這個單元的主題：【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】，首先，破題的思考：甚麼是「阻尼比」？「阻尼」和「阻尼比」有不同嗎？不同的「阻尼比」為什麼對質塊的振動有影響？又，先前單元的「阻尼比」都是「正值」，會有「負值」的「阻尼比」嗎？那麼「負阻尼比」對質塊的振動影響又是如何呢？
在先前單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，對圖示「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到對應的「數學模型」(mathematical model)，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，是典型的振動學課程重要單元之一。
又由先前單元：【工程實務上，如何表示阻尼？黏滯阻尼的特性】，最常採用的「黏滯阻尼模型」(viscous
damping model)，也就是圖示的「數學模型」，可以得到其「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
由「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，得到其「運動方程式」，因為是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。
1. 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)：以ξ代表，定義是：ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc 是「臨界黏滯阻尼係數」如下說明。
2. 「臨界黏滯阻尼係數」(critical
viscous damping coefficient)：以Cc代表，定義可參閱圖示，摘錄如下，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，其中，ωn=(k/m)^0.5，是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。
「阻尼」和「阻尼比」有不同嗎？「阻尼」(damping)，是一個泛用名詞，是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說，可以想像一個材料構件，因為結構體的變形，使得材料分子之間有摩擦，而產生磨擦的能量損失，即為「阻尼效應」(damping effect)。
有了以上的背景知識，就來探討【不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響？】，參考圖示，將
「阻尼比」ξ，以數線畫出來，有3個紅色點的標示，分別是：ξ=0、ξ=1、及ξ=–1，以下就各種「阻尼比」ξ的狀態，令質塊受到「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用，來探討質塊的運動狀態：
1. ξ=0，無阻尼(undamped)：也就是「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，其中的「黏滯阻尼係數」c=0。當質塊受到「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用，因為是無阻尼，所以質塊會來回振盪不停，這在現實世界中是不存在的，可以說是一種假設的理想狀態。
2. 0<ξ<1，次阻尼(under-damped)：「黏滯阻尼係數」c介於0和Cc之間，此系統的質塊運動狀態呈現來回振盪的衰減現象，而且，「阻尼比」ξ越大，質塊振盪的振幅就衰減越快。
3. ξ=1，臨界阻尼(critically
damped)：當「黏滯阻尼係數」c=Cc，質塊受到相同「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用，質塊由於受到「初始速度」V0作用，質塊會穿越x=0的初始位置，而後質塊振幅急速的衰減，並不會有如「次阻尼」狀態的來回振盪現象，這就是需要定義「臨界阻尼」的原因。
4. ξ>1，過阻尼(over-damped)：如果「黏滯阻尼係數」c>Cc，此系統的質塊運動呈現和「臨界阻尼」相似的狀態，質塊由於受到「初始速度」V0作用，質塊會穿越x=0的初始位置，而後質塊振幅急速的衰減，同樣不會有如「次阻尼」狀態的來回振盪現象。
5. ξ<0，負阻尼(negative damping)：對於如質塊彈簧的實體結構，彈簧材料都有「正阻尼」的效應，現實世界中，還沒有發現有「負阻尼」的材料，如果，能找到「負阻尼」材料配方，應該會是下一屆諾貝爾得獎候選人。那麼，為什麼會有「負阻尼」呢？若是以「等效系統」(equivalent system)來說，「黏滯阻尼係數」c就有可能為「負值」，而形成「負阻尼」的效應，如以下討論，將會觀察到質塊的運動會呈現「發散」的「不穩定」現象。
6. –1<ξ<0，負次阻尼(negatively under-damped)：也就是「黏滯阻尼係數」c介於0和–Cc之間，此系統的質塊運動狀態呈現「來回振盪」的「發散」現象，而且，「負阻尼比」ξ越小，質塊振盪的振幅就發散越快，這種大振幅振動的發散現象，在實務上是不樂見的，會造成結構系統的破壞。
7. ξ=–1，負臨界阻尼(negatively critical damped)：當「黏滯阻尼係數」c=–Cc，質塊受到相同「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0的作用，質塊由於受到「初始速度」V0作用，質塊會穿越x=0的初始位置，而後質塊振幅急速的發散，並不會有如「負次阻尼」狀態的來回振盪之發散現象。
8. ξ<–1，負過阻尼(negatively over-damped)：如果「黏滯阻尼係數」c<–Cc，此系統的質塊運動呈現和「負臨界阻尼」相似的狀態，質塊由於受到「初始速度」V0作用，質塊會穿越x=0的初始位置，而後質塊振幅急速的發散，同樣不會有如「負次阻尼」狀態的來回振盪之發散現象。
綜合一下以上的討論，是對「阻尼比」ξ，劃出一條數線，再歸納討論如下：
1. 以ξ=0，無阻尼，為分界點，可以區別出「正阻尼」及「負阻尼」。
2. 「正阻尼」效應會使系統的振動響應有衰減的收斂現象。而「負阻尼」效應，會使得系統有發散的不穩定現象。
3. 不管是「正次阻尼」、或是「負次阻尼」，質塊都會有「來回振盪」的現象。在「正次阻尼」時，質塊呈現來回振盪的「衰減收斂」現象；而「負次阻尼」，質塊呈現來回振盪的「發散不穩定」現象。
4. 當「阻尼比」ξ大於等於「正臨界阻尼」或小於等於「負臨界阻尼」，質塊就不會有「來回振盪」的現象。
這個單元，主要是探討了「質塊彈簧之實體結構」，以「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的動態分析，呈現了【不同阻尼比，對質塊的振動有甚麼影響？】。其中，最主要的理念是「正阻尼」和「負阻尼」的「衰減」和「發散」差異，以及「正臨界阻尼」和「負臨界阻尼」的「有來回振盪」和「沒有來回振盪」的運動狀態差異。希望由本單元的探討，讀者能夠初步了解「不同阻尼」的特徵，以及其不同振動「衰減收斂」、或「發散不穩定」現象的差異。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.08.07
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