《振動噪音科普專欄》有洩漏Leakage信號，其頻譜會有甚麼特徵？

 

這個單元要來探討的主題是：有「洩漏」(Leakage)信號，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？

 

「洩漏」(Leakage)這個名詞，是在信號分析中，常見到的問題。要討論「洩漏」(Leakage)之前，先來回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。

3.      Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。

4.      Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 200 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 200 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

在此設定，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。本單元將以此設定，來探討信號的「洩漏」(leakage)問題。

 

同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。典型的窗函數，如：(1) ”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，(2) ”Hanning”=「漢寧窗函數」，(3) ”Flat top”=「平頂窗函數」，(4) ”Hamming”=「漢明窗函數」。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，定義如下：

 

1.      線性平均(Linear averaging)。

2.      平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。因為是一次性的信號，所以，取一次平均，就是沒有平均處理(Averaging)。

3.      平均重疊率(Overlap % for averaging)：Overlap = 0 %。因為，沒有平均處理(Averaging)，所以，為0 %。

 

這個單元要來看有「洩漏」(Leakage)信號，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？以單一頻率F0的正弦波(sine wave)來觀察「洩漏」(Leakage)的「時間波形」(time waveform)與「頻譜」(spectrum)特徵。

 

本單元將設定：Fmax = 200 Hz，LOR = 200 條。因此，R = Fmax / LOR = 1 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。又，選擇”Box”「窗函數」，就是「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。又，Navg = 1次。因為是一次性的信號，所以，取一次平均，就是沒有平均處理(Averaging)。

 

參閱圖片右上方圖示，分別呈現：

 

1.      「無洩漏」(No Leakage)信號，F0 =10.0 Hz：在「時間波形」(time waveform)，量測時間T = 1/R = 1 sec，擷取到1秒，有10個完整的sine波週期，其振幅值(amplitude)是1。得到的「頻譜」(spectrum)，在F=10 Hz，有一峰值(peak)，其振幅值(amplitude)是1。在F=10 Hz兩側以及其他的頻率點，均為零。此「頻譜」完全正確的對應「時間波形」的特徵。

2.      「有洩漏」(With Leakage)信號，F0 =10.5 Hz：在「時間波形」(time waveform)，量測時間T = 1/R = 1 sec，擷取到1秒，只有9.5個的sine波週期，其振幅值(amplitude)是1。雖然，起始點與結束點的直，都為零，但是，最後末端的信號，沒有擷取到完整的sine波週期。得到的「頻譜」(spectrum)，在F=10 Hz、F=11 Hz，分別有峰值(peak)，其振幅值(amplitude)不是1，而是0.652063、0.621899，兩側以及鄰近的頻率點，不為零。此「頻譜」並沒有正確的解析出單一頻率sine波「時間波形」的「頻譜」特徵。這種情形，就是所謂的「洩漏」(Leakage)的現象。

 

在「有洩漏」(With Leakage)信號，F0 =10.5 Hz，這種有「洩漏」(Leakage)的「頻譜」特徵，以【3K】心法，來說明：

 

1.      Know what? 現象：由於取樣的「時間波形」，不是完整的週期。信號頻率F0，不是FFT的頻譜解析頻率R = 1 Hz。「頻譜」的峰值，不正確，而且，F0鄰近頻率，有振幅值。無法取得正確的頻率(frequency)和振幅值(amplitude)，進而影響實務上判斷信號的頻率和振幅值。

2.      Know why? 原因：F0 / R 不是整數(integer)。其中，R = 頻率解析度(Resolution)，R = Fmax / LOR = 200/200 = 1 Hz。

3.      Know how? 對策：實務上，一個信號，任何頻率都有，不可能F0/R=整數，所以，「洩漏」(Leakage)一定發生，必須進行窗函數處理(windowing)。有關windowing窗函數處理，再另闢單元討論。

 

再觀察圖片右邊下方兩個圖示，分別是：F0 = 9.5, 9.75, 10.0 Hz，以及F0 = 10.0, 10.25, 10.5 Hz，所得到的「頻譜」，現象觀察討論如下：

 

1.      當F0 = 10.0 Hz：因為：F0 / R = 10.0 / 1 = 10，是整數(integer)。擷取到的「時間波形」會有完整的sine波週期，所以，是「無洩漏」(No Leakage)，因此，「頻譜」完全正確的對應「時間波形」的特徵。在F=10 Hz，有一峰值(peak)，其振幅值(amplitude)是1。在F=10 Hz兩側以及其他的頻率點，均為零。

2.      當F0 = 9.5 Hz：因為：F0 / R = 9.5 / 1 = 9.5，不是整數(integer)。擷取到的「時間波形」不會有完整的sine波週期，所以，是「有洩漏」(With Leakage)，因此，「頻譜」在F=9 Hz、F=10 Hz，分別有峰值(peak)，其振幅值(amplitude)不是1，而大約是0.64，在F=9 Hz、F=10 Hz兩側以及鄰近的頻率點，不為零。此「頻譜」特徵，完全不是單一sine波應有的特徵。

3.      當F0 = 9.75 Hz：因為：F0 / R = 9.75 / 1 = 9.75，也不是整數(integer)。擷取到的「時間波形」不會有完整的sine波週期，所以，是「有洩漏」(With Leakage)，因此，「頻譜」在F=10 Hz，分別有峰值(peak)，其振幅值(amplitude)不是1，而大約是0.90，在F=10 Hz兩側以及鄰近的頻率點，不為零。此「頻譜」特徵，完全不是單一sine波應有的特徵。

4.      當F0 = 10.25 Hz：和F0 = 9.75 Hz有相似的現象，只是，F0 = 10.25 Hz大於頻率解析點F = 10Hz，所以，在F=10 Hz兩側以及鄰近的頻率點，不為零，「洩漏」(Leakage)也靠向高頻率點。

5.      當F0 = 10.5 Hz：和F0 = 9.5 Hz有相似的現象，只是，F0 = 10.5 Hz大於頻率解析點F = 10Hz，所以，「頻譜」會在F=10 Hz、F=11 Hz，分別有峰值(peak)，其振幅值(amplitude)不是1，而大約是0.64，在F=10 Hz、F=11 Hz兩側以及鄰近的頻率點，不為零。

 

由以上討論可知：

 

1.      如果信號頻率F0，不在解析頻率上，在此R = 1 Hz，進行FFT得到的「頻譜」，就會「有洩漏」(With Leakage)的現象。除了振幅值不正確外，在頻率解析點的兩側以及鄰近的頻率點，不為零。此現象就稱為「洩漏」(Leakage)。在實務上，會誤判是一個振動模態(vibration mode)的響應，而不是單一頻率sine波。

2.      如果，F0 = 9.5 Hz或F0 = 10.5 Hz時，振幅解析最差，只有大約0.6左右。

3.      當F0比較靠近解析頻率點，例如：F0 = 9.75 Hz或F0 = 10.25 Hz時，振幅解析稍好一些，大約0.9，但是，正確的振幅值應是1，仍有差異。

4.      如果信號頻率F0，剛好在解析頻率上，也就是F0 / R是整數(integer)。「頻譜」會完全正確的對應「時間波形」的特徵，這就是「無洩漏」(No Leakage)。

5.      又，實務上，一個信號，任何頻率都有，不可能F0/R=整數，所以，「洩漏」(Leakage)一定發生，必須進行窗函數處理(windowing)。有關windowing窗函數處理，再另闢單元討論。

 

綜合一下這個單元的討論，有「洩漏」(Leakage)信號，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？重點說明如下：

 

1.      複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。

2.      針對Control variables控制變數，尤其重要，設定的參數，包括：(1) FFT 參數(parameters)：Fmax = 200 Hz，以及LOR = 200 條。(2) 窗函數形式(Window Type)：選擇”Box”「窗函數」，就是「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。(3) 平均處理(Averaging) 定義：線性平均(Linear averaging)、Navg = 1次、Overlap = 0 %。

3.      探討了「無洩漏」(No Leakage)信號，F0 =10.0 Hz：因為，F0/R=整數，所以，得到的「頻譜」完全正確的對應「時間波形」的特徵。

4.      探討了「有洩漏」(With Leakage)信號：也觀察到不同信號頻率的「洩漏」(Leakage)程度，對取得「頻譜」的影響。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2025.12.16

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