《振動噪音科普專欄》FFT系列：頻率解析條數(LOR)對量測信號之影響？

 

這個單元的主題：FFT系列：「頻率解析條數」(lines of resolution, LOR)對量測信號之影響？其中，FFT是fast Fourier transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。

 

在先前單元#30：【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】，以及#177：【FFT系列：取樣頻率(sampling frequency)對量測信號之影響？】，已經說明常用的「FFT分析參數」之設定有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。其他5個「FFT分析參數」則有關係式可以推算得知。

 

本單元，將固定「有效頻率」，fnyq = Fmax，並探討改變不同的「頻率解析條數」Nf = LOR，會對量測的信號有怎樣的影響。

 

參閱圖示，顯示的是一個cosine「餘弦波」：x(t) = X cos (2πft)，以「振幅」X=1，「頻率」f=1 Hz，當作所量測的信號，可以觀察此「餘弦波」的時間波形特徵。所設定的「FFT分析參數」如下：

 

1.      「有效頻率」(effective frequency)，fnyq：也稱為「奈氏頻率」(Nyquist frequency)，是「取樣頻率」(sampling frequency)fs的一半，fnyq = fs/2，也是最高的解析頻率(maximum frequency)，也可標示為Fmax。在此，令fnyq = Fmax = 10 Hz。

2.      「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf：也可以標示為LOR。在此，令Nf = LOR = 100 lines (條)。

 

由以上兩個「FFT分析參數」設定，可以求得其他5個「FFT分析參數」，其關係式以及計算如下：

 

3.      「取樣頻率」(sampling frequency)，fs = fnyq*2 = 10 X 2 = 20 Hz。

4.      「總取樣點數」(number of samples)，Nt = Nf*2 = 100 X 2 = 200 samples。

5.      「時間間距」(time interval)，Δt = 1/fs = 1/20 = 0.05 sec。

6.      「頻率解析度」(frequency resolution)，Δf = fnyq / Nf = 10/100 = 0.1 Hz。

7.      「時間長度」(time frame)，T = 1/Δf = Nf/ fnyq = 100/10 = 10 sec。

 

參閱圖示，整理所有7個「FFT分析參數」成表格，有興趣讀者，可以參考以上關係式，自行以EXCEL建立試算表，可以快速取得7個「FFT分析參數」。並學習變化各參數後，對其他參數之影響。

 

在本單元，令「有效頻率」fnyq = Fmax = 10 Hz為固定值，並分別設定「頻率解析條數」Nf = LOR = 10 lines、20 lines、400 lines、50 lines、及100 lines，可觀察到此「餘弦波」的取樣情形，主要的差異變化，說明如下：

 

1.      當「頻率解析條數」Nf = LOR增大，「取樣點數」Nt也增大，有兩倍的關係。也就是「頻率解析條數」越多，「取樣點數」也越多。

2.      當「頻率解析條數」Nf = LOR增大，「頻率解析度」Δf 會越小。對「頻譜分析」來說，一般的需求是要能有效的解析信號的頻率，所以，「頻率解析度」Δf 通常是越小越好。不過，越小的「頻率解析度」Δf是有代價的，「時間長度」T會增大。

3.      當「頻率解析條數」Nf = LOR增大，「時間長度」T會增大，所以，「取樣」的時間會比較久，所占用的數據量多，所需要儲存空間也較大，在後續的「頻譜分析」後處理時間會較長。不過，以現今的電腦及周邊設備似乎都沒有問題，在此建議，以適當的符合需求為原則，有關此點，我們再另闢單元討論。

 

綜合本單元的討論，重點如下：

 

1.      典型的「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，實務上常用的「FFT分析參數」之設定是：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。

2.      由設定的「FFT分析參數」：Fmax及LOR，可以推算其他5個「FFT分析參數」。

3.      本單元，令「有效頻率」fnyq = Fmax為固定值時，改變「頻率解析條數」Nf = LOR，探討「FFT分析參數」的變化，以及取樣後的「餘弦波」波形差異。

4.      令「有效頻率」fnyq = Fmax為固定值時，增大「頻率解析條數」Nf = LOR，會使得「取樣點數」Nt也增大，有兩倍的關係。

5.      令「有效頻率」fnyq = Fmax為固定值時，增大「頻率解析條數」Nf = LOR，會使得「頻率解析度」Δf 會越小。

6.      令「有效頻率」fnyq = Fmax為固定值時，增大「頻率解析條數」Nf = LOR，會使得「時間長度」T會增大。

 

在圖示的案例，是「振幅」X=1，「頻率」f=1 Hz的cosine「餘弦波」：x(t) = X cos (2πft)，可以觀察：當增大「頻率解析條數」Nf = LOR，會使得「時間長度」T會增大，取樣後的「餘弦波」波形，可以觀察到更多個完整週期的「餘弦波」之波動情形。

 

這個單元，探討實務上「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，常用的「FFT分析參數」之設定來做說明。主要的「FFT分析參數」有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。其他5個「FFT分析參數」則可依照提供的關係式推算得知。

 

使用「頻譜分析儀」時，必須慎重選用適當的「FFT分析參數」設定，才能有好的「頻譜分析」品質。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2020.08.25

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圖1、FFT系列：頻率解析條數(LOR)對量測信號之影響？