這個單元要來探討的主題是：兩個Sine波合成信號，「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同特徵？– 不同、但是相近的「頻率」(frequency)。
因為要從「時間波形」(time waveform)，透過FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得合成信號的「頻譜」(spectrum)。首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。
4. Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元討論的是無「洩漏」(Leakage)的Sine波，所以，選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。因為是一次性的信號，所以，取一次平均，就是沒有平均處理(Averaging)。
再複習一下，一個Sine波信號，其數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝑭𝟎 𝒕+𝝓)。其中，𝑨是Sine波的「振幅」(amplitude)，𝑭𝟎是Sine波的「頻率」(frequency)，𝝓是Sine波的「相位角」(phase angle)。
須注意，方程式中「相位角」的單位是rad弳度(radian)，不過通常會以degree角度(angle)表示。另外，此Sine波的方程式，若是取任意的𝝓「相位角」，此信號可以統稱為「簡諧波」(harmonic wave)。
觀察圖片左下方圖示，列舉三個不同頻率的Sine波信號、或稱「簡諧波」(harmonic wave)，都令：𝑨
= 1，𝝓=𝟎°，但是𝑭𝟎頻率不同，說明如下：
1. Sine波，無洩漏，𝑭𝟎= 10 Hz：為什麼是「無洩漏」(No Leakage)呢？因為，𝑭𝟎 / R =整數，可以在取樣的時間範圍T = 1 / R = 1 sec，取得完整的10個週期的信號，其「時間波形」最大、最小的振幅值為+1、-1，因為，𝑨
= 1。此信號的「頻譜」，在𝑭=
10 Hz，會有「振幅」(amplitude)是1。這就是單一頻率Sine波的「頻譜」特徵。
2. Sine波，無洩漏，𝑭𝟎= 11 Hz：在取樣的時間範圍T = 1 / R = 1 sec，取得完整的11個週期的信號，其「時間波形」最大、最小的振幅值為+1、-1，因為，𝑨
= 1。此信號的「頻譜」，在𝑭=
11 Hz，會有「振幅」(amplitude)是1。
3. Sine波，無洩漏，𝑭𝟎= 12 Hz：在取樣的時間範圍T = 1 / R = 1 sec，取得完整的12個週期的信號，其「時間波形」最大、最小的振幅值為+1、-1，因為，𝑨
= 1。此信號的「頻譜」，在𝑭=
12 Hz，會有「振幅」(amplitude)是1。
由上可知，單一「頻率」(frequency)的簡諧波(harmonic wave)：如果𝑨「振幅」(amplitude)相同，𝝓「相位角」(phase angle)相同，只是𝑭𝟎「頻率」(frequency)不同，其「頻譜」(spectrum)的「振幅」(amplitude)圖，都是在該信號的𝑭𝟎「頻率」點，呈現單一峰值(peak)，而且𝑨「振幅」相同。
這個單元要來探討，兩個「頻率」(frequency)不同、但是相近的Sine波合成信號，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同特徵？參閱圖片右邊上方的兩個圖示，說明如下：
1. 𝑭1 = 10 Hz, 𝑨1
= 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2 =
11 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=𝟎°：兩個「簡諧波」(harmonic wave)，𝑨「振幅」(amplitude)相同，𝝓「相位角」(phase angle)相同，只是𝑭𝟎「頻率」(frequency)不同。當𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 11 Hz，其合成信號的「時間波形」特徵，稱之為「拍振/拍擊/重擊」(beating)。對應的「頻譜」，沒有意外，很正確，分別在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，都出現振幅=1的峰值(peak)。但是，要注意的是，如果，不知道「時間波形」，僅觀察「頻譜」，將會誤以為只是單一峰值(peak)、單一頻率的「簡諧波」。因為，𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 11 Hz，兩個峰值(peak)相連在一起。
2. 𝑭1 = 10 Hz, 𝑨1
= 1 , 𝝓𝟏=𝟎°。 𝑭2 =
12 Hz, 𝑨2 = 1 , 𝝓𝟐=𝟎°：當𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，其合成信號的「時間波形」特徵，也有beating「拍振/拍擊/重擊」現象。稍後再深入討論beating的現象。對應的「頻譜」，沒有意外，很正確，分別在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 12 Hz，都出現振幅=1的峰值(peak)。但是，不同的是，在𝑭 = 11 Hz，振幅=0，所以，在𝑭 = 10 Hz，𝑭 = 12 Hz的峰值(peak)是分離的，很明確地取得了兩個不同「頻率」的「簡諧波」之特徵。這樣的「頻譜」特徵，會是有效的、可解讀的「頻譜」。
由以上討論，由於beating「拍振/拍擊/重擊」的現象，是由兩個不相等、但相近頻率的「簡諧波」所合成，在「頻譜」(spectrum)要有正確的解析，就需要能夠明確地、辨識出兩個頻率的峰值(peak)。如何有效的、正確的辨識，能分離出兩個相近頻率的峰值(peak)？我們再另闢單元討論。
在此，深入瞭解一下甚麼是beating「拍振/拍擊/重擊」？說明如下：
1. beating的現象：在「時間波形」(time waveform)出現如圖示的波形，就稱之為beating「拍振/拍擊/重擊」。
2. beating的原因：兩個Sine波，其頻率，相近，但不相等。例如：𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，兩者的頻率差=dF=2 Hz。
3. beating的頻率、beating的週期：由dF頻率差，可得到「拍振週期」(beating period)=Tb=1/dF =
1/2 = 0.5 sec。由Tb「拍振週期」可得到「拍振頻率」(beating frequency)=Fb = 1/Tb =
2 Hz= dF。
接下來，解析一下beating的「時間波形」現象，參閱圖片右下方的圖示，說明如下：
1. 原始的𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，單獨的Sine波信號：在某個區間，兩個信號會幾乎重疊，而在某個區間，兩個信號又幾乎反向。重疊就是相加的效應，而反向就是抵消相減的效應。
2. 兩個Sine波，𝑭1 = 10 Hz，𝑭2 = 12 Hz，合成信號：如圖示的綠色信號，就形成了beating的「時間波形」現象。圖示顯現的是兩個循環週期的beating的現象，長時間的觀察，就可以看到數個循環週期。
由於beating的效應，係來自兩個相近頻率的dF頻率差，也就是Fb=dF「拍振頻率」(beating
frequency)。而，beating的波動週期，是Tb=1/dF「拍振週期」(beating
period)，如果dF相對小，則Tb「拍振週期」就相對的大。
在實務上，就需要觀察足夠長的時間，才能夠監測到beating的現象。所以，常常會透過「時間波形」以及「頻譜」特徵，進行交叉比對、確認是否有beating的現象？如何觀察、確認呢？
1. 觀察取得：Tb「拍振週期」(beating period)。參閱圖示上的標註，分別為：Tb=1
sec，Tb=0.5 sec。
2. 計算取得：Fb= 1/Tb「拍振頻率」(beating frequency)。可以分別得到：Fb=
1 Hz，Fb= 2 Hz。
3. 取得「頻譜」特徵的兩個相近頻率的dF頻率差。由「頻譜」，可以分別得到：dF=
1 Hz，dF= 2 Hz。
4. 驗證Fb= dF：由「時間波形」得到的Fb=
1/Tb「拍振頻率」，和由「頻譜」得到的dF頻率差，是否相符？
以上的觀察、確認步驟，也可以由「頻譜」得到的dF頻率差，反推得到Fb= dF，則Tb= 1/Fb「拍振週期」，再觀察「時間波形」是否有符合Tb「拍振週期」的beating波動週期現象。
綜合這個單元的討論，有兩個「簡諧波」(harmonic wave)，其「頻率」(frequency)不同、但是相近，所合成的「時間波形」(time waveform)以及「頻譜」(spectrum)，有甚麼特徵？總結如下：
1. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
2. 觀察一個Sine波信號，其數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝑭𝟎 𝒕+𝝓)。其中，𝑨是Sine波的「振幅」(amplitude)，𝑭𝟎是Sine波的「頻率」(frequency)，𝝓是Sine波的「相位角」(phase angle)。以及，一個Sine波的「時間波形」和單一峰值(peak)的「頻譜」特徵。
3. 觀察兩個「頻率」(frequency)不同、但是相近的Sine波合成信號，其「頻譜」(spectrum)應該會有兩個獨立的峰值(peak)，需要能夠明確地、分離出、取得兩個不同「頻率」的「簡諧波」之特徵。
4. 解讀了beating「拍振/拍擊/重擊」的「時間波形」(time waveform)特徵，可以辨識Tb「拍振週期」(beating period)以及Fb= 1/Tb「拍振頻率」(beating
frequency)。由「頻譜」可以辨識兩個相近頻率的dF頻率差。進而驗證Fb= dF。可以透過「時間波形」以及「頻譜」特徵，進行交叉比對、確認是否有beating的現象！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.12.30
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