這個單元要來探討的主題是：結構「應力」(Stress)與結構「應變」(Strain)有甚麼關係？
參閱圖示左上，為一個懸臂樑受均佈壓力之靜力分析示意圖，可以分析得到結構「應力」(Stress)，本單元將更深入地來探討，如何由結構的「應變」(Strain)，分析求得結構「應力」(Stress)？
在前一個單元： #298，【甚麼是材料模型(Material
Model)？】，指出：當選用了「材料模型」，不管是Isotropic 等向性、Orthotropic 正向性、或Anisotropic 異向性「材料模型」，都可以取得[𝑫]= Material Stiffness Matrix材料勁度矩陣。即可由應力與應變關係求得結構「應力」(Stress)。
參閱圖示左上方的應力與應變關係：{𝝈}=[𝑫]{𝜺}，其中，{𝝈} = 應力向量，{𝜺} = 應變向量。概念上，當已知結構的應變{𝜺}，就可以透過[𝑫]=材料勁度矩陣，分析求得結構應力{𝝈}。
可以觀察到{𝝈} = 應力向量，有6項，包含：(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛) 3個正向應力(normal stress)，和(𝝉_𝒙𝒚,𝝉_𝒚𝒛,𝝉_𝒛𝒙) 3個剪應力(shear stress)。而{𝜺} = 應變向量，也有6項，包含：(𝜺𝒙, 𝜺𝒚, 𝜺𝒛) 3個正向應變(normal strain)，和(𝜸_𝒙𝒚,𝜸_𝒚𝒛,
𝜸_𝒛𝒙)3個剪應變(shear strain)。
參閱圖示右邊的說明及對應方程式，由虎克定律(Hoke’s law)，對等向性(isotropic)、線性(linear)、彈性(elastic)材料，「應力」(Stress)與「應變」(Strain)有以下關係式：
正向應變(normal strain)：
𝜺_𝒙=𝟏/𝑬 [𝝈_𝒙−𝝂(𝝈_𝒚+𝝈_𝒛 )]
𝜺_𝒚=𝟏/𝑬 [𝝈_𝒚−𝝂(𝝈_𝒛+𝝈_𝒙 )]
𝜺_𝒛=𝟏/𝑬 [𝝈_𝒛−𝝂(𝝈_𝒙+𝝈_𝒚 )]
剪應變(shear strain)：
𝜸_𝒙𝒚=𝟐(𝟏+𝝂)/𝑬(𝝉_𝒙𝒚)=𝝉_𝒙𝒚/𝑮
𝜸_𝒚𝒛=𝟐(𝟏+𝝂)/𝑬(𝝉_𝒚𝒛)=𝝉_𝒚𝒛/𝑮
𝜸_𝒛𝒙=𝟐(𝟏+𝝂)/𝑬 𝝉_𝒛𝒙=𝝉_𝒛𝒙/𝑮
其中，有3個材料參數：
1. 𝑬 = Young’s Modulus 楊氏係數，也可稱為
Elastic Modulus 彈性模數。
2. 𝝊 = Poisson ratio 普松比。
3. 𝑮
= Shear modulus剪力模數。
在Isotropic 等向性「材料模型」，𝑬、𝝊、𝑮三者有下列關係式：𝑮=𝑬/(𝟐(𝟏+𝝊))。
由前述的6個「應力」(Stress)與「應變」(Strain)的關係式，可以改寫為矩陣形式，參閱圖示中間左邊的矩陣形式方程式。對此方程式，做逆矩陣(inverse matrix)處理，可以取得圖示左下方的矩陣形式方程式：{𝝈}=[𝑫]{𝜺}，其中，[𝑫]=材料勁度矩陣可以求得為𝑬、𝝊表示的矩陣形式。在此，隱含的意義：在應用CAE分析軟體進行分析時，必須正確的設定「材料參數」𝑬、𝝊的數值，才可以正確地取得結構「應力」。
綜合一下這個單元，主要在探討結構「應力」(Stress)與結構「應變」(Strain)有甚麼關係？在此，以等向性(isotropic)、線性(linear)、彈性(elastic)材料為例，綜合如下：
1. 必須正確的設定兩個「材料參數」：𝑬
= Young’s Modulus 楊氏係數，𝝊 = Poisson ratio 普松比。
2. 𝑮
= Shear modulus剪力模數：和𝑬 與 𝝊，有下列關係式：𝑮=𝑬/(𝟐(𝟏+𝝊))。
3. 由虎克定律(Hoke’s law)，界定了等向性(isotropic)、線性(linear)、彈性(elastic)材料，「應力」(Stress)與「應變」(Strain)的關係式。包括：正向應變(normal strain)和剪應變(shear strain)。
4. 將「應力」(Stress)與「應變」(Strain)關係式，寫成矩陣形式。
5. 透過逆矩陣(inverse matrix)處理，可以取得「應變」(Strain)與「應力」(Stress)關係式。
6. 最後，求得[𝑫] = Material Stiffness Matrix材料勁度矩陣。
因此，當已知結構的「應變向量」(Strain vector){𝜺}，就可以透過[𝑫]= Material Stiffness Matrix材料勁度矩陣，分析求得結構「應力向量」(Stress vector){𝝈}。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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