這個單元要來探討的主題是：純Sine波(pure sine wave)、有雜訊Sine波(sine wave with random noise)、扭曲Sine波(distorted sine wave)、截斷Sine波(clipped sine wave)的信號，他們的「頻譜」(spectrum)會有甚麼不同特徵？。特別要來介紹「諧頻」(Harmonics)的特徵。
首先，參閱圖片中間的系列圖示，呈現的是不同Sine波的「時間波形」(time waveform)，簡要說明如下：
1. 純Sine波(pure sine wave)：需要知道這個Sine波的頻率(frequency)以及其對應的振幅(amplitude/magnitude)。一般正常的「轉動機械」(rotary machinery) /「轉子系統」(rotor system)，最常見到的Sine波信號，就是其「轉速頻率」(rotating frequency)。
2. 有雜訊Sine波(sine wave with random noise)：實務量測到的Sine波，常會有隨機雜訊(random noise)。如圖示，在Sine波上，有些微的微小隨機波動信號。
3. 扭曲Sine波(distorted sine wave)：由於除了「轉速頻率」會有其他頻率效應的影響，會使得「轉速頻率」的純Sine波，呈現扭曲Sine波(distorted sine wave)的現象。
4. 截斷Sine波(clipped sine wave)：可能是來自不當的量測，或是機器的轉動受到某種因素的限制，而形成截斷Sine波(clipped sine wave)的現象。
本單元的重點，要來觀察以上這4種Sine波的「頻譜」(spectrum)特徵。當然就需要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)，本單元將探討4種Sine波的時間波形。純Sine波(pure sine wave)的頻率(frequency)是10 Hz，而其對應的振幅(amplitude/ magnitude)是1。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。圖片右邊的圖示，可以觀察到對應4種Sine波之「頻譜」。
4. Control控制：有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2)
窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。因為，純Sine波(pure sine wave)的頻率(frequency)是F=10 Hz，F / R =整數，所以，進行FFT分析，不會有洩漏(leakage)問題。
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)，因為，沒有洩漏(leakage)問題，就可以選擇”Box”「窗函數」，就是「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，定義如下：
1. 線性平均(Linear averaging)。
2. 平均次數(Number of Averaged)：Navg = 5次。
3. 平均重疊率(Overlap % for averaging)：Overlap
= 50 %。
採用以上的Control variables控制變數，進行FFT分析，可以取得對應4種Sine波之「頻譜」，如圖片右邊的圖示，討論如下：
1. 純Sine波(pure sine wave)：其「頻譜」，分別有Linear和Logarithmic兩個圖示。只有在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為1。其他頻率的振幅皆為0，實際上，若由Logarithmic圖示觀察，其數值為負的十幾次方，這是數值分析上的效應，實際上，就是0。
2. 有雜訊Sine波(sine wave with random noise)：其「頻譜」，也是只有在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為1.00329，此振幅值，比純Sine波略大一些，因為來自隨機雜訊(random noise)的影響。更可以從Linear和Logarithmic兩個圖示，可以看出，在其他頻率時，都有微小的振幅值，這個現象稱之為「基底雜訊」(noise floor)，主要是此隨機雜訊(random noise)是寬頻帶的隨機雜訊。
3. 扭曲Sine波(distorted sine wave)：其「頻譜」，在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為1.05467。同時，在20、30、…等頻率，剛好是F=10 Hz的倍數，都可以觀察到峰值(peaks)，這種類型的頻譜特徵，稱之為「簡諧倍頻」(Harmonics)，常簡稱為「諧頻」。會有這種Harmonics「諧頻」現象的頻譜，主要是因為，時間波形若是接近Sine波，但又不是Sine波，就會有此現象。
4. 截斷Sine波(clipped sine wave)：其「頻譜」，也和扭曲Sine波(distorted sine wave)的F=10 Hz的Harmonics「諧頻」現象，很相似。不過，在F=10 Hz有峰值，且振幅(magnitude)為0.857621，略小於1。這是因為，截斷波(clipped wave)的效應，此Sine波的振幅減小了。又，會出現Harmonics「諧頻」現象，除了解釋為接近Sine波，但又不是Sine波。更具體的物理意義是：這個截斷Sine波(clipped sine wave)是週期的(periodic)、重複的(repeated)、連續的(continuous)信號。其數學意義是：傅立葉級數(Fourier series)的概念，所以，就會有「諧頻」、「簡諧倍頻」(Harmonics)的頻譜特徵。
其中的扭曲Sine波(distorted sine wave)以及截斷Sine波(clipped sine wave)，呈現接近sine波，但，又不是純Sine波(pure sine wave)，所以，從「頻譜」(spectrum)圖，會觀察到的「諧頻」(Harmonics)現象。
綜合一下這個單元的討論，重點說明如下：
1. 列舉了4種類型sine波的「時間波形」(time waveform)，包括：(1) 純Sine波(pure sine wave)、(2) 有雜訊Sine波(sine wave with random noise)、(3) 扭曲Sine波(distorted sine wave)、(4) 截斷Sine波(clipped sine wave)。
2. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
3. 針對Control variables控制變數，尤其重要，設定的參數，包括：(1) FFT 參數(parameters)：Fmax = 200 Hz，以及LOR = 200 條。(2) 窗函數形式(Window Type)：選擇”Box”「窗函數」，就是「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。(3) 平均處理(Averaging) 定義：線性平均(Linear averaging)、Navg = 5次、Overlap = 50 %。
4. 透過FFT分析，取得了4種Sine波的「時間波形」(time waveform)，所對應之「頻譜」(spectrum)。在(1) 純Sine波以及(2) 有雜訊Sine波，會有單一頻率的峰值(peak)。而，(2)
有雜訊Sine波，同時會有「基底雜訊」(noise floor)的現象。對於 (3) 扭曲Sine波以及(4) 截斷Sine波，則會有所謂「諧頻」、「簡諧倍頻」(Harmonics)的頻譜特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.10.23
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