《振動噪音產學技術聯盟》轉動機械_轉子系統的「頻率」有哪些？(1)甚麼是「臨界轉速」？

這個單元要來探討的主題是：轉動機械/轉子系統的「頻率」(frequency)有哪些？(1)甚麼是「臨界轉速」(critical speed)？

 

首先破題來看，甚麼是「轉動機械」(rotary machinery)？「轉子系統」(rotor system)？參閱圖片左上圖示，是一個典型的「轉子系統」示意圖，主要的組成，說明如下：

 

1.      驅動源(driving unit)：最典型的動力源，就是「馬達」(motor)。

2.      連接機構(connection unit)：典型常見的包括：(1)聯軸器 (Coupling)。(2)齒輪箱(Gearbox)。(3)皮帶傳動(Belt train)。圖示呈現的是簡易型的機械式聯軸器(mechanical coupling)。

3.      被動元件(driven unit)：圖示呈現的是一個軸(shaft)，兩端各有一個滾動軸承(rolling element bearing)。其他如：泵(Pump)、風機(Fan)、壓縮機(Compressor)等，都是典型的被驅動元件。

 

具有如(1)「馬達」(motor) 驅動源(driving unit)，(2)如聯軸器 (Coupling)的連接機構(connection unit)，以及(3)如軸(shaft)的被動元件(driven unit)。這樣的機器系統可以稱為「轉動機械」(rotary machinery)、或是「轉子系統」(rotor system)。

 

其次，來談一般通用的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片右上方表格，說明如下：

 

1.      「頻率」(frequency)：常用變數符號：𝒇。單位：Hz = cycle/sec。「頻率」就是在每秒鐘，來回震盪的次數。另外，也可以定義 𝑻「週期」(period)，也就是一個正弦波的波谷到波谷的時間、或是波峰到波峰的時間。由𝑻「週期」，可以求得𝒇「頻率」，𝒇 = 1/𝑻。

2.      「圓週頻率」(circular frequency)：常用變數符號：𝝎=𝟐𝝅𝒇。單位：rad / sec。𝒇的單位Hz = cycle/sec，每秒一圈。已知：rad = radian，稱為弧度、或弳度。一個完整的圓，其弳度是𝟐𝝅。所以，𝝎和𝒇的轉換，才會是𝝎=𝟐𝝅𝒇。或是，𝒇 = 𝝎/𝟐𝝅。

3.      「轉速」(rotating speed)：常用變數符號：𝒏, 𝑹𝑷𝑴, 𝑪𝑷𝑴。單位：RPM (revolution per minute)、CPM (cycle per minute)，即轉動機械轉軸的每分鐘迴轉數。

4.      「轉速頻率」(rotating speed frequency)：常用變數符號：𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。單位：Hz = cycle/sec。𝑹𝑷𝑴「轉速」(rotating speed)和𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)，本質上，都是在說明一部轉動機械的轉動速度，只是表示的單位不同。

 

其次，來看結構振動(structural vibration)常見的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片右邊中間表格，說明如下：

 

1.      「自然頻率」(Natural frequency)：也有翻譯為「固有頻率」，常用變數符號，在任意結構的連續系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…。𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)是結構的固有特性。

2.      「激振頻率」(excitation frequency)：對「轉子系統」(rotor system)來說，其𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)就是主要的「激振頻率」𝒇𝒆=𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅。

3.      「共振頻率」(resonant frequency)：當外部𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，和結構的𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)，相等、或是相近時，也就是：𝒇𝒆= 𝒇𝒓、或𝒇𝒆~= 𝒇𝒓，就會造成「共振」(resonance)。在此值得注意的是：紅色𝒇𝒆，是外部「激振頻率」，𝒇𝒆=𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅。綠色𝒇𝒓，是結構的「自然頻率」。而，藍色𝒇𝒓，是結構的振動頻率。𝒇𝒆、𝒇𝒓、𝒇𝒓是三種不同概念的頻率，只是，藍色𝒇𝒓，可能會等於綠色𝒇𝒓，如果，結構是處於𝒇𝒆= 𝒇𝒓的「共振」狀態。

 

接下來，就來看甚麼是「臨界轉速」(critical speed)？以【4W】的心法，自我提問：

 

1.      What is? 甚麼是「臨界轉速」？

2.      Why? 為什麼會有「臨界轉速」？

3.      What goals? 「臨界轉速」會有甚麼影響？

4.      How? 如何求得「臨界轉速」？

 

就逐項來看，What is? 甚麼是「臨界轉速」？簡單的說，就是在結構「自然頻率」(Natural frequency)對應之「轉速」(rotating speed)。

 

參閱圖片右邊中間表格，「轉子系統」的「頻率」(frequency)相關名詞，說明如下：

 

1.      「臨界轉速」(critical speed)：𝒏_𝒄𝒓 = 𝒇𝒄𝒓×𝟔𝟎。其中，𝒏_𝒄𝒓就是「臨界轉速」，以RPM (revolution per minute)為單位。

2.      「臨界轉速頻率」(critical speed fequency)：𝒇𝒄𝒓= 𝒇𝒓, 𝒓=𝟏,𝟐,…。以Hz為單位。𝒇𝒄𝒓= 𝒏_𝒄𝒓 /60。𝒇𝒄𝒓就是結構「自然頻率」(Natural frequency)對應之「轉速頻率」(rotating speed fequency)。

 

其次，Why? 為什麼會有「臨界轉速」？因為，每一個結構都有𝒇𝒓「自然頻率」，所以「轉子系統」也會有𝒇𝒓「自然頻率」。如果，「轉子系統」在𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)對應之「轉速頻率」(rotating speed fequency)下運轉，𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅= 𝒇𝒓，就會產生「共振」(resonance)。因而，稱之為𝒇𝒄𝒓「臨界轉速頻率」(critical speed fequency)。

 

那麼，What goals? 「臨界轉速」會有甚麼影響？因為，在「臨界轉速」下運轉，「轉速頻率」(rotating speed frequency)就是主要的「激振頻率」𝒇𝒆=𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅。如果，𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅= 𝒇𝒄𝒓= 𝒇𝒓，就會造成「共振」(resonance)，機器會有大的振動，當然，就對機器有不良的影響。應該要避免機器在「臨界轉速」下運轉。

 

接著，How? 如何求得「臨界轉速」呢？就是求得「轉子系統」的𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)，就是𝒇𝒄𝒓=𝒇𝒓。𝒇𝒄𝒓「臨界轉速頻率」(critical speed fequency)，等於結構的𝒇𝒓「自然頻率」。

 

如圖示的典型「轉子系統」，會是個連續系統(continuous system)，其𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)會有無窮多個：𝒇𝒓, 𝒓=𝟏,𝟐,…。其中，𝒇𝒓就是指第𝒓個「振動模態」的「自然頻率」。舉例來說：

 

1.      𝒇𝒓, 𝒓=𝟏：係指，第𝟏個「振動模態」的「自然頻率」，對應的是第𝟏個「臨界轉速頻率」或稱為第𝟏個「臨界轉速」。

2.      𝒇𝒓, 𝒓= 𝟐：係指，第𝟐個「振動模態」的「自然頻率」，對應的是第𝟐個「臨界轉速頻率」或稱為第𝟐個「臨界轉速」。

 

餘此類推，可以得到「轉子系統」的第3個、第4個「臨界轉速」。這些「臨界轉速」是否會影響到「轉子系統」，造成「共振」，就看該「轉子系統」的最高轉速而定。

 

綜合一下這個單元的討論，總結如下：

 

1.      甚麼是「轉動機械」(rotary machinery)？「轉子系統」(rotor system)？具有如(1)「馬達」(motor) 驅動源(driving unit)，(2)如聯軸器 (Coupling)的連接機構(connection unit)，以及(3)如軸(shaft)的被動元件(driven unit)。這樣的機器系統可以稱為「轉動機械」(rotary machinery)、或是「轉子系統」(rotor system)。

2.      一般通用的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇「頻率」(frequency)，(2) 𝝎=𝟐𝝅𝒇「圓週頻率」(circular frequency)，(3) 𝒏, 𝑹𝑷𝑴, 𝑪𝑷𝑴「轉速」(rotating speed)，(4) 𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)。

3.      甚麼是「臨界轉速」(critical speed)？簡單的說，就是在結構「自然頻率」(Natural frequency)對應之「轉速」(rotating speed)。需要瞭解「轉子系統」(rotor system)結構振動(structural vibration)常見的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)，是結構系統的固有特徵頻率。(2) 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，是外力的擾動頻率，主要就是𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)。(3) 𝒇𝒓「共振頻率」(resonant frequency)，是在「共振」(resonance)下，結構的響應頻率，就是𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅=𝒇𝒄𝒓=𝒇𝒓。「臨界轉速頻率」(critical speed fequency)，等於結構的「自然頻率」。。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.08.20

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《振動噪音產學技術聯盟》甚麼是「頻率」(frequency)？有哪些種不同名稱的頻率？

 

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「頻率」(frequency)？有哪些種不同名稱的頻率？

 

首先，來看一般通用的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片左上方表格，說明如下：

 

1.      「頻率」(frequency)：常用變數符號：𝒇。單位：Hz = cycle/sec。參閱圖片右上方圖示，SDOF單自由度系統之自由振動響應，「頻率」就是質塊(mass)，在每秒鐘，來回震盪的次數。另外，也可以定義 𝑻「週期」(period)，也就是如圖示的波谷到波谷的時間、或是波峰到波峰的時間。由𝑻「週期」，可以求得𝒇「頻率」，𝒇 = 1/𝑻。

2.      「圓週頻率」(circular frequency)：常用變數符號：𝝎=𝟐𝝅𝒇。單位：rad / sec。𝒇的單位Hz = cycle/sec，每秒一圈。已知：rad = radian，稱為弧度、或弳度。一個完整的圓，其弳度是𝟐𝝅。所以，𝝎和𝒇的轉換，才會是𝝎=𝟐𝝅𝒇。或是，𝒇 = 𝝎/𝟐𝝅。

3.      「轉速」(rotating speed)：常用變數符號：𝒏, 𝑹𝑷𝑴, 𝑪𝑷𝑴。單位：RPM (revolution per minute)、CPM (cycle per minute)，即轉動機械轉軸的每分鐘迴轉數。

4.      「轉速頻率」(rotating speed frequency)：常用變數符號：𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅=𝑹𝑷𝑴/𝟔𝟎。單位：Hz = cycle/sec。𝑹𝑷𝑴「轉速」(rotating speed)和𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)，本質上，都是在說明一部轉動機械的轉動速度，只是表示的單位不同。

 

其次，來看結構振動(structural vibration)常見的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片左邊中間表格，說明如下：

 

1.      「自然頻率」(Natural frequency)：也有翻譯為「固有頻率」，常用變數符號，在SDOF單自由度系統：𝒇𝒏。在MDOF多自由度系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…,𝑵。在任意結構的連續系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…。「自然頻率」(Natural frequency)的特性，稍後補充說明。

2.      「激振頻率」(excitation frequency)：參閱圖片右邊中間圖示，是基座激振(base excitation)之懸臂樑，在基座受到固定頻率的「簡諧激振」(harmonic excitation)，此固定頻率就是𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)。其物理意義：是外部輸入的擾動頻率。如果，𝒇𝒆= 𝒇𝒓，就會造成「共振」(resonance)。

3.      「共振頻率」(resonant frequency)：當外部𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，和結構的𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequency)，相等、或是相近時，也就是：𝒇𝒆= 𝒇𝒓、或𝒇𝒆~= 𝒇𝒓，就會造成「共振」(resonance)。如圖片右邊中間圖示的動畫，此懸臂樑受到𝒇𝒆= 𝒇𝒓=𝟐 的「簡諧激振」(harmonic excitation)，懸臂樑就顯現了第2個𝝓𝒓=𝟐「模態振型」(Mode shapes)的變形與運動狀態。此時，懸臂樑的振動頻率，會是𝒇𝒓=𝟐，剛好就是 𝒇𝒓=𝟐，這個𝒇𝒓=𝟐，顯示的是懸臂樑的振動頻率、又有「共振」，所以稱之為𝒇𝒓「共振頻率」(resonant frequency)。在此值得注意的是：紅色𝒇𝒆，是外部「激振頻率」。綠色𝒇𝒓，是結構的「自然頻率」。而，藍色𝒇𝒓，是結構的振動頻率。𝒇𝒆、𝒇𝒓、𝒇𝒓是三種不同概念的頻率，只是，藍色𝒇𝒓，可能會等於綠色𝒇𝒓，如果，結構是處於𝒇𝒆= 𝒇𝒓的「共振」狀態。

 

參閱圖片右上方圖示，SDOF單自由度系統之自由振動響應，是由一個質塊(mass)，以及彈簧(spring)組成，其質量(mass) = 𝒎，彈簧常數(spring constant)= 𝒌。此SDOF系統的「自然頻率」，只有一個：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)。因為，𝝎𝒏= 𝟐𝝅𝒇𝒏，所以：𝒇𝒏 = 1/𝟐𝝅√(𝒌/𝒎)。

 

如果是MDOF多自由度系統，其「自然頻率」，會有𝑵個：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…,𝑵。

 

如果是任意結構的連續系統：𝒇𝒓,𝒓=𝟏,𝟐,…。其「自然頻率」(Natural frequency)會有無窮多個。參閱圖片右邊中間圖示，是基座激振(base excitation)之懸臂樑：共振現象ODS的觀察。其右圖，是懸臂樑的第2個「振動模態」(vibration mode)的𝒇𝒓=𝟐「自然頻率」以及𝝓𝒓=𝟐「模態振型」(Mode shapes)。

 

到這裡，釐清：(1) 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，(2) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequencies)，(3) 𝒇𝒓「共振頻率」(resonant frequency)，三種頻率之間的差異。𝒇𝒆，是外部、輸入的擾動頻率。𝒇𝒓，是一個結構固有的「振動模態」(vibration mode)的「自然頻率」。𝒇𝒓，是結構響應的振動頻率，如果，𝒇𝒆= 𝒇𝒓，則𝒇𝒓 = 𝒇𝒓。稱呼此現象為「共振」(resonance)狀態下，𝒇𝒓就可稱為「共振頻率」(resonant frequency)。

 

接下來，觀看影片，可以聽到一個樂器的單音，就是鋼琴Do的聲音，為什麼一聽，就可以聽出來是鋼琴的聲音，為什麼呢？

 

以下，就來看「樂器聲學」(musical acoustics)常見的「頻率」(frequency)相關名詞，參閱圖片左下方表格，以及右下方圖示，呈現出鋼琴的聲音頻率特徵，來自「時頻分析」(spectrogram analysis; time-frequency analysis)，說明如下：

 

1.      「音階標準頻率」(Scale Standard Frequency)：先前單元，#48：【音階標準頻率】，已有介紹。每一個音階Do, Re, Me，都有其固定的標準頻率，如圖示的案例，是：C6 = 1046.50 Hz=𝒇𝒑itch。

2.      「基礎頻率」(Fundamental Frequency)、「基音頻率」(Pitch Frequency)：常用變數符號：𝒇𝒉=𝟏，或是𝒇𝒑itch。由「時頻分析」左側的頻譜，放大來看，可知：𝒇𝒉=𝟏 = 1050 Hz，此峰值是第一個、也是有最高峰值，稱之為這個聲音的「基礎頻率」(Fundamental Frequency)，代表著這個聲音的「音高」(pitch)，所以，也稱為「基音頻率」(Pitch Frequency)。

3.      「泛音頻率」(Overtone Frequencies)：在頻譜，也可以看到𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的峰值頻率(peak frequencies)，稱之為「泛音頻率」(Overtone Frequencies)。之所以能夠辨識出這是個鋼琴音，就是有特殊的「泛音頻率」組成，就是「音色」(timbre)。

4.      「簡諧倍頻頻率」(Harmonics Frequencies)：以弦樂器(string instrument)來說，很特別的是，其𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的「泛音頻率」，會和𝒇𝒉=𝟏的「基礎頻率」，剛好是𝟐,𝟑,…倍數的關係，有這種倍數關係的頻率組成，稱之為「簡諧倍頻頻率」(Harmonics Frequencies)，𝒇𝒉,𝒉=𝟏,𝟐,𝟑,…。

 

在「樂器聲學」(musical acoustics)，一個樂器的聲音，首先要注意的就是(1)「音高」(pitch)，也就是𝒇𝒉=𝟏「基礎頻率」(Fundamental Frequency)、或稱𝒇𝒑itch=𝒇𝒉=𝟏「基音頻率」(Pitch Frequency)。其次，就是(2)「音色」(timbre)，也就是𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的「泛音頻率」(Overtone Frequencies)。

 

這個單元的主題：甚麼是「頻率」(frequency)？有哪些種不同名稱的頻率？彙整一下這個單元的討論：

 

1.      一般通用的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇「頻率」(frequency)，(2) 𝝎=𝟐𝝅𝒇「圓週頻率」(circular frequency)，(3) 𝒏, 𝑹𝑷𝑴, 𝑪𝑷𝑴「轉速」(rotating speed)，(4) 𝒇𝒔𝒑𝒆𝒆𝒅「轉速頻率」(rotating speed frequency)。

2.      結構振動(structural vibration)常見的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇𝒏「自然頻率」(Natural frequency)，是結構系統的固有特徵頻率。(2) 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)，是外力的擾動頻率。(3) 𝒇𝒓「共振頻率」(resonant frequency)，是在「共振」(resonance)下，結構的響應頻率。

3.      「樂器聲學」(musical acoustics)常見的「頻率」(frequency)相關名詞：(1) 𝒇𝒑itch「音階標準頻率」(Scale Standard Frequency)，(2) 𝒇𝒉=𝟏「基礎頻率」(Fundamental Frequency)、或稱 𝒇𝒑itch=𝒇𝒉=𝟏「基音頻率」(Pitch Frequency)，就是「音高」(pitch)。(3) 𝒇𝒉,𝒉=𝟐,𝟑,…的「泛音頻率」(Overtone Frequencies)，就是「音色」(timbre)。(4) 𝒇𝒉,𝒉=𝟏,𝟐,𝟑,…「簡諧倍頻頻率」(Harmonics Frequencies)，與𝒇𝒉=𝟏「基礎頻率」，兩兩的頻率之間有整數倍數關係，是弦樂器所具有的聲音特性。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.08.11

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《振動噪音產學技術聯盟》除了結構的「位移模態振型」，還會有其他類型的「模態振型」嗎？

這個單元要來探討的主題是：除了結構的「位移模態振型」(displacement mode shapes)，還會有其他類型的「模態振型」(Mode shapes)嗎？

 

首先，回顧一下前一個單元：#436，【結構的「模態振型」，有單位嗎？】，舉一個懸臂樑的實際結構，如圖片左上方，一個細長型的薄樑，在左端是固定邊界(fixed boundary)，在右端是自由邊界(free boundary)。

 

懸臂樑就是一個結構，每個結構都會有「振動模態」(vibration mode)。每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」(modal parameters)。包括：

 

(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequencies)，慣用單位：Hz。

(2) 𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)，慣用單位：m。

(3) 𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal damping ratios)，無因次參數，慣用數值單位，常以%表示。

 

參閱圖片左邊的圖示與動畫，係透過FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，分析取得的𝒇𝒓「自然頻率」及𝝓𝒓「模態振型」。懸臂樑結構的「模態振型」類型及其物理意義，可以區別出三種類型：

 

1.          第一種類型的「模態振型」是z-方向彎曲模態(z-bending mode)。

2.          第二種類型的「模態振型」是x-方向扭轉模態(x-torsional mode)。

3.          第三種類型的「模態振型」是y-方向彎曲模態(y-bending mode)。

 

結構𝝓𝒓「模態振型」是有單位的，其物理意義(physical meaning)彙整說明如下：

 

1.      結構𝝓𝒓「模態振型」的物理意義(physical meaning)：一般來說，指的都是「位移模態振型」(displacement mode shapes)，所以位移物理量的SI制單位是m。

2.      𝝓𝒓「位移模態振型」：是結構在該𝒇𝒓「自然頻率」下的變形狀態與運動行為。

3.      𝝓𝒓「位移模態振型」隱含意義：當結構「共振」(resonance)時，如果結構受到簡諧外力激振(harmonic force excitation)，如果此簡諧外力的𝒇𝒆「激振頻率」相等或相近於𝒇𝒓「自然頻率」，亦即𝒇𝒆=𝒇𝒓、或𝒇𝒆~𝒇𝒓時，可以觀察到結構的運動狀態，會是𝝓𝒓「位移模態振型」的變形狀態與運動行為。

 

這個單元要探討的主題：除了結構的「位移模態振型」(displacement mode shapes)，還會有其他類型的「模態振型」(Mode shapes)嗎？

 

答案是：有的，是有其他類型的「模態振型」。首先，參閱圖片右上方，顯示的是：𝒇𝟒= 223.85 Hz, 𝝓𝟒  = 3rd bending-z，也就是第4個「模態」(mode)，也是第3個z-方向彎曲模態(z-bending mode)，所對應的(𝜺𝒙, 𝜺𝒚, 𝜺𝒛)三個方向的「應變模態振型」(strain mode shapes)，說明如下：

 

1.      圖示的「應變模態振型」，呈現的是「位移模態振型」的變形狀態，而不同色彩，代表的是不同大小的「應變」(strain)數值。

2.      可以觀察到：𝜺𝒙 Mode Shape的數值範圍=(-1.906, 1.906)。而，𝜺𝒚 Mode Shape的數值範圍=(-0.684,0.684)，𝜺𝒛 Mode Shape的數值範圍=(-1. 067 1.067)。在這個模態，其「應變」(strain) 主要是x-方向所主導。注意：「應變」是無因次單位。

3.      再觀察𝜺𝒙 Mode Shape，出現最大、最小「應變」的位置，在左側的固定端，以及有最大變形的「反節點」(anti-nodal point)。

 

其次，參閱圖片中間圖示，顯示的是：第4個「模態」(mode)，也是第3個z-方向彎曲模態(z-bending mode)，所對應的(𝝈𝒙, 𝝈𝒚, 𝝈𝒛)三個方向的「應力模態振型」(stress mode shapes)，說明如下：

 

1.      圖示的「應力模態振型」，呈現的是「位移模態振型」的變形狀態，而不同色彩，代表的是不同大小的「應力」(stress)數值。

2.      可以觀察到：x-方向「正向應力」(normal stress)𝝈𝒙 Mode Shape的數值範圍=(-0.486E12, 0.486E12)。而，𝝈𝒚 Mode Shape的數值範圍=(-0.252E12, 0.252E12)，𝝈𝒛 Mode Shape的數值範圍=(-0.250E12, 0.250E12)。在這個模態，其「正向應力」(normal stress)主要是x-方向所主導。注意：「應力」的單位是Pa。

3.      再觀察𝝈𝒙 Mode Shape，出現最大、最小「應力」的位置，在左側的固定端，以及有最大變形的「反節點」(anti-nodal point)。此現象，和𝜺𝒙 Mode Shape有相同趨勢。可以理解：「應力」=「楊氏係數」x「應變」，𝝈=E 𝜺。

 

目前，觀察結構的「模態振型」(Mode shapes)，有：

 

(1) 「位移模態振型」(displacement mode shapes)。

(2) 「應變模態振型」(strain mode shapes)。

(3) 「應力模態振型」(stress mode shapes)。

 

每一種類型的「模態振型」都有其對應物理量的單位。每一種類型的「模態振型」都有對應不同方向的「位移」、「應變」、「應力」。

 

實務上，更有興趣知道的是：結構的「等效應力模態振型」(equivalent stress mode shapes)，此「等效應力」(equivalent stress)就是von Mises stress「麥西斯應力」來自「畸應變能破壞理論」(distortion strain energy failure theory)，用於評估結構受應力狀態的安全性。有關「破壞理論」(failure theory)，可參閱先前單元：#291，【甚麼是「破壞理論」 (Failure Theory)？如何應用於結構安全性評估？】。

 

參閱圖片右下方，顯示的是：懸臂樑前6個「模態」(mode)的von Mises stress「麥西斯應力」的「等效應力模態振型」(equivalent stress mode shapes)，也就是𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，重點說明如下：

 

1.      圖示的「等效應力模態振型」，呈現的是「位移模態振型」的變形狀態，而不同色彩，代表的是不同大小的𝝈𝒆𝒒𝒗 = von Mises stress「麥西斯應力」數值。

2.      觀察𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，出現最大「應力」的位置，都是在左側的固定端。此隱含的意義是：當結構「共振」(resonance)時，如果結構受到簡諧外力激振(harmonic force excitation)，如果此簡諧外力的𝒇𝒆「激振頻率」相等或相近於𝒇𝒓「自然頻率」，亦即𝒇𝒆=𝒇𝒓、或𝒇𝒆~𝒇𝒓時，可以觀察到結構的運動狀態，會是𝝓𝒓「位移模態振型」的變形狀態與運動行為。而，對應的「等效應力模態振型」顯示出可能率先破壞的位置，也就是出現最大「應力」的位置。

3.      再觀察𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，除了左側的固定端外，如圖示的箭頭指出，會有最大變形的「反節點」(anti-nodal point)，同時，也是有高的 𝝈𝒆𝒒𝒗 = von Mises stress「麥西斯應力」數值，都是潛在的、有風險的位置。

 

最後統整一下，有關結構的「模態振型」(Mode shapes)，其類型可以觀察：

 

(1) 「位移模態振型」(displacement mode shapes)。

(2) 「應變模態振型」(strain mode shapes)。

(3) 「應力模態振型」(stress mode shapes)。

(4) 「速度模態振型」(velocity mode shapes)。

(5) 「加速度模態振型」(acceleration mode shapes)。

 

其中，「等效應力模態振型」(equivalent stress mode shapes)，也就是𝝈𝒆𝒒𝒗 Mode Shape，可以用於結構受到「共振」(resonance)引發的破壞時，觀察von Mises stress「麥西斯應力」之「模態振型」(Mode shapes)，在有高的 𝝈𝒆𝒒𝒗 = von Mises stress「麥西斯應力」數值、或是有「應力集中」(stress concentration)的地方，會是潛在的、風險的破壞位置。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.08.08

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