這個單元要來探討的主題是：兩個Sine波合成Beating「拍振/拍擊/重擊」信號，如何設定FFT參數，取得正確的「頻譜」(spectrum)？
因為要從「時間波形」(time waveform)，透過FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得合成信號的「頻譜」(spectrum)。首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。
4. Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元討論的是無「洩漏」(Leakage)的Sine波，所以，選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。因為是一次性的信號，所以，取一次平均，就是沒有平均處理(Averaging)。
其次，主題提到Beating「拍振/拍擊/重擊」信號，參閱圖片左下方圖示，兩個「頻率」(frequency)不同、但是相近的Sine波合成信號，其「頻譜」(spectrum)特徵，回顧說明如下：
1. 𝑭1 = 10 Hz, 𝑨1
= 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2 =
11 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=𝟎°：兩個「簡諧波」(harmonic wave)，𝑨「振幅」(amplitude)相同，𝝓「相位角」(phase angle)相同，只是𝑭𝟎「頻率」(frequency)不同。當𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 11 Hz，其合成信號的「時間波形」特徵，稱之為「拍振/拍擊/重擊」(Beating)。對應的「頻譜」，沒有意外，很正確，分別在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，都出現振幅=1的峰值(peak)。但是，要注意的是，如果，不知道「時間波形」，僅觀察「頻譜」，將會誤以為只是單一峰值(peak)、單一頻率的「簡諧波」。因為，𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，兩個峰值(peak)相連在一起。
2. 𝑭1 = 10 Hz, 𝑨1
= 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2 =
12 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=𝟎°：當𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，其合成信號的「時間波形」特徵，也有Beating「拍振/拍擊/重擊」現象。稍後再深入討論Beating的現象。對應的「頻譜」，沒有意外，很正確，分別在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 12 Hz，都出現振幅=1的峰值(peak)。但是，不同的是，在𝑭 = 11 Hz，振幅=0，所以，在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 12 Hz的峰值(peak)是分離的，很明確地取得了兩個不同「頻率」的「簡諧波」之特徵。這樣的「頻譜」特徵，會是有效的、可解讀的「頻譜」。
甚麼是Beating「拍振/拍擊/重擊」？說明如下：
1. Beating的現象：在「時間波形」(time waveform)出現如圖示的波形，就稱之為Beating「拍振/拍擊/重擊」。
2. Beating的原因：兩個Sine波，其頻率，相近，但不相等。例如：𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，兩者的頻率差=dF=2 Hz。
3. Beating的頻率、Beating的週期：由dF頻率差，可得到「拍振週期」(Beating period)=Tb=1/dF = 1/2 = 0.5 sec。由Tb「拍振週期」可得到「拍振頻率」(Beating frequency)=Fb = 1/Tb =
2 Hz= dF。
如果，𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 11 Hz，兩者的頻率差=dF=1 Hz。所以，「拍振頻率」(Beating
frequency)=Fb = dF。因此，Tb「拍振週期」=Tb=1/dF =
1/1 = 1 sec。
在此案例：𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 11 Hz，兩者的頻率差=dF=1 Hz。觀察圖片右上方圖示，原始的FFT的控制變數(control variables)設定：
(1) FFT參數：Fmax=200 Hz & LOR= 200條。因此，頻率解析度(Resolution)：R = Fmax / LOR =
1 Hz。
(2) 窗函數處理(Windowing)：Box。因為是「無洩漏」(No Leakage)信號。
(3) 平均處理(Averaging)：5次，overlap= 0%。為了取得較長的「時間波形」(time waveform)。
由「頻譜」可看出，在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，都出現振幅=1的峰值(peak)。但是，要注意的是，如果，不知道「時間波形」，僅觀察「頻譜」，將會誤以為只是單一峰值(peak)、單一頻率的「簡諧波」。因為，𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，兩個峰值(peak)相連在一起。實務上，不會解讀為是兩個獨立頻率的效應。
所以，以上的FFT的控制變數(control variables)設定，是無法分離出、辨識得到兩個獨立的頻率！那麼，要如何設定FFT參數呢？
已知：有兩個相近Sine波頻率差=dF。必需設定：R ≤
dF/2。其中，R = Fmax / LOR = 1 / T。
以此條件，檢視以上的FFT的控制變數(control variables)設定，R =
Fmax
/ LOR
= 200 / 200 = 1 Hz，T = 1 / R = 1 / 1 =
1 sec，dF = 11 – 10 = 1 Hz，R = 1 Hz > dF/2 = 0.5 Hz，所以無法分辨。
改善處理方式之一，觀察圖片右下方圖示，令：(1) FFT參數：Fmax=200 Hz & LOR=
400條。因此，頻率解析度(Resolution)：R = Fmax
/ LOR
= 0.5
Hz。其他設定不變。
以此條件，檢視以上的FFT的控制變數(control variables)設定，R =
Fmax
/ LOR
= 200 / 400= 0.5 Hz，T = 1 / R = 1 / 0.5 = 2 sec，dF = 11 – 10 = 1 Hz，R = 0.5 Hz = dF/2 = 0.5 Hz，所以可以分辨。因為，滿足了條件：R ≤ dF/2。
觀察以此FFT設定，得到的「頻譜」，可以確實、明確地、分離出在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，有兩個峰值(peak)，中間在𝑭 = 10.5 Hz，是0。可以改善LOR= 200條，無法分辨、分離出兩個峰值(peak)的不足。
最後，也看一下圖片左下方圖示的另一個例子，當，𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，其合成信號的「時間波形」特徵，也有Beating「拍振/拍擊/重擊」現象。使用Fmax=200 Hz & LOR=
200條，卻是可以成功的分離出兩個峰值(peak)？
因為，dF = 12 – 10 = 2 Hz，R = Fmax / LOR = 200 / 200 = 1 Hz，所以，R
= 1
Hz= dF/2
= 1
Hz，這是滿足了條件：R ≤ dF/2。因此，可以有效的分離出兩個峰值(peak)。
綜合一下這個單元的討論，兩個Sine波合成Beating「拍振/拍擊/重擊」信號，如何設定FFT參數，取得正確的「頻譜」(spectrum)？總結如下：
1. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
2. 回顧了Beating「拍振/拍擊/重擊」的「時間波形」(time waveform)特徵，可以辨識Tb「拍振週期」(Beating period)以及Fb= 1/Tb「拍振頻率」(Beating frequency)。由「頻譜」可以辨識兩個相近頻率的dF頻率差。進而驗證Fb= dF。可以透過「時間波形」以及「頻譜」特徵，進行交叉比對、確認是否有Beating的現象！
3. 針對有Beating現象的「時間波形」，在「頻譜」，要有效的分離出兩個峰值(peak)，FFT參數設定，必需：R ≤ dF/2。其中，R = Fmax / LOR。
4. 兩個對比案例，相同的Beating「時間波形」，𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，dF =
11 – 10 = 1
Hz。(1)當FFT參數：Fmax=200 Hz & LOR= 200條，R
= 1
Hz > dF/2
= 0.5
Hz，所以無法分辨。(2)當FFT參數：Fmax=200 Hz & LOR=400條，R
= 0.5 Hz = dF/2 = 0.5 Hz，所以可以分辨。因為，滿足了條件：R ≤ dF/2。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.12.30
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