《振動噪音科普專欄》轉子系統為甚麼會振動大？– 共振(resonance)–從系統方塊圖(system block diagram)的解讀

  

這個單元要來探討的主題是：轉子系統(rotor system)為甚麼會振動大？–「共振」(resonance)–從「系統方塊圖」(system block diagram)的解讀。

 

參閱圖片中間上方圖示，一個典型的轉子系統(rotor system)，如果有「共振」(resonance)的話，就從「系統方塊圖」(system block diagram)來解讀，說明引發「共振」的原因。

 

既然要談「系統方塊圖」(system block diagram)，就快速回顧一下，前一個單元，所列舉的7個「系統方塊圖」，摘錄如下：

 

1.      結構「系統方塊圖」(structural system block diagram)：輸入、結構/機器、輸出。

2.      ISO「系統方塊圖」(ISO system block diagram)：輸入Input、系統System、輸出Output。

3.      SPR「系統方塊圖」(SPR system block diagram)：激振源Source、路徑Path、響應Response。

4.      FGMBIR物理域「系統方塊圖」(physical domain system block diagram)：外力Force、幾何Geometry / 材料Material / 邊界Boundary / 接觸介面Interface、響應Response。

5.      EOM時間域「系統方塊圖」(time domain system block diagram)：外力向量 {𝒇(𝒕)}、系統矩陣：[𝑴],[𝑪],[𝑲]、系統響應位移向量{𝒙(𝒕)}。

6.      Mode模態域「系統方塊圖」(modal domain system block diagram)：外力向量 {𝒇(𝒕)}、模態參數(modal parameters)、系統響應位移向量{𝒙(𝒕)}。模態參數包括：𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)、𝝓𝒓=模態振型(mode shape)、𝝃𝒓=模態阻尼比(modal damping ratio)。

7.      FRF頻率域「系統方塊圖」(frequency domain system block diagram)：外力頻譜 𝑭𝒋 (𝒇)、頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF) 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)、系統位移響應頻譜 𝑿𝒊 (𝒇)。

 

其中，第6個圖示，Mode模態域「系統方塊圖」，需要有一個認知，如圖示的轉子系統(rotor system)，或是任意的結構系統，都會有振動模態(vibration Mode)的特性，也是系統System、路徑Path的模態域(modal domain)特性，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。

 

參閱圖片中間圖示，顯示了這個轉子系統(rotor system)的前兩個振動模態(vibration Mode)，其中的𝝓𝒓=模態振型(mode shape)，是在𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)的振動型態。

 

又由，第7個圖示，FRF頻率域「系統方塊圖」，其中，FRF是輸出與輸入之間的關係：𝑯𝒊𝒋 (𝝎) = 𝑿𝒊 / 𝑭𝒋。此「系統方塊圖」界定了結構系統在頻率域(frequency domain)的關係式。

 

參閱圖片中間圖示最下方，顯示了這個轉子系統(rotor system)，在𝒊=5，𝒋=5的𝑯𝒊𝒋 (𝝎)振幅圖。圖中，曲線呈現峰值(peaks)對應的頻率，就是結構的𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)。

 

有了相關「系統方塊圖」的背景知識，就回到這個單元的主題：轉子系統(rotor system)為甚麼會振動大？其中，重要的原因之一，就是「共振」(resonance)，在此以【SCR】=【3K】的心法來說明：

 

1.      Situation = 現象 = Know what? = 瞭解現象。

2.      Cause = 原因 = Know why? = 探討原因。

3.      Resolution = 對策 = Know how? = 尋求對策。

 

首先，Situation = 現象呢？就是機器的振動大。更深層的疑問會是：哪裡的振動大？哪一個方向的振動大？怎麼界定振動大呢？就是要：Know what? = 瞭解現象。讀者可參考，先前單元：#468，【如何判斷一部機器的振動大或小？指標(Index)、標準(Criterion)、量值(Value)】。

 

其次，Cause = 原因 = Know why? = 探討原因。當然機器的振動大，可能來自多種原因，本單元，著重在來自「共振」(resonance)的原因。

 

這時，要採用【4W】心法：What is? Why? What goals? How? 分項說明如下：

 

1.      What is? 甚麼是「共振」(resonance)？「共振」：就是會引發結構機器會有大的振動。

2.      Why? 為什麼會產生「共振」(resonance)？最主要的因素是：𝒇excitation「激振頻率」(excitation frequency)相近、或甚至相等於結構機器的𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。由第6個圖示，Mode模態域「系統方塊圖」，已經知道𝒇𝒓。那麼，甚麼是𝒇excitation？針對圖示的轉子系統，最主要的「激振頻率」就是轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)。容後，再來說明。在此，如果 𝒇𝒓𝒑𝒎 ~= 𝒇𝒓，就會產生「共振」。

3.      What goals? 要改善到甚麼目標呢？當然就是降低振動，必須避開、避免「共振」才能夠降低振動。

4.      How? 如何做呢？【20%原則】，必須讓𝒇𝒓𝒑𝒎和𝒇𝒓，相差20%以上，才可避免「共振」。舉例來說，如果，𝒇𝒓=100 Hz，則必須：𝒇𝒓𝒑𝒎小於80 Hz、或𝒇𝒓𝒑𝒎大於120 Hz。

 

為什麼轉子系統最主要的「激振頻率」，就是轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」呢？以圖示轉子系統的轉軸(shaft)來說，就算是加工的很圓、筆直，組裝的也很精準的轉軸(shaft)。不過呢，轉軸或多或少，都會有殘留的不平衡質量(unbalance mass)效應。此所引發的外力向量 {𝒇(𝒕)}，假設：不平衡質量(unbalance mass)效應，作用在轉軸上的某一 𝒋點，說明如下：

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)：假設，等效的不平衡質量(unbalance mass)效應，作用在𝒋點位置，其外力大小為𝑭𝒋。𝝎是對應轉速的圓週頻率(circular frequency)。所以，可以寫成𝒇𝒋 (𝒕)此正弦波的外力形式。

2.      𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐：在此，𝑭𝒋=等效不平衡質量(unbalance mass)效應，所產生的外力大小。𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的半徑。𝑭𝒋和𝒎、𝑹成線性、正比關係。而，𝑭𝒋和𝝎^𝟐成平方、正比關係。

3.      𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎：𝝎是對應轉速的圓週頻率(circular frequency)，單位：rad/sec。𝒇𝒓𝒑𝒎是「轉速頻率」，單位：Hz = cycle/sec。𝝎和𝒇𝒓𝒑𝒎的轉換關係，就是轉一圈是𝟐𝝅的徑度(radian)

4.      𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎：𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per minute, RPM)，除以60，就可以得到𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」。

 

再參閱圖片中間的最下方圖示，在𝒊=5，𝒋=5的𝑯𝒊𝒋 (𝝎)振幅圖。圖中，曲線呈現峰值(peaks)對應的頻率，就是結構的𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)。有標註大約【20%原則】的紅色區域，也就是會產生「共振」(resonance)的風險區。轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」應該要避開，在這些紅色區域的頻率下運轉。

 

最後，再回到Resolution = 對策的思考，如果，診斷出來真的是「共振」(resonance)問題，必須要知道Know how? = 尋求對策。要避免「共振」就有兩種方式：

 

1.      改變轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)。這種方式，只有在轉子，可以任意調整其𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」。

2.      結構系統設計變更𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。如果，𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」無法變動，只能夠改變結構系統，才能夠變動𝒇𝒓「自然頻率」，才能夠避免「共振」。至於，如何設計變更、改變結構𝒇𝒓「自然頻率」，需要再另闢單元討論。

 

簡言之，要知道Know how? = 尋求對策：目標就是讓𝒇𝒓𝒑𝒎和𝒇𝒓，相差20%以上，才可避免「共振」。

 

綜合這個單元的討論，轉子系統(rotor system)為甚麼會振動大？–「共振」(resonance)–從「系統方塊圖」(system block diagram)的解讀。總結如下：

 

1.      探討一個典型的轉子系統(rotor system)，如果有「共振」(resonance)的話，就從「系統方塊圖」(system block diagram)來解讀，說明引發「共振」的原因。

2.      在7個重要的「系統方塊圖」，最重要的就是：Mode模態域「系統方塊圖」(modal domain system block diagram) 需要有一個認知，如圖示的轉子系統(rotor system)，或是任意的結構系統，都會有振動模態(vibration Mode)的特性，也是系統System、路徑Path的模態域(modal domain)特性，包括：𝒇𝒓=自然頻率(natural frequency)、𝝓𝒓=模態振型(mode shape)、𝝃𝒓=模態阻尼比(modal damping ratio)。

3.      介紹轉軸(shaft)，都會有殘留的不平衡質量(unbalance mass)效應，其引發的等效不平衡質量(unbalance mass)效應，所產生的外力是𝒇𝒋 (𝒕)=𝑭𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)。其中，𝑭𝒋=𝒎𝑹𝝎^𝟐。𝒎=等效的不平衡質量。𝑹=等效不平衡質量的旋轉偏心距，就是𝒎所在的半徑。𝝎=𝟐𝝅𝒇𝒓𝒑𝒎，𝒇𝒓𝒑𝒎=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。𝑹𝑷𝑴是每分鐘迴轉數(revolution per minute, RPM)。

4.      為什麼會產生「共振」(resonance)？最主要的因素是：𝒇excitation「激振頻率」(excitation frequency)相近、或甚至相等於結構機器的𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)，就是𝒇excitation「激振頻率」之一，所以，如果 𝒇𝒓𝒑𝒎 ~= 𝒇𝒓，就會產生「共振」。

5.      要避免「共振」就有兩種方式：(1) 改變轉子的𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」(rotating frequency)。這種方式，只有在轉子，可以任意調整其𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」。(2) 結構系統設計變更𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。如果，𝒇𝒓𝒑𝒎「轉速頻率」無法變動，只能夠改變結構系統，才能夠變動𝒇𝒓「自然頻率」。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.06.08

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