頻率，所共同組成的聲音，除了基音頻率外的主要聲音頻率，就是泛音頻率(overtone frequency)。

不同樂器的泛音頻率，有不同的特徵，所以人耳可以明確地辨別，相同演奏的音階，是由怎樣的樂器所演奏出來的。

這個單元就以頻譜分析的角度，分別由傅立葉頻譜、時頻圖、以及放大聲音的時間域圖示，來區別以下四種聲音的頻譜特性以及其時間域的特徵：

1.          單一1個頻率音的聲音：如圖示，第一個時間區間，由傅立葉頻譜圖及時頻圖，可以觀察到這個單一個頻率的聲音，其頻率f=165Hz，也是就E3 (Mi)音階的標準頻率。

2.          除了基音頻率外，也有2倍數於基音頻率的2個頻率的聲音：如圖示，第二個時間區間，除了基音頻率f=165Hz之外，還有2倍的基音頻率，2f=330Hz，剛好是E4 (Mi)音階的標準頻率。所以，這個聲音是有兩個E3及E4的Mi八度音所組成。

3.          除了基音頻率外，也有2及3倍數於基音頻率的3個頻率的聲音：如圖示，第三個時間區間，除了有基音頻率f=165Hz，2倍的基音頻率，2f=330Hz，也有3倍的基音頻率，3f=495Hz，剛好是B4 (Si)音階的標準頻率。所以，這個聲音是有兩個E3及E4的Mi八度音，以及B4 (Si)是E4 (Mi)的五度音，其頻率倍數約1.5倍。

4.          除了基音頻率外，也有2、3及4倍數於基音頻率的4個頻率的聲音：如圖示，第四個時間區間，除了有基音頻率f=165Hz，2倍的基音頻率，2f=330Hz，也有3倍的基音頻率，3f=495Hz，還包括了4倍的基音頻率，4f=660Hz，剛好是E5 (Mi)音階的標準頻率。所以，這個聲音是有兩個E3、E4及E5的Mi三個八度音，其頻率倍數關係是1、2及4倍；另外還有B4 (Si)是E4 (Mi)的五度音，其頻率倍數約1.5倍，B4之於E3，其頻率倍數是3倍。

由以上的說明，或許複雜化了這個單元的討論。簡單的說，如果基音頻率是1倍頻的音，就是如第一個時間區間的聲音特徵。其他時間區間，分別是有2個倍頻、3個倍頻、以及4個倍頻所組成的聲音。建議讀者聆聽影片中的聲音檔案，可以體會單一頻率以及包含多個倍數頻率音的聽感差異。

綜合一下本單元的討論重點，如下：

1.          單一1個頻率音的聲音：其實就是一個正弦波的特性，頻率的高低，決定了該聲音的音階。

2.          基音頻率：本單元呈現的四個區間的聲音，可以說都有一個基音頻率是f=165Hz，也是就E3 (Mi)音階的標準頻率。

3.          泛音頻率：本單元呈現的第二、第三及第四個區間的聲音，分別有1個、2個及3個倍數頻率的聲音。簡單說，除了基音頻率之外，聲音頻譜的高峰值頻率，都是泛音頻率。

4.          音色：一個聲音的音色，在於基音頻率與泛音頻率的組成，同時，其基音及泛音各個頻率對應的聲音振幅量值大小，就會顯現出不同的音色與聽感。不同樂器具有其特定的音色特徵，就在於基音頻率與泛音頻率的組成，所以，演奏相同的音階，會有不同音色的組成與聽感，因此，人耳可以明確地辨別是何種樂器所演奏。

5.          簡諧倍頻音：當泛音頻率與基音頻率呈現倍數關係時，可以稱這些泛音頻率音，為簡諧倍頻音。一般的弦樂器，因為琴弦的振動特性之自然頻率剛好是倍數頻率的特徵，所以，弦樂器的泛音頻率都會有簡諧倍頻音效應。

6.          頻譜分析：本單元應用FFT快速傅立葉轉換可以取得聲音頻譜，以及STFT短時傅立葉轉換可以取得時頻圖，因此，可以明確解析一個聲音信號的頻率特徵。

本單元以FFT頻譜分析，探討了四種具有簡諧倍頻音的聲音信號特徵，希望對讀者在了解基音頻率、泛音頻率及音色，有進一步的了解與體會！

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2018.08.05

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【專題演講】Prof David Ewins FRS FRAEng 2018 年台灣參訪 公開演講日程表

David Ewins 教授為英國皇家學會院士（FRS）、皇家工程院士（FRAEng），曾為英國倫敦帝國學院振動學講座教授，並曾擔任該校國際事務副校長及多國大學之訪問教授。Ewins教授之主要研究方向為振動學、實驗模態分析及轉子動力學，其著作「Modal Testing: Theory and Practice」為相關領域之權威參考書。

Ewins教授除在實驗模態分析領域外，亦長期研究飛機之結構動力學。從1990年起，他即與勞斯萊斯飛機引擎公司（Rolls-Royce plc，RR）合作，於帝國學院成立RR之首批大學科研中心（University Technology Centre, UTC），每年受RR公司資助達五十萬英鎊（約二千萬新台幣）。Ewins教授於2007年轉往布里斯托大學（University of Bristol）擔任研究中心主任，並與AugustaWestland（英規阿帕蒂直升機之廠商）簽訂為期四年之UTC合作合同，總額達二百萬英鎊（約八千萬新台幣）。

中部科學園區演講 - 「智能化製造技術」論壇

日期：107年09月25日（星期二）

時間：13:20 – 15:00

地點: 中部科學工業園區管理局行政大樓401會議廳（臺中市西屯區中科路2號4樓）

報名截止時間：107年9月24日12:00 (額滿為止)

報名網址：goo.gl/EqxCCK

查詢：Email或致電（04-36068996 吳湞伊主任分機 4501、鄭艷秋專員分機1007）

演講題目：

Smart Dynamic Testing for Verification, Certification and Endurance Qualification

摘要：

In many high-technology industries where structural integrity is a primary requirement - such as Aerospace Defence and High-performance Power Generation - physical testing to demonstrate endurance, reliability and maintenance of functional performance is mandatory.  Endurance tests are conducted in advance of actual service life to verify these critical features.  These tests have been conducted in much the same way for decades and it is well know that they are often less reliable than is needed. Vibration levels under test conditions can be orders of magnitude higher, or lower, than those experienced in service.  Recent developments – described in this talk - in which theoretical models of the test structure and setup are used to enhance the actual test, have led to a dramatic reduction these large discrepancies.  An unexpected benefit from these advances is a considerable reduction in the cost of the actual testing.

中區學術演講

日期：107年09月26日（星期三）

時間：15:10 – 17:00

地點：國立中興大學機械系館130視聽教室（台中市南區興大路145號）

查詢：Email: d107061002@mail.nchu.edu.tw 羅奕鈞同學 /電話（04-22840165，分機5292 羅奕鈞同學 /5291 郭威伸博士）

演講題目： 

Exciting Vibrations: the Role of Testing in an Era of Supercomputers and Uncertainties

摘要：

This lecture presents the case for achieving an optimum balance between, and integration of, test and Simulation in modern Vibration Engineering.  This is necessary to resolve the many issues and structural dynamics problems encountered in practice because of the inevitable systematic and stochastic uncertainties which are encountered at every stage of product development.  These problems can be overcome through effective implementation of modern validation and verification procedures which will be shown to require the most advanced testing technologies to match those in simulation which are driven by continuing advances in computation technology.  The lecture draws on examples spanning more than half a century’s practical experience in a range of industrial applications and focuses on two specific major issues: (i) the difficulties encountered when trying to model and measure the dynamics of structural joints and (ii) the growing importance and need to include nonlinear behaviour in modern structures.

北區學術演講

日期：107年09月27日（星期四）

地點: 國立台灣大學工學院綜合大樓734室

時間：13:30 – 15:30

查詢： weijiunsu@ntu.edu.tw 蘇偉儁老師

演講題目：

Exciting Vibrations: the Role of Testing in an Era of Supercomputers and Uncertainties

摘要：

This lecture presents the case for achieving an optimum balance between, and integration of, test and Simulation in modern Vibration Engineering.  This is necessary to resolve the many issues and structural dynamics problems encountered in practice because of the inevitable systematic and stochastic uncertainties which are encountered at every stage of product development.  These problems can be overcome through effective implementation of modern validation and verification procedures which will be shown to require the most advanced testing technologies to match those in simulation which are driven by continuing advances in computation technology.  The lecture draws on examples spanning more than half a century’s practical experience in a range of industrial applications and focuses on two specific major issues: (i) the difficulties encountered when trying to model and measure the dynamics of structural joints and (ii) the growing importance and need to include nonlinear behaviour in modern structures.


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《振動噪音科普專欄》Window effect on decay signal for FFT

由英文標題來破題，需要了解甚麼是Window視窗？甚麼是decay signal衰減型信號？甚麼是FFT？又在進行FFT時，也就是頻譜分析時，採用不同的Window，對得到傅立葉頻譜(Fourier spectrum)，會有甚麼影響？希望在這個單元可以獲得解答。

首先，FFT就是快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算，係將時間域的信號，轉換到頻率域，得到此信號的傅立葉頻譜(Fourier spectrum)，所以可稱為頻譜分析(spectral analysis)。先前有關FFT的相關單元：【甚麼是頻譜分析？】、【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】、【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？】、【甚麼是假象(aliasing)？】，有興趣讀者可以先複習一下。

其次，甚麼是Window視窗呢？如何與FFT搭配應用？有哪些Window呢？實際上，Window也可以稱為weighting function加權函數，數學上，常以w(t)代表視窗加權函數。

如果，對一個原始的量測信號p(t)，在進行FFT之前，會將p(t)與w(t)做對應時間的加權相乘，取得加權處理後的時間序列p’(t) =p(t)‧w(t)，再進行FFT。注意：p’(t) =p(t)‧w(t)此相乘方式，是對應時間點的相乘。

Window 視窗加權函數，詳細的解說，將另闢單元探討，本單元將介紹4種，僅列出其名稱及簡要的說明如下：

1.      Boxcar：也可稱為Rectangle，矩形視窗加權函數，理念上，w(t)=1，所以，p’(t)=p(t)，相當於沒有任何的加權效應。矩形視窗適用在沒有洩漏(leakage)的信號。可參考先前單元：【甚麼是洩漏(leakage)？】

2.      Hanning：漢寧視窗加權函數，w(t)呈現一半個正弦波信號，w(t)在起始及終止時間，w(t)=0。漢寧視窗適用在隨機型信號。

3.      Exponential：指數視窗加權函數，w(t)是一個指數函數。w(t)在起始時間，w(t)=1；在終止時間，常設定兩種：w(t)=0.1、或0.01，也就p(t)經指數加權處理後，在終止時間，原始信號p(t)量值，會加權僅有原始的量值的10%、或1%。指數視窗適用在衰減型信號。

甚麼是decay signal衰減型信號呢？如圖示就是4個衰減信號所組成的聲音信號p(t)，本單元只針對p(t)第1個衰減信號，進行FFT頻譜分析，取得聲音傅立葉頻譜P(f)。

要對一個信號p(t)進行FFT頻譜分析，取得其傅立葉頻譜P(f)，參考步驟如下：

1.      量測信號p(t)的取樣頻率：要注意量測此p(t)信號的取樣頻率(sampling frequency)，本案例fs=44100Hz。可參考先前單元：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。

2.      進行頻譜分析FFT參數設定：配合SM聲音量測軟體的應用分析，可參考網址：【http://aitanvh.blogspot.com/2017/10/sm.html】。需要設定：開始時間t1=1.76sec，取樣點數Nt=44100。

3.      觀察FFT相關參數：如圖示顯示的FFT相關參數，包括：每個區間的時間(time frame)T=1 sec，終止時間t2=2.76秒，有效解析頻率fnyq=22050Hz，頻率解析度df=1Hz。原理仍要參閱先前單元：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】。

4.      選擇視窗加權函數w(t)：本案例探討了Boxcar、Hanning、Exponential 0.1、Exponential 0.01等4種視窗加權函數，進行FFT頻譜分析後，所得到的傅立葉頻譜P(f)差異的探討。

5.      觀察得到的傅立葉頻譜P(f)特性：因為，傅立葉頻譜P(f)是複數(complex number)，通常有興趣的振幅值(magnitude, amplitude)，數學符號表示為|P(f)|。

參考圖示右側為選用4種視窗加權函數，所分別得到的傅立葉頻譜|P(f)|，討論如下：

1.      Boxcar Window：在頻譜圖中，發現有柵欄效應(fence effect)，這是因為進行FFT的time frame時間區間，p(t)在終止時間，還沒有降到0，信號有被截斷 (truncation)的現象，造成頻譜圖有不正常的柵欄效應。

2.      Hanning Window：在整體頻譜圖可發現，有許多毛躁的小峰值，這樣的頻譜圖，會讓人不容易判斷真正的信號頻率特徵。

3.      Exponential 0.1：相較於Boxcar或Hanning Window，此頻譜圖可解析的判讀性好了許多，不過，在500Hz以上，仍然有毛躁小峰值現象。

4.      Exponential 0.01：可以觀察此頻譜圖是最清楚，可以明確判別頻譜的峰值頻率特徵。因此，可以說對此衰減型信號，以Exponential 0.01的視窗加權函數處理後，進行FFT，所得到頻譜是最好的，因為可以明確判讀主要的峰值頻率，也就是此衰減型信號的頻率特徵。

綜合來說，當我們對一個時間域信號，要進行FFT頻譜分析，主要目的就是要了解該信號的頻率特徵，特別是能有效觀察到所有的峰值頻率。

以本案例所探討的衰減型信號，採用不同的視窗加權函數處理後，進行FFT頻譜分析，所得到的傅立葉頻譜，在判讀性、可解析性來看，當然，Exponential 0.01視窗加權函數，對衰減型信號的FFT頻譜分析，是較佳的選項。

本單元以一個衰減型信號，說明不同視窗加權函數處理後的FFT頻譜分析的差異，希望讀者可以體會選擇適當的視窗加權函數之重要性，方可取得較好的傅立葉頻譜圖，才能夠有意義的解讀頻譜之頻率特徵。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2018.08.04

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