《振動噪音科普專欄》為什麼結構的「分析」，可以採用「靜力分析」來取代「振動分析」？

 

這個單元要來探討的主題是：為什麼結構的「分析」，可以採用「靜力分析」(Static Analysis)來取代「振動分析」(Vibration Analysis)？

 

在先前單元：#288，【「靜力分析」和「振動分析」有什麼不同？】，#289，【如何進行結構的「靜力分析」？】，#290，【如何進行結構的「安全性」評估？】，分別探討了幾個關鍵詞，包括：「靜力分析」(Static Analysis)、「振動分析」(Vibration Analysis)、結構的「靜力分析」、以及結構的「安全性」評估等。

 

又，已經知道「靜力分析」的假設：(1) 外力： 𝒇(𝒕)= 常數，也就是不隨時間變化。(2) 結構是沒有運動/振動的，也就是速度 𝒗(𝒕)=𝟎、加速度 a(𝒕)=𝟎。

 

又，實際結構的外力𝒇(𝒕)，可能都不是常數，那麼為什麼可以採用「靜力分析」(Static Analysis)來取代「振動分析」(Vibration Analysis)呢？

 

在此，取一個案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，參閱圖示左上方，顯示問題描述的實際結構示意圖，平板在兩端有治具的夾持，夾持位置兩端受到往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)的作用，看起來是一個正弦波的變動外力。

 

參閱圖示左下方，正弦波的簡諧外力示意圖，外力為正弦函數 𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇 𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示的𝒑(𝒕)示意圖，可以從時間波形，分別界定出「簡諧外力振幅」 𝑭，以及「激振頻率」𝒇是「週期」T的倒數。

 

如果，結構受到這樣的簡諧外力，可能就需要進行「振動分析」(Vibration Analysis)，而且進行的是「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。

 

不過，觀察一下外力 𝒑(𝒕)的時間波形，其最大值會是+𝑭，而最小值是−𝑭，盡管𝒑(𝒕)是隨時間變化，但是可以以兩個「靜力分析」來取代「振動分析」：

 

1.      取最大外力+𝑭，進行靜力分析

2.      取最小外力−𝑭，進行靜力分析

 

這樣的兩個「靜力分析」方式，重要的意義，在免於進行進階的、複雜的振動「簡諧響應分析」，而只透過兩個「靜力分析」方式，也可以分別解析出結構的最大與最小之變形與應力狀態，而結構的變形與應力，應該會是介於最大與最小之間。

 

接下來，就針對這個案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，以「靜力分析」方式，進行整體的分析步驟。

 

首先，對「實際結構」，作適當的假設，建構「數學模型」(Mathematical Model)，參閱圖示中間上方的「數學模型」示意圖，建議以【F → GBMI → R】心法思考，分別說明如下：

 

1.      F=Force外力負荷：本案例在兩端受夾持力，可假設為均勻的均佈拉力𝑷=𝑭/(𝑳×𝒉)。

2.      G=Geometry幾何：忽略夾持端的治具，只取中間部分的平板。由於平板是個薄板結構，可以採用「平面元素」(plane element)進行分析。因此，只取厚度方向，一個截面如圖示，進行分析。

3.      M=Material材料：平板當然有其材料，所以，需設定對應的材料參數。

4.      B=Boundary邊界條件：原有的夾持邊界，已經轉換為均佈拉力𝑷，所以，沒有邊界效應。

5.      I=Interface接觸介面：本案例是單一材料結構，沒有接觸效應，所以可忽略。

6.      R=Response結構響應：在「靜力分析」得到的響應，就是結構的「位移」變形以及結構上每個位置的「應力」。

 

有了「數學模型」，其次，就要建構對應的「有限元素模型」(finite element model)，參閱圖示右上方的「有限元素模型」示意圖。由於符合結構的「對稱性」，只取1/4個平板進行分析，在下方與左邊的線段，需要設定「對稱邊界」的位移限制。外力為均佈拉力𝑷=𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐏𝐚。

 

有了「有限元素模型」的構想，就可以應用CAE/FEA有限元素分析軟體進行應用分析，實現出FEA的分析構想，參閱圖示右下方的結構應力分佈圖示是𝝈𝒙，也就是x-方向正向應力分佈圖。可以觀察：

 

1.      當+𝑭時，最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱 = 3041.08 𝐏𝐚，出現在圓孔的上方位置。

2.      當−𝑭時，最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧 = −3041.08 𝐏𝐚，也是出現在圓孔的上方位置。

 

分析到此，可以發現，會有最大、最小應力位置，是在圓孔的上方位置，量值大小相等、方向相反，所以此變動性的「簡諧外力」，可以合理推測結構的應力，應該會是介於最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱與最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之間。

 

對於結構受到這種往復拉力之可能破壞，最可能的就是「疲勞破壞」(fatigue failure)，有關「疲勞破壞」，我們再另闢單元討論。

 

由於「有限元素模型」的構想，是採用了1/4個平板的「對稱模型」進行分析，所以參閱圖示中間下方圖示，可以解讀此「對稱模型」應力分佈的物理意義，可觀察出最大、最小應力的發生位置以及其量值大小。

 

在此仍需注意，此分析結果還不是很好，仍然需要進行所謂的「收斂性分析」(convergence analysis)，我們再另闢單元討論。

 

綜合一下本單元的重點：為什麼結構的「分析」，可以採用「靜力分析」(Static Analysis)來取代「振動分析」(Vibration Analysis)？在此案例：兩端夾持平板受往復拉力之結構分析，其往復拉力𝒑(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其實是「簡諧外力」。

 

在本案例，沒有進行「振動分析」之「簡諧響應分析」，而是以兩個「靜力分析」來取代「振動分析」，可以解析出最大、最小應力位置，是在圓孔的上方位置，進而可以合理推測結構的應力，應該會是介於最大應力𝝈𝒙,𝐦𝐚𝐱與最小應力𝝈𝒙,𝐦𝐢𝐧之間，所以，就是採用了「靜力分析」(Static Analysis)，取代了「振動分析」(Vibration Analysis)。

 

針對本案例的分析流程步驟，歸納進行「靜力分析」之主要步驟如下：

 

1.      定義問題：

2.      建構數學模型：

3.      發展有限元素模型：

4.      進行FEA軟體應用分析：

5.      解讀分析結果討論評估：

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2022.10.17

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《振動噪音科普專欄》甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)？如何應用於結構安全性評估？

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)？如何應用於結構「安全性」(Safety)評估？

 

在前一個單元：#290，【如何進行結構的「安全性」評估？】，參閱圖示右上方的案例：懸臂樑受均佈壓力之靜力分析，可以得到各種類型的結構應力，包括：𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛，就是3個方向的正向應力Normal stress以及3個方向的剪應力Shear stress。由正向應力和剪應力可以推算出3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises stress麥西斯應力。也就是取得「結構應力」(Structural Stress)。

 

又知道，對於結構靜力分析的「安全性」(Safety)評估，首先，瞭解「安全係數」(Safety Factor)的定義：

 

𝑵_𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒄 = 𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 / 𝝈_𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆
靜力安全係數 = 材料容許應力 / 結構應力 = Material Allowable Stress / Structural Stress

 

其次，甚麼是「材料容許應力」(Material Allowable Stress)呢？結構會是由某種材料所製造的，每種材料有其「容許應力」，定義如下：

 

𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 = 材料容許應力 = 材料強度 /𝑵

 

如果，令「材料容許應力」(Material Allowable Stress) = 「材料強度」(Material Strength)，也就是𝑵=「安全係數」=𝟏。

 

還需要瞭解甚麼是「材料強度」(Material Strength)？必須考慮兩種材料特性，如果是「延展性材料」特徵，可以定義3種「材料強度」選項：

 

1.      𝑺𝒚𝒅 = 降伏強度Yielding Strength：在彈性變形區的最大應力值。

2.      𝑺𝒖𝒕 = 極限強度Ultimate Strength：在塑性變形區的最大應力值。

3.      𝑺𝒇𝒓 = 破壞強度Fracture Strength：材料拉伸試驗斷裂時的應力值。

 

通常，𝑺𝒚𝒅 < 𝑺𝒇𝒓 < 𝑺𝒖𝒕，所以，𝑺𝒚𝒅是最保守的選項。

 

如果是「脆性材料」，因為其抗拉與抗壓的強度，會有明顯不同，因此需要取得的「材料強度」，包括：

 

1.      𝑺𝒕 = 抗拉強度Tensile Strength

2.      𝑺𝒄 = 抗壓強度Compressive Strength

 

所以，對於結構的「安全性」(Safety)評估，需要從兩種材料特性的角度，分別進行評估：

 

1.      「延展性材料」(Ductile Material)：𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒚𝒅/𝝈𝒆𝒒𝒗 = 降伏強度 / 等效應力。

2.      「脆性材料」(Brittle Material)：𝑵𝒔𝒕=𝑺𝒕/𝝈𝟏 = 抗拉強度 / 第一主應力，而且，𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒄 / 𝝈𝟑 = 抗壓強度 / 第三主應力。

 

回顧了甚麼是「結構應力」(Structural Stress)？甚麼是「材料容許應力」(Material Allowable Stress)？甚麼是「材料強度」(Material Strength)？以及甚麼是「延展性材料」(Ductile Material)？甚麼是「脆性材料」(Brittle Material)？以及兩種特性材料的結構「安全性」(Safety)評估方法，本單元著重於瞭解甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)？同時，探討如何應用於結構「安全性」(Safety)評估？

 

「破壞理論」有很多種，針對「延展性材料」與「脆性材料」，常選用的兩種「破壞理論」，分述如下：

 

1.      “von Mises” Failure Theory，「麥西斯」破壞理論、或稱「畸應變能」(Distortion Stain Energy)破壞理論：適用於「延展性材料」(Ductile Material)。如果，𝝈𝒆𝒒𝒗 < 𝑺𝒚𝒅，也就是結構應力的𝝈𝒆𝒒𝒗，小於材料強度，如𝑺𝒚𝒅降伏強度是最保守的選項，則結構不會破壞。

2.      “Maximum Principal Stress” Failure Theory，「最大主應力」破壞理論：適用於「脆性材料」(Brittle Material)。如果，−𝑺𝒄 < {𝝈1,𝝈2,𝝈3 } < 𝑺𝒕，也就是結構的3個主應力，都介於𝑺𝒄 抗壓強度和𝑺𝒕抗拉強度之間，則結構不會破壞。

 

接下來，定義𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises stress麥西斯應力。詳細方程式，可參閱圖示，概念上，已知：結構應力，包括：𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛，就是3個方向的正向應力Normal stress以及3個方向的剪應力Shear stress，就可以求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。另外，也可以由3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。

 

其次，如何求得3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑呢？參閱圖示左下方，可以寫出應力矩陣 [σ]，是由𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛所組成，分析求解應力矩陣 [σ]的特徵值(eigenvalue)，即可求得3個主應力Principal stress，𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑，通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。

 

有了以上「破壞理論」的基礎知識，就可以知道，彙整於圖示右下方的安全性評估，如何分別應用兩個「破壞理論」，進而分別對「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構，進行其「安全性」(Safety)的評估方法。

 

最後，綜合本單元的討論：

 

1.      介紹了兩個「破壞理論」：(1)「麥西斯」破壞理論，以及(2)「最大主應力」破壞理論。

2.      分別應用於「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構的「安全性」(Safety)的評估。

3.      對於「延展性材料」結構：因為採用「麥西斯」破壞理論，所以，「結構應力」要取得𝝈𝒆𝒒𝒗，是等效應力Equivalent/Effective stress，也稱為von Mises stress麥西斯應力。

4.      對於「脆性材料」結構：因為採用「最大主應力」破壞理論，所以，「結構應力」要取得3個主應力Principal stress，𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2022.10.17

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