這個單元要來探討的主題是：結構的「FRF」和「振動模態」(vibration mode)有甚麼關聯性嗎？
要探討這個主題，本單元就以一個高爾夫球桿來做說明，要取得高爾夫球桿的「振動模態」(vibration mode)，可以透過EMA「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)，利用衝擊槌(impact hammer)敲擊結構，量測衝擊力的時間波形，同時，以加速度規(accelerometer)量測結構的振動響應。
首先，就破題來看，甚麼是「FRF」？英文全名：Frequency Response Function，所以簡稱FRF「頻率響應函數」，其定義：𝑭𝑹𝑭=𝑶𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕/𝑰𝒏𝒑𝒖𝒕。也就是輸出響應的參數，除以輸入激振的參數。
如果，以衝擊槌和加速度規，進行EMA「實驗模態分析」，可以得到：𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)
= 𝑨𝒊 (𝒇)
/ 𝑭𝒋 (𝒇)，典型的單位是：(g/N)。𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的物理意義是：𝑨𝒊 (𝒇)加速度頻譜，除以𝑭𝒋 (𝒇)外力頻譜。其中，𝒊和𝒋，分別都代表了加速度規和衝擊力的位置與方向的資訊。
參閱圖片的右下方圖示，顯示的是𝒊=23和𝒋=23的𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)。因為，是複數(complex number)，所以圖示是其振幅值(amplitude) |𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|。紅色的線條，就是來自EMA的實際量測結果。
接著，甚麼是「振動模態」？就是Vibration
modes「振動模態」，完整的名詞是：Natural modes of vibration 「振動自然模態」。高爾夫球桿就是一個結構，每個結構都會有「振動模態」(vibration mode)。每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」(modal parameters)。包括：
(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural
frequencies)，慣用單位：Hz。
(2) 𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)，慣用單位：m。
(3) 𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal damping
ratios)，無因次參數，慣用數值單位，常以%表示。
參閱圖片右邊標示EMA的系列圖示，顯示的是這個高爾夫球桿的前7個「振動模態」，例如，第1個「振動模態」：𝒇1=64.9Hz、𝝃1 =1.391%、𝝓1顯示出有兩個不動點，稱為「節點」(nodal
point)。越高的「振動模態」，其𝒇𝒓「自然頻率」越大，而𝝓𝒓「模態振型」也越複雜。
再來的思考，如何求得結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)和「振動模態」(vibration mode)呢？可以有實驗與分析的方法：
1. EMA「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)。也可以稱為「模態試驗」(Modal Testing)。
2. FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)。
如何進行EMA「實驗模態分析」呢？可以歸納為兩個步驟：
1. 量測「FRF」「頻率響應函數」：採用衝擊槌和加速度規，經過訊號處理可以得到：𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)
= 𝑮𝒂𝒊 𝒂𝒊 (𝒇) / 𝑮𝒂𝒊 𝒇𝒋
(𝒇)。其中，變數符號𝑮(𝒇)，代表的是「功率頻譜密度函數」(Power Spectral Density function, PSD)。𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的物理意義，仍是：𝑨𝒊 (𝒇)加速度頻譜，除以𝑭𝒋 (𝒇)外力頻譜。
2. 進行「曲線嵌合」(curve fitting)：由前一步驟量測得到的𝑯𝒊𝒋 (𝒇)「頻率響應函數」，透過「曲線嵌合」可以得到量測頻帶範圍內，所有「振動模態」的三個「模態參數」(modal parameters)。包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
在量測一個結構的「FRF」「頻率響應函數」，可以有兩種方式：
1. 移槌定規(roving hammer, fixed accelerometer)：𝑯𝒊𝒋 (𝒇),
𝒋=𝟏,𝟐,…,𝒎。
2. 移規定槌(roving accelerometer, fixed hammer)：𝑯𝒊𝒋 (𝒇),
𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒎。
概念上，需要量到一系列的𝑯𝒊𝒋 (𝒇)，才能夠透過「曲線嵌合」(curve fitting)，取得「振動模態」的三個「模態參數」(modal parameters)。包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。因為，結構的「FRF」和「振動模態」(vibration mode)確實有明確的對應關係，也是本單位要討論的重點。
其次，如果採用分析的FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，也會有兩個階段的分析：
1. TMA：「理論模態分析」(Theoretical Modal Analysis)：一般來說，通常採用的是「正交模態分析」(normal mode modal analysis)，所以只可以求得：𝒇𝒓「自然頻率」及𝝓𝒓「模態振型」。參閱圖片右邊標示FEA的系列圖示，顯示的是這個高爾夫球桿，由分析得到的前7個「振動模態」，例如，第1個「振動模態」：𝒇1=66.1Hz、𝝓1顯示出有兩個不動點，和EMA的結果很相近，代表此分析模型，很接近於實體結構的振動特性，可以是等效於實體結構的分析模型，可進行後續的其他分析。
2. HRA：「簡諧響應分析」(Harmonic Response Analysis)：完成前述的TMA，可繼續HRA。一般可以直接取得，𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =
𝑿𝒊(𝒇)
/ 𝑭𝒋(𝒇)，也就是位移除以外力。因為，要與實驗的𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)作比較，需要經過轉換才可以得到：𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)
= 𝑨𝒊 (𝒇)
/ 𝑭𝒋 (𝒇)。參閱圖片的右下方圖示，顯示的是𝒊=23和𝒋=23的𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)。水藍色、有三角框的曲線是來自FEA的分析結果，可以觀察和EMA的𝑭𝑹𝑭比較，相當吻合。
到這裡，知道了甚麼是「FRF」？甚麼是「振動模態」？也知道如何求得結構的「FRF」「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)和「振動模態」(vibration mode)呢？可以有實驗與分析的兩種方法。
回到本單元的主題：結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)和「振動模態」(vibration mode)有甚麼關聯性嗎？參閱圖片右邊的7個紅色箭頭指出的位置，點出了兩者之間的關聯性，說明如下：
1. 在𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖(amplitude plot) |𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|：出現峰值(peaks)，對應的頻率值，就是𝒇𝒓「自然頻率」。
2. 在|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|顯示的頻帶範圍，本案例是：(0, 2500) Hz，有7個峰值(peaks)，可以推論有7個「振動模態」(vibration mode)。
3. 每一個「振動模態」，都會有三個「模態參數」(modal
parameters)。包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
4. 結構的「模態參數」，由EMA可以得到𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。由FEA只可以求得：𝒇𝒓、𝝓𝒓。
綜合一下這個單元的討論：結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)和「振動模態」(vibration mode)有甚麼關聯性嗎？彙整如下：
1. 甚麼是「FRF」？英文全名：Frequency Response Function，所以簡稱FRF「頻率響應函數」，其定義：𝑭𝑹𝑭=𝑶𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕/𝑰𝒏𝒑𝒖𝒕。以衝擊槌和加速度規，進行EMA「實驗模態分析」，可以得到：𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)
= 𝑨𝒊 (𝒇)
/ 𝑭𝒋 (𝒇)，典型的單位是：(g/N)。
2. 甚麼是「振動模態」？就是Vibration
modes「振動模態」，完整的名詞是：Natural modes of vibration 「振動自然模態」。高爾夫球桿就是一個結構，每個結構都會有「振動模態」(vibration mode)。每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」(modal parameters)。包括：(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural frequencies)，(2) 𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)，(3) 𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal damping ratios)。
3. 如何求得結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)和「振動模態」(vibration mode)呢？可以有實驗與分析的方法：(1) EMA「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)。也可以稱為「模態試驗」(Modal Testing)。(2) FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)。
4. 結構的FRF「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)和「振動模態」(vibration mode)有甚麼關聯性嗎？參閱圖片右邊的7個紅色箭頭指出的位置，點出了兩者之間的關聯性。此綜合的圖示與呈現方式，可以應用到其他結構，能夠清楚地表示、呈現出 𝑭𝑹𝑭=𝑯𝒊𝒋 (𝒇)，與「振動模態」(vibration mode) 𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓，之間的關係。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2025.08.11
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