《科普專欄》管線知識科普化-管線導波腐蝕快篩檢測技術

導波腐蝕快篩技術原理：安裝環狀壓電陣列換能器在管線一處產生扭矩模態超音波導波，導波可在長直管線上長距離傳遞，對於包覆管線、高架、區間與掛橋管線可進行大範圍檢查；對於穿牆界面腐蝕、出入土端腐蝕、管支撐腐蝕等難檢處，可有效快篩評估是否有輕度/中度/嚴重等腐蝕現象，作為管線風險管控之有效性檢測技術之ㄧ。

李秉鴻

2020.10.13

Read More

《振動噪音科普專欄》FFT系列：兩個簡諧波合成，FFT頻譜分析有甚麼現象？

 這個單元的主題：FFT系列：兩個「簡諧波」合成，FFT頻譜分析有甚麼現象？其中，FFT是fast Fourier transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。

 

「簡諧波」是指「單一頻率」(single frequency)的「餘弦波」或「正弦波」，或是有不同的「相位角」，都可泛稱為「簡諧波」(harmonic wave)。

 

參閱圖1，探討「不同頻率的餘弦波」之合成效應，首先，以”ISOC”「系統方塊圖」的理念，說明如下：

 

1.      Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。

2.      System 系統：就是所要發展的FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。

3.      Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。

4.      Control variables控制變數：由先前單元#179：【FFT系列：FFT參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】，常用的「FFT分析參數」之設定有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。

 

在此，令Fmax = fnyq= 500 Hz，LOR = Nf = 500 lines。所以，「頻率解析度」  = fnyq/ Nf = 1 Hz，「取樣時間長度」T= 1⁄∆f = 1/1 = 1 sec。所以，FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式，就是要將時間域的信號 𝒙(𝒕)，進行FFT，取得 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」，𝑿(𝒇) 就是頻率域的信號。

 

圖1是兩個「不同頻率的餘弦波」的「頻譜分析」，其中，𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 10 Hz。𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 1，𝒇2 = 50 Hz。兩個信號的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，如預期分別在頻率 𝒇1 = 10 Hz，振幅 𝑿1 = 1，以及頻率 𝒇2 = 50 Hz，振幅 𝑿2 = 1。

 

當這兩個「簡諧波」合成在一起，可以觀察圖1右邊圖示：

 

1.      「時間波形」𝒙(𝒕)：係由兩個「簡諧波」的信號，疊加組合而成。

2.      「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)：也是分別有頻率 𝒇1 = 10 Hz，振幅 𝑿1 = 1，以及頻率 𝒇2 = 50 Hz，振幅 𝑿2 = 1的現象。也是兩個獨立的「簡諧波」之「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，合成效應。

 

圖2是兩個「頻率相同，不同相位角」的「簡諧波」之「頻譜分析」，在此要先帶入「相位角」(phase angle)的概念。𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕 +𝝓𝟏)，其中，𝑿1 = 1，𝒇1 = 10 Hz，𝝓𝟏 = 0°，在此要注意在方程式中的相位角𝝓𝟏，要以徑度為單位，也就是rad。

 

由 𝒙1(𝒕) 的「頻譜分析」，可觀察「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，分別由「振幅」圖及「相位角」圖，可以確認在頻率 𝒇1 = 10 Hz，振幅 𝑿1 = 1，相位角𝝓𝟏 = 0°。

接著，觀察 𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕 +𝝓2)，其中，𝑿2 = 1，𝒇2 = 10 Hz，𝝓2 = -90°，其中，振幅及頻率都相同，𝑿1 = 𝑿2 =1，𝒇1 = 𝒇2 = 10 Hz，只有相位角有差異，𝝓𝟏= 0°，𝝓2 = -90°，相差90度。實際上，𝒙2(𝒕)是個「正弦波」，𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐬in(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)。也就是「正弦波」和「餘弦波」有90度相位角差。

 

最後觀察，𝒙1(𝒕) 及 𝒙2(𝒕) 組合的 𝒙(𝒕)，其頻率仍然是 𝒇 = 10 Hz，振幅 𝑿 = 1.414，相位角𝝓= -45°。由此現象可知，兩個「頻率」相同，不同「相位角」的「簡諧波」相加，其合成信號的頻率，仍然相同。「振幅值」會因為有「相位角」差，而有相互抵銷的效應，合成的「振幅值」及「相位角」會不同於原始信號。

 

再參閱圖3也是兩個「頻率相同，不同相位角」的「簡諧波」之「頻譜分析」，兩種情形說明如下：

 

1.      兩個「簡諧波」之「相位角」差為0°：稱為「同相」(in phase)，當兩個信號合成時，其「振幅值」兩兩相加，「相位角」維持原角度。

2.      兩個「簡諧波」之「相位角」差為180°：稱為「反相」(out of phase)，當兩個信號合成時，完全相互抵銷，其「振幅值」兩兩相加為零。

 

綜合本單元的討論：

 

1.      圖1：探討兩個不同頻率「簡諧波」的合成。

2.      圖2：導入「簡諧波」的「相位角」概念，並探討有相同頻率的兩個「簡諧波」的合成效應。

3.      圖3：探討「同相」(in phase)及「反相」(out of phase)的相同頻率之兩個「簡諧波」的合成效應。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2020.09.05

文章粉絲團連結

YouTube影片連結

訂閱電子報

圖1、FFT系列：兩個簡諧波合成，FFT頻譜分析有甚麼現象？–不同頻率的餘弦波

圖2、FFT系列：兩個簡諧波合成，FFT頻譜分析有甚麼現象？–頻率相同，不同相位角

圖3、FFT系列：兩個簡諧波合成，FFT頻譜分析有甚麼現象？–頻率相同，不同相位角

Read More

《振動噪音科普專欄》FFT系列：相同FFT參數，不同單頻率簡諧波的頻譜分析？

這個單元的主題：FFT系列：相同FFT參數，不同單頻率簡諧波的頻譜分析？其中，FFT是fast Fourier transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。

 

不同單頻率簡諧波是指「單一頻率」(single frequency)的「餘弦波」或「正弦波」，或是有不同的「相位角」，都可泛稱為「簡諧波」(harmonic wave)。

 

首先參閱圖示中央，以”ISOC”「系統方塊圖」的理念，來看「FFT頻譜分析」程式，說明如下：

 

1.      Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。

2.      System 系統：就是所要發展的FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。

3.      Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。

4.      Control variables控制變數：由先前單元#179：【FFT系列：FFT參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】，常用的「FFT分析參數」之設定有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。

 

取一個「餘弦波」，「時間域」方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕)，其中，𝑿 是振幅(amplitude)，𝒇𝟎是頻率(frequency)。本單元將探討不同「餘弦波」的頻率之「FFT頻譜分析」。

 

採用相同的「FFT分析參數」，令 Fmax = fnyq= 50 Hz，LOR = Nf = 50 lines。可以得到其他5個「FFT分析參數」：

 

1.      「取樣頻率」(sampling frequency)，fs = fnyq*2 = 50*2 = 100 Hz。

2.      「總取樣點數」(number of samples)，Nt = Nf*2 = 50*2 = 100 samples。

3.      「時間間距」(time interval)，Δt = 1/fs = 1/100 = 0.01 sec。

4.      「頻率解析度」(frequency resolution)，Δf = fnyq / Nf = 50/50 = 1 Hz。

5.      「時間長度」(time frame)，T = 1/Δf = Nf/ fnyq = 50/50 = 1 sec。

 

令「餘弦波」 𝑿 = 1，對於不同的頻率 𝒇𝟎，分別進行「FFT頻譜分析」可得到 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)  𝑿(𝒇)，討論如下：

 

1.          𝒇𝟎=1 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的「時間波形」(time waveform)如圖示，符合「餘弦波」的特徵，在量測時間 T = 1 sec，顯示一個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=1 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿 = 1，其他頻率皆為零。

2.          𝒇𝟎=5 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，符合「餘弦波」的特徵，在量測時間 T = 1 sec，顯示 5個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=5 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿 = 1，其他頻率皆為零。

3.          𝒇𝟎=10 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，符合「餘弦波」的特徵，在量測時間 T = 1 sec，顯示 10個週期的波。𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=10 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿 = 1，其他頻率皆為零。

4.          𝒇𝟎=25 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，在量測時間 T = 1 sec，顯示 25個週期的波，但是已經不能完整的呈現出「餘弦波」的特徵，不過可以看出正負值變化，符合𝒇𝟎=25 Hz特徵。這就是所謂的「4倍原則」，要解讀一個完整「簡諧波」的時間波形，一個週期至少需要4個取樣點，才可以完整解析該信號的正負值變化。在此，因為𝒇s= 100 Hz，𝒇s/𝒇𝟎=4，剛好符合「4倍原則」，所以仍然可以明顯得解析時間域信號的頻率特徵。對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=25 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿 = 1，其他頻率皆為零。所以，「FFT頻譜分析」可正確解析。

5.          𝒇𝟎=40 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，看起來已經不像是「餘弦波」的特徵，取樣的信號已經有所扭曲/失真(distortion)，不過，對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖，確實在 𝒇𝟎=40 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿 = 1，其他頻率皆為零，顯示仍有正確的「FFT頻譜分析」。雖然，在時間域取樣的「時間波形」已經「失真」，但是，𝑿(𝒇) 頻譜圖仍有正確的解析。

6.          𝒇𝟎=52 Hz：對應 𝒙(𝒕) 的圖示，看起來完全不像是「餘弦波」的特徵，取樣的信號已經完全失真(distortion)，而對應的 𝑿(𝒇) 頻譜圖，卻是在 𝒇𝟎=48 Hz時，其「振幅值」(amplitude) 𝑿 = 1，其他頻率皆為零，「FFT頻譜分析」得到了錯誤的頻率值 𝒇𝟎=48 Hz，稱之為「假象頻率」(aliasing frequency)。原因是信號頻率 𝒇𝟎=52 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz，所以，會出現「假象」(aliasing)，就是因為 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。

7.          𝒇𝟎=60 Hz：信號頻率 𝒇𝟎=60 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz，所以，會出現「假象」(aliasing)，得到了錯誤的「假象頻率」𝒇𝟎=40 Hz，若比較 𝒇𝟎=60 Hz 和 𝒇𝟎=40 Hz的𝒙(𝒕) 圖示，完全相同，顯然對 𝒇𝟎=60 Hz的取樣是不正確的。原因就是 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。

8.          𝒇𝟎=75 Hz：信號頻率 𝒇𝟎=75 Hz > 最高有效頻率Fmax = fnyq= 50 Hz，所以，也是會出現「假象」(aliasing)，得到了錯誤的「假象頻率」𝒇𝟎=25 Hz，若比較 𝒇𝟎=75 Hz 和 𝒇𝟎=25 Hz的 𝒙(𝒕) 圖示，完全相同，顯然對 𝒇𝟎=75 Hz的取樣是不正確的。原因就是 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。

 

針對以上出現的「假象」(aliasing)，會有「假象頻率」(aliasing frequency)，參考先前單元#32：【甚麼是假象(aliasing)？】。以上的案例：實際信號 𝒇𝟎=52 Hz，「假象頻率」=48 Hz；實際信號 𝒇𝟎=60 Hz，「假象頻率」=40 Hz；實際信號 𝒇𝟎=75 Hz，「假象頻率」=25 Hz。

 

「假象頻率」出現的方式，係由頻譜的「摺疊效應」(folding effect)所致，讀者可參考先前單元#31：【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？】，「假象頻率」出現的推算方式：

 

1.      𝒇𝟎=52 Hz，fnyq= 50 Hz：取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差」df =𝒇𝟎– fnyq=52–50=2 Hz。「假象頻率」faliasing = fnyq–df =50–2=48 Hz。

2.      𝒇𝟎=60 Hz，fnyq= 50 Hz：取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差」df =𝒇𝟎– fnyq=60–50=10 Hz。「假象頻率」faliasing = fnyq–df =50–10=40 Hz。

3.      𝒇𝟎=75 Hz，fnyq= 50 Hz：取信號頻率和Nyquist頻率的「頻率差」df =𝒇𝟎– fnyq=75–50=25 Hz。「假象頻率」faliasing = fnyq–df =50–25=25 Hz。

 

針對以上出現的「假象」(aliasing)，會有「假象頻率」(aliasing frequency)，主要原因就是 𝒇𝟎 > Fmax = fnyq，使得「FFT頻譜分析」得到了「假」的、錯誤的信號頻率。

 

要解決「假象」(aliasing)或是「假象頻率」(aliasing frequency)的問題，有兩種方式：

 

1.      使用「反假像濾波器」(Anti-Aliasing Filter, AA filter)：將高於fnyq=Fmax的頻率濾除，可以避免出現「假象頻率」。

2.      提高 fnyq=Fmax：如果信號的頻率很重要，那麼只有提高 fnyq=Fmax了，不過，仍然要使用「反假像濾波器」。

 

針對「假象」(aliasing)或是「假象頻率」(aliasing frequency)，彙整先前單元#32：【甚麼是假象(aliasing)？】如下：

 

1.          假像頻率的現象：在信號的頻譜圖，實際信號之頻率解析，有不正確的分析結果。此不正確的「假象頻率」係來自「摺疊效應」(folding effect)。

2.          假像頻率的原因：主要原因是實際信號的頻率𝒇𝟎，高於Nyquist frequency有效頻率 fnyq = Fmax，因而，在時間域的取樣速度不足，造成「FFT頻譜分析」運算後得到的頻譜，取得了不正確的頻率。

3.          假像頻率的影響：如果沒有排除「假象頻率」，在觀察信號的頻譜圖，將會誤判該「假象頻率」是正確的，因而，將影響後續的振動噪音改善因應對策。

4.          如何避免假像頻率：為避免有「假象頻率」出現，在對 𝒙(𝒕) 信號進行「FFT頻譜分析」運算之前，要將時間域 𝒙(𝒕) 信號，在Nyquist frequency以上的高頻率信號濾除。所以，在量測中會施以「低通濾波器」(low pass filter)，又稱為「反假像濾波器」(Anti-Aliasing Filter, AA filter)，我們再另闢單元討論。

 

最後，綜合本單元討論的重點及關鍵詞，彙整如下：

 

1.      「FFT分析參數」：有7個參數。

2.      「單一頻率簡諧波」：「餘弦波」或「正弦波」。

3.      「有效/最高頻率」：Fmax = fnyq。

4.      「假象」(aliasing)、「假象頻率」(aliasing frequency)：頻譜的「摺疊效應」(folding effect)。

5.      解決「假象」方式：「反假像濾波器」(Anti-Aliasing Filter, AA filter)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2020.08.27

文章粉絲團連結

YouTube影片連結

訂閱電子報

圖1、FFT系列：相同FFT參數，不同單頻率簡諧波的頻譜分析？

Read More