先前單元：【打擊樂器如何分類？】介紹了打擊樂器的分類。也有多個單元如：【鑼臍型式銅鑼之敲擊聲音與振動模態有關嗎？】、【平鑼聲音特性與振動分析之探討】、【銅鑼模型更新及聲音與振動特性探討】，討論有關打擊樂器的振動模態與聲音特性的關係。
前一個單元：【鐵琴片結構之聲音預測與驗證：頻率響應函數？】，是由結構頻率響應函數以及音場頻率響應函數角度，說明鐵琴片結構的音場預測分析。本單元則針對相同的鐵琴片，探討其發聲機制，事實上，鐵琴片的發聲機制與結構的振動模態【甚麼是結構振動模態？】有很大的關聯性！
本單元將介紹幾個重點：
1.
以系統方塊圖，觀察一個結構系統：可以由物理域(時間域)、頻率域、及模態域，三個面向來看系統的特性。
2.
對鐵琴片進行EMA：由EMA可以量測得到結構的頻率響應函數，以及結構的振動模態。可參閱：【甚麼是【實驗模態分析】？What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)？】、【如何量測得到結構的頻率響應函數？】。
3.
對鐵琴進行FEA有限元素分析：包括：[1]模態分析(modal analysis)，可求得結構的自然頻率(natural frequency)及對應的模態振型(mode shape)，也就振動模態【甚麼是【振動模態】？】。[2]簡諧響應分析(harmonic response analysis)，則可求得結構頻率響應函數(frequency response function,
FRF)，也就是外力輸入、加速度輸出的頻率響應函數。
5.
鐵琴片敲擊聲音特性探討：探討不同敲擊位置，不同的聲音頻譜特性的原因及其物理意義。
1.
物理域(physical domain)：如物理域方塊圖，輸入是fj(t)，代表的是衝擊鎚的外力輸入時間域信號；j，則代表了外力的作用位置與方向。輸出是ai(t)，代表的是量測到加速度的時間域響應；i，則代表了加速規的擺放位置及量測方向。系統資訊當然就是球桿的幾何與材料參數，在理論分析時，對應的就是[M]、[C]、[K]三個矩陣，分別是質量矩陣(mass matrix)、阻尼矩陣(damping matrix)、勁度矩陣(stiffness matrix)。
2.
頻率域(frequency domain)：另一個角度看系統，就是頻率域的系統方塊圖。系統方塊呈現的是Hij(f)，就是頻率響應函數，理論上，Hij(f)=Ai(f)/Fj(f)，加速度ai(t)的傅立葉頻譜Ai(f)，除以外力fj(t)的傅立葉頻譜。在此，Hij(f)的i及j，分別代表了加速度及外力的位置與方向。所以本案例的頻率響應函數單位是g/N，也就是加速度除以力的單位。
3.
模態域(modal domain)：除了從物理域、頻率域角度看系統，也可由模態域角度來觀察系統，也就是模態參數，每一個振動模態(vibration mode)，都有自然頻率、模態振型、及模態阻尼比，這三個模態參數，圖示中的下標符號r，代表第r個振動模態，r=1,2,…，由低頻率開始排序，理論上，有無限多個振動模態。首先，需要有一個認知，當結構系統參數如幾何形狀、材料參數、邊界條件等固定不變的話，系統的模態參數，也是不變的，也就是不會因為輸入的不同，而改變了結構的振動模態。由TMA的正規模態分析(normal mode
analysis)，只可以得到自然頻率及模態振型；而由EMA，三個模態參數，包括模態阻尼比都可以取得。
「模型驗證」的目的呢？就是在確認所建構的「分析模型」、或「有限元素模型」，能夠等效於(equivalent to)「實際結構」。怎樣才能夠判斷「等效」呢？要判斷「有限元素模型」能夠「等效」於「實際結構」，可以從兩個角度來看：
1.
頻率域(frequency domain)：結構系統的頻率響應函數(frequency response function, FRF)。
2.
模態域(modal domain)：結構系統的模態參數(modal parameters)。
如果，由「實際結構」以及「分析模型」或「有限元素模型」，所分別得到的「頻率響應函數」及「模態參數」有一定程度的吻合，就可以說兩者是「等效」。
以下就探討這個鐵琴片的「模型驗證」，由兩個角度來看：
1.
頻率域(frequency domain)：結構系統的頻率響應函數。由圖示正下方，是僅結構效應的FRF，Haifj(f)。須注意FRF因為有阻尼效應，為複數(complex number)，圖示FRF為其振幅(amplitude) |Haifj(f)|。其中，有3條曲線，標示為EMA、LMS、ANSYS，分別是實驗量測、LMS軟體、ANSYS軟體分析所得到的結構頻率響應函數比較。除了高頻率的3個模態峰值頻率，有差異偏移外，FRF的趨勢及量值大致有一致的對應性。推論：在結構系統的FRF分析與實驗量測結果，有合理的對應。
2.
模態域(modal domain)：結構系統的模態參數，包括：自然頻率、模態振型、及模態阻尼比。FRF曲線峰值頻率，都有對應的模態振型及其自然頻率，分別由FEA及EMA所分析及實驗求得，可以觀察出模態振型的物理意義，如前四個模態為：(2,2)、(1,3)、(3,1)、(2,3)特徵【典型矩形平板模態振型之解讀】，係依照所觀察的模態振型之節線(nodal line)而定義(x,y)的編號。圖示右下方，是FEA及EMA的分析及實驗自然頻率及模態振型之比較表，須注意：有相同物理意義的模態振型，其自然頻率才可倆倆對應進行比較。
由以上頻率域的結構頻率響應函數，以及模態域的模態參數之比較，可以推論此鐵琴片的有限元素分析模型，有合理的等效於實際結構，可應用於後續的音場分析，以及結構形狀變更設計的分析探討。
最後，對此鐵琴片進行敲擊實驗，並量測其聲音響應，取得對應的聲音頻譜，圖示右上方，分別是兩個不同敲擊位置，所對應的兩個聲音頻譜圖，討論如下：
1.
第一個聲音頻譜圖：有4個峰值頻率，分別對應的是第3、4、5、6個模態的自然頻率，也就是，第1、2個模態自然頻率，沒有被激發出來。原因是：該敲擊點，剛好是在第1、2個振動模態之模態振型的節線上，因此，沒能激發這兩個模態的聲音頻率。
2.
第二個聲音頻譜圖：只有2個峰值頻率，對應的是第2、4個模態的自然頻率，也就是其他振動模態對應的自然頻率，是沒有激發出聲音頻率。原因也是：敲擊點剛好在模態振型的節線上。由於模態振型的節線，物理意義上，是不動點，敲擊在不動點上，是無法激發該模態的振動，所以也不能激發出對應的聲音頻率。
由以上討論，可知，要了解鐵琴片的發聲機制，必須了解與認知：
1.
鐵琴片結構的振動模態：包括：自然頻率及其模態振型。尤其是模態振型的節線位置。
2.
鐵琴片的發聲頻率，與敲擊點位置有極大關聯性：敲擊在振動模態之模態振型的節線位置，無法激發該模態之聲音頻率。
因此，要設計一個鐵琴片，作為打擊樂器，不僅要瞭解振動模態，也要認知模態振型的物理意義。由模態的自然頻率，可以預測出發聲頻率。由模態振型的物理意義，才能了解敲擊不同位置，產生不同發聲頻率的機制。
這個單元總結來說，由物理域(時間域)、頻率域、模態域，探討了鐵琴片的頻率響應函數以及振動模態之自然頻率與模態振型關係。也由不同敲擊位置之聲音量測結果，可以了解相同鐵琴片，在不同敲擊位置之發聲頻率差異，主要是來自模態振型物理意義之影響，也解讀了鐵琴片的發聲機制。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.12.05
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