《振動噪音科普專欄》SDOF簡諧激振FRF系列(6):彈簧常數增大或減小,對頻率響應函數(FRF)有甚麼影響?

這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的6,要來探討的主題是:彈簧常數(spring constant)增大或減小,對「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響?

 

首先,快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是實際結構的示意圖,一個質塊,懸吊在一個彈簧下面,彈簧的另一端是固定邊界,當質塊受到外力作用,質塊會有上下振盪的現象。

 

為了分析這個質塊-彈簧的實際結構(real structure),建構此系統數學模型(mathematical model),如示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) X0及「初始速度(initial velocity) V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表位移速度加速度。】

 

接著,定義系統的「輸入參數」,假設系統受到了簡諧外力」激振,為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),其中,𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。

 

當這個正弦波的簡諧外力」,作用在此SDOF單自由度系統」,由先前單元:#208,【SDOF簡諧激振系列(2):為甚麼簡諧激振,會有簡諧響應?】,質塊的位移響應𝒙(𝒕),可以區別出,有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

 

其中,有興趣的是「穩態位移響應」,也是簡諧響應」,可以寫出位移響應方程式:𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓),其中,

 

1.      𝑿:是「穩態位移響應」的「位移振幅」。

2.      𝒇:是「穩態位移響應」的「響應頻率」,此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。

3.      𝝓是「穩態位移響應」的「相位角(phase angle),是「位移𝒙(𝒕)和「外力𝒇(𝒕)的「相位角」差。

 

特別有興趣的是「位移振幅𝑿 相位角𝝓。為了有效率的全盤了解穩態位移響應」的特性,所以,定義了頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)𝑯(𝒇)

 

1.      𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。

2.      𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)

3.      𝑯(𝒇) =穩態位移振幅/外力振幅

 

這樣,可以快速知道𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)的關係。又,因為不同的激振頻率𝒇,會有不同的穩態位移振幅𝑿,所以,分別以𝑿(𝒇)𝑭(𝒇)變數符號表示之。

 

針對「單自由度系統」之 FRF𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)],會和系統參數」:mck相關,也會隨著不同的「激振頻率𝒇,而會有不同的𝑯(𝒇)

 

首先,由FRF定義:𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇),可以推導出來,𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇) 𝑯(𝒇)。也就是說,如果知道系統的mck,就可以求得頻率響應函數𝑯(𝒇),當已知簡諧外力」的「外力振幅𝑭,以及其激振頻率𝒇,就可以透過上面的方程式,推算出「穩態位移響應𝑿(𝒇),包括:位移振幅𝑿相位角𝝓

 

這個單元要來探討:彈簧常數(spring constant)增大或減小,對「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響?

 

在此,列舉的實際數值案例,令「系統參數」:m = 1 (kg)c = 1 (N/ m/s)k = 19.73, 39.47, 78.95 (N/m),也就是mc固定,變動不同的k = 19.73, 39.47, 78.95 (N/m)

 

由「系統參數」:mck,可以推算得到「模態參數」:自然頻率𝒇𝒏 = 0.707, 1, 1.414 (Hz)阻尼比𝝃 = 0.1125, 0.0796, 0.0562。因為,0 < 𝝃 < 1,所以都是次阻尼狀態。可以知道:變動不同的m = 0.5, 1, 2 (kg),「模態參數」的變化特徵:

 

1.      k增大,𝒇𝒏增大。因為:自然頻率」和「彈簧常數」的倒數開根號成正比。

2.      k增大,𝝃減小。因為:阻尼比」和「彈簧常數」的倒數開根號成反比。

 

接著,假設簡諧外力」激振:𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕),其中,簡諧外力振幅𝑭 =1 (N);「簡諧外力」的「激振頻率𝒇=0~5 (Hz)

 

將已知的系統參數」:mck,帶入「單自由度系統」之 FRF方程式,並畫出𝑯(𝒇)5種圖示,包括:(1)振幅(amplitude)(2)相位角(phase angle)(3)實數部(real)(4)虛數部(imaginary)、以及(5)奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極坐標圖(polar plot)

 

以下就針對𝑯(𝒇)5種圖示,在固定mc,而變動不同的k = 19.73, 39.47, 78.95 (N/m)時,來觀察有甚麼特徵與差異:

 

1.      振幅(amplitude)FRF曲線的峰值(peak),有最大的位移響應,對應的頻率就是「自然頻率𝒇𝒏。當k增大,𝒇𝒏增大,所以峰值」就向右偏移。實務上,因為「阻尼比𝝃都很小,出現峰值」的頻率點,參閱圖示的方程式,可知,會是𝒇𝒇𝒏。另外,在峰值」頻率的振幅值,可參閱圖示的方程式,可知:k增大,其振幅值會越小。在此,也可觀察:因為,k增大,所以,峰值」頻率的振幅值,也減小。另外,一個重要特徵,當𝒇=0時,𝑯(0) =1/k,在此,因為k值不同,所以,𝑯(0)也會不同。

2.      相位角(phase angle):有自然頻率𝒇𝒏的頻率附近,會有𝝓 =180°相位角」變化。在𝒇=𝒇𝒏時,𝝓 =90°。又,𝒇<𝒇𝒏時,𝝓≈0°,是同相(in phase)。在 𝒇>𝒇𝒏時,𝝓≈180°,是反相(out-of-phase)

3.      實數部(real)自然頻率𝒇𝒏會出現在,通過0」的頻率。參閱圖示中的方程式,可以知道:因為,k增大,所以,峰值」頻率所對應的振幅值減小。

4.      虛數部(imaginary)自然頻率𝒇𝒏會出現在,有最大峰值」的頻率。參閱圖示中的方程式,可以知道:因為,k增大,所以,峰值」頻率所對應的振幅值減小。

5.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極坐標圖(polar plot):會形成一個「圓圈」,在「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。因為,k增大,所以,峰值」頻率所對應的「虛數部」振幅值減小,因此,「圓圈」會有較小的直徑。有一個模態,就會形成一個「圓圈」,所以,在多自由度系統時,FRF的「奈氏圖」就會形成多個「圓圈」。

 

綜合一下這個單元的討論重點:彈簧常數(spring constant)增大或減小,對「頻率響應函數(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響?統整如下:

 

1.      令「系統參數」:mc固定,變動不同的k = 19.73, 39.47, 78.95 (N/m)

2.      k增大,𝒇𝒏增大。

3.      k增大,𝝃減小。

4.      振幅(amplitude)圖:因為,k增大,𝒇𝒏增大,所以峰值」就是「自然頻率𝒇𝒏,會向右偏移。同時,「峰值」的振幅值𝑯(𝒇𝒏),也會因為k增大,而振幅值𝑯(𝒇𝒏)隨著減小。

5.      相位角(phase angle)圖:在自然頻率𝒇𝒏的頻率附近,會有𝝓 =180°相位角」變化。在𝒇=𝒇𝒏時,𝝓 =90°。在𝒇<𝒇𝒏時,𝝓≈0°,是同相(in phase)。在 𝒇>𝒇𝒏時,𝝓≈180°,是反相(out-of-phase)

6.      實數部(real)圖:通過0」的頻率,會是「自然頻率𝒇𝒏峰值」頻率所對應的振幅值,會隨著k增大,而減小。

7.      虛數部(imaginary)有最大峰值」的頻率,會是「自然頻率𝒇𝒏峰值」頻率所對應的振幅值,會隨著k增大,而減小。

8.      奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極坐標圖(polar plot):會形成一個「圓圈」,在「虛數部」最大值的頻率點,就是結構的「自然頻率」。因為,k增大,所以,圓圈」的直徑也會減小

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2021.05.14

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