這個單元的主題：FFT系列：取樣頻率(sampling frequency)對量測信號之影響？其中，FFT是fast Fourier
transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral
analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。
「取樣頻率」則是在進行FFT分析時，重要的分析參數之一，本單元將探討「取樣頻率」對量測信號的影響。可參考#30：【甚麼是取樣頻率(sampling
frequency)？】。
在本單元，以一個cosine「餘弦波」：x(t) = X cos (2πft)，以「振幅」X=1，「頻率」f=1 Hz，當作所量測的信號。參閱圖1，可以觀察此「餘弦波」的時間波形特徵。參閱圖2，FFT「快速傅立業轉換」的分析參數，包括：
(1)
Sampling frequency 取樣頻率
(2)
Nyquist frequency 有效頻率
(3)
Time interval 時間間距
(4)
Time frame 總取樣時間
(5)
Frequency resolution 頻率解析度
(6)
Number of data points in time 總時間點數
(7)
Number of data points in
frequency 頻率條數
決定以上任意兩個「FFT分析參數」，就可以推算所有其他的「FFT分析參數」。
這個單元，以一個GUI(graphic user interface)人機介面分析程式，展示「餘弦波」(cosine wave)在不同的「有效頻率」之取樣/採樣(sampling)情形，以及與其他「FFT分析參數」的關係。由影片可以得知：改變了「有效頻率」，其他的相關參數也會隨著改變，在此就探討其間的關係。
常見的「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，主要的「FFT分析參數」設定有兩個：
1. 「有效頻率」(effective frequency)，fnyq：也稱為「奈氏頻率」(Nyquist frequency)，也是最高的解析頻率(maximum frequency)，也可標示為Fmax。
2. 「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf：也可以標示為LOR。
如上說明，「FFT分析參數」有7個，決定其中任意兩個參數，可以求得其他5個「FFT分析參數」，其關係式如下：
3. 「取樣頻率」(sampling frequency)，fs = fnyq*2。
4. 「總取樣點數」(number of samples)，Nt = Nf*2。
5. 「時間間距」(time interval)，Δt = 1/fs。
6. 「頻率解析度」(frequency resolution)，Δf = fnyq / Nf。
7. 「時間長度」(time frame)，T = 1/Δf = Nf/ fnyq。
參閱圖1，令「頻率解析條數」Nf = LOR = 100 lines為固定值，並分別設定「有效頻率」fnyq = Fmax = 10 Hz、20 Hz、50 Hz、及100 Hz，可觀察到此餘弦波的取樣情形，主要的差異變化，說明如下：
1. 當「有效頻率」fnyq = Fmax增大，「取樣頻率」fs也增大，有兩倍的關係。
2. 當「有效頻率」fnyq = Fmax增大，使得「取樣頻率」fs增大，所以，「時間間距」Δt會減小，以取樣品質而言，「時間間距」Δt越小越好。
3. 當「有效頻率」fnyq = Fmax增大，「頻率解析度」Δf 會增大。對「頻譜分析」來說，一般的需求是要能有效的解析信號的頻率，所以，「頻率解析度」Δf 通常是越小越好。在此狀況，「頻率解析度」Δf增大，如果不符合需要，就要適當的增大「頻率解析條數」Nf = LOR。
4. 當「有效頻率」fnyq = Fmax增大，「時間長度」T會減小，也就是會加快「取樣」的速度，以量測信號的角度來說，當然是「時間長度」T越小越好，不過先決條件是「頻率解析度」Δf能夠符合需求，「時間間距」Δt能夠有良好的取樣品質。
5. 由於「頻率解析條數」Nf = LOR固定不變，所以，「總取樣點數」Nt，也是不變，不過，因為「時間長度」T會減小，「時間間距」Δt = T/Nt會減小，使得有較好的取樣品質。
這個單元，再次探討「取樣頻率」對量測信號的影響，不過以實務上「頻譜分析儀」(FFT
Analyzer)，常用的「FFT分析參數」之設定來做說明。
主要的「FFT分析參數」有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。其他5個「FFT分析參數」則可依照提供的關係式推算得知。
使用「頻譜分析儀」時，必須慎重選用適當的「FFT分析參數」設定，才能有好的「頻譜分析」品質。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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| 圖1、FFT系列：取樣頻率(sampling frequency)對量測信號之影響？ |
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| 圖2、甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？名詞解釋 |
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