《振動噪音科普專欄》如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 以「剛性長條形質塊」為例

 

這個單元要來探討的主題是:如何建構「離散系統(discrete system)的「數學模型(mathematical model)- 以「剛性長條形質塊」為例。

 

要進行一個結構的「振動分析(vibration analysis),建構「數學模型(mathematical model)是其中一個重要步驟,稱為「數學建模(mathematical modeling)。也就是將「實際結構(real structure)做適當的假設,以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

參閱圖示之流程:「實際結構 數學建模 數學模型」。建構「數學模型」的流程步驟:就是實際結構 進行數學建模 得到數學模型」。

 

觀察圖示右上方,【長條形桿件自由端具集中質量塊系統】的示意圖,其實,圖示本身可以說已經是個具體的「數學模型」了。不過,仍然將詳細說明其進行「數學建模」的詳細思考流程與步驟。

 

這個長條形桿件案例,假設為剛體(rigid body),所以,會是個「離散系統(discrete system)

 

針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件

2. 定義系統之連接元件

3. 定義系統之自由度

4. 定義系統之邊界條件

5. 定義系統之輸入條件

6. 定義系統之初始條件

7. 定義有興趣之系統輸出參數

 

要考慮「數學建模」,也是需要:(1)先瞭解原始工程問題的描述與需求,同時,(2)需要明確的定義問題以及分析目標,其次,(3)才是根據問題需求和分析目標,建構「數學模型」。

 

1個步驟:在工程問題描述(problem description)時,建議採用:【4What】的心法,簡要說明如下:

 

1.      What to know? 想要知道甚麼?:對於問題描述,我們想要知道甚麼?這只是口語化的陳述。

2.      What to get? 需要得到甚麼?:根據想要知道甚麼?很具體地指出需要得到甚麼?

3.      What to do? 必須甚麼?:由需要得到甚麼?我們必須甚麼樣的分析?才能夠得到所需要的甚麼。

4.      What to show? 應該呈現甚麼?:最後,完成了以上的分析,在分析報告上,應該呈現甚麼?才能夠充分解答我們想要知道的甚麼?

 

4What】的心法,要注意:是有順序性的、邏輯性的,值得讀者好好思考與應用。

 

2個步驟定義問題(define problem)及擬定分析目標(analysis objectives)。在定義問題(define problem),建議採用的心法:ISO / SPR / FGMBIR概述如下:

 

1.          Input System Output

2.          Source Path Response

3.          Force GMBI Response

 

其中,【F GMBI R】心法,讀者可參考先前單元:#295針對「靜力分析」,如何「定義問題」?心法:FGMBIR】,引述說明如下:

 

本質上,【F GMBI R】、【Input System Output】、【Source Path Response】,三者有同樣的意涵,只是不同的表述方式。

 

完成定義問題(define problem),也要確認分析目標(analysis objectives)。在此就需要瞭解「振動分析(vibration analysis),有4種分析類型:

 

1.          模態分析」(modal analysis)

2.          簡諧響應分析」(harmonic response analysis)

3.          暫態響應分析」(transient response analysis)

4.          頻譜響應分析」(spectrum response analysis)

 

3個步驟:要建構「實際結構(real structure)的「數學模型(mathematical model)

 

數學模型」可以概分為兩種:「離散系統(discrete system)和「連續系統(continuous system)。讀者可參考先前單元:#311結構數學模型:「離散系統」和「連續系統」有甚麼區別?】。

 

本單元探討的【長條形桿件自由端具集中質量塊系統】,如果圖示的彈簧常數𝒌,很軟,也就是𝒌很小,可以想見長條形桿件會是接近於剛體(rigid body),所以,在此就以「離散系統」的假設,進行「數學建模」。

 

要建構「數學模型」,還是要先思考原始的工程問題需求,在長條形桿件本案例,有興趣之一:

 

(1) What to know? 想要知道甚麼?:質量塊受到外力的振動響應的狀態?

(2) What to get? 需要得到甚麼?:質量塊的位移之時間域響應。

(3) What to do? 必須甚麼?:振動分析之暫態響應分析。

 

長條形桿件本案例,有興趣之二:

 

(1) What to know? 想要知道甚麼?:質量塊受到外力的振動響應,會不會產生共振?

(2) What to get? 需要得到甚麼?:結構系統的自然頻率?

(3) What to do? 必須甚麼?:振動分析之模態分析。

 

針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

參閱圖示右下方,對長條形桿件本案例進行「數學建模」,以取得其「數學模型」,7個步驟說明如下:

 

1.      定義系統之質塊元件:就是Mass element長條形桿件假設為剛體(rigid body),有質量𝑴。其自由端有一個集中質量塊𝒎

2.      定義系統之連接元件:就是Connection elementsK & C。在此,桿件在𝒂的位置,有一個彈簧常數𝒌

3.      定義系統之自由度:就是Degree-of-Freedom (DOF)。由於長條形桿件會旋轉上下擺盪,桿件會有旋轉角度𝜽(𝒕),在集中質量塊𝒎會有切線方向位移𝒙(𝒕),桿件在𝒂的位置,也會有位移𝒙𝒌(𝒕)。三者之間會有明確的幾何關係:𝒙=(𝒃)𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝒃𝜽𝒙𝒌=(𝒂) 𝐬𝐢𝐧𝜽≈𝒂𝜽。所以,這是一個單自由度(SDOF)系統。

4.      定義系統之邊界條件:就是Boundary。如圖示的銷接位置是固定在長條形桿件左端,銷接(pin joint)方式,也假設銷接接點是純滑動、無摩擦(frictionless)、桿件可以自由旋轉。另外,彈簧常數𝒌基座,是固定的。

5.      定義系統之輸入條件:就是InputLoading。除了作用在質量塊𝒎的外力是 𝒇(𝒕)。質量塊𝒎長條形桿件會受到重力效應,自重外力𝒎𝒈𝑴𝒈。同時,長條形桿件會有旋轉質量慣性矩(mass moment of inertia)效應𝑰𝒄𝒈=(𝑴𝑳^𝟐)/𝟏𝟐

6.      定義系統之初始條件:就是Initial Condition (I.C.)。必須要定義「自由度𝒙(𝒕) I.C.,包括:初始位移𝒙𝟎和初始速度𝒙 ̇𝟎

7.      定義有興趣之系統輸出參數:就是Interested Output Variables(1)系統之模態參數:自然頻率𝒇𝒏(2) 系統的位移/速度/加速度之時間域響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)

 

綜合一下這個單元的討論重點,摘要如下:

 

1.      說明建構「數學模型」的流程步驟:實際結構 進行數學建模 得到數學模型」。主要看的是【長條形桿件自由端具集中質量塊系統】。

2.      再次以長條形桿件為例,針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,做了詳細說明。

3.      要建構「數學模型」,還是要先思考原始的工程問題需求,在長條形桿件本案例,以【4What】的心法,提出了問題描述,What to know? 想要知道甚麼?:(1)質量塊受到外力的振動響應的狀態?(2)結構會不會產生共振?

4.      數學建模」後,得到的「數學模型」是一個單自由度(SDOF)系統。針對兩個有興趣的【What to know?】,也定義了需要完成的兩種振動分析:(1) 暫態響應分析,(2) 模態分析。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.04.08

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