《振動噪音產學技術聯盟》如何求得阻尼比(damping ratio)? – 時間域法(time domain method)

這個單元要來探討的主題是:如何求得「阻尼比(damping ratio) 時間域法(time domain method)

 

要求得「阻尼比」,首先提問:(1) 甚麼是(What is?)阻尼(damping)?讀者可參考先前單元:#116什麼是「阻尼」(damping)】,摘錄該單元圖片,如圖示右上方。重點摘錄如下:

 

1.      阻尼(damping)是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說,可以想像一個材料構件,因為結構體的變形,使得材料分子之間有摩擦,而產生磨擦的能量損失,即為「阻尼效應」。

2.      圖示的「質塊-彈簧系統」,可以建構對應此系統的「數學模型」,如圖示的「mck」,「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」。其中,阻尼元件(damper):為了模擬彈簧的「阻尼效應」,常採用的「阻尼模型(damping model)是「黏滯阻尼模型(viscous damping model),以「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)𝑐,代表此彈簧的「阻尼效應」,SI制單位:N / m/s = N.s/m

3.      圖示「無阻尼」、「阻尼小」、及「阻尼大」的質塊位移x(t)時間域波形,可以看出質塊來回振盪之位移振幅的不同衰減效應。當「阻尼效應」大,也就是𝑐 值較大時,質塊來回振盪的振幅衰減效應,就相對比較快。

 

另外,回顧一下「阻尼比」的定義:𝜉=𝑐/ 𝒄_𝒄𝜉 就是阻尼比」,是黏滯阻尼係數𝑐除以「臨界黏滯阻尼係數𝒄_𝒄。而,𝒄_𝒄=𝟐(𝒎𝒌)。完整的說法,應該是黏滯阻尼比(viscous damping ratio),不過,常簡稱「阻尼比(damping ratio)

 

其次的自我提問:(2) 為什麼需要(Why to do?),求得 𝜉阻尼比(damping ratio)呢?能取得𝜉,可以知道振動的特性,以及阻尼效應的大小量值。不同「阻尼比」的特性,彙整如下:

 

1.      𝝃 < 0negative damping 負阻尼

2.      𝝃 = 0without damping 無阻尼

3.      0 < 𝝃 < 1under damped 次阻尼

4.      𝝃 = 1critically damped 臨界阻尼

5.      𝝃 > 1over damped 過阻尼

 

本單元要介紹的,由時間域法(time domain method),求得「阻尼比(damping ratio),就是考慮工程實務上,最常見的0 < 𝝃 < 1under damped 次阻尼。

 

可參考先前單元:#122甚麼是「對數衰減」?】,摘錄該單元圖片,如圖示右上方。在「次阻尼」狀態,0 < 𝝃 < 1質塊有來回振盪的位移衰減信號的特徵,可以定義「對數衰減(Logarithmic decrement)δ及其與阻尼比ξ的關係,說明如下:

 

1.      對數衰減δ:參閱圖示的方程式,摘錄如下,δ=1/(n-1)*ln(x1/xn),當n=2n=3,可寫出不同的「對數衰減δ表示式,可參閱圖示。

2.      阻尼比ξ:和「對數衰減δ,有如圖示的關係式,ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)

3.      如果,阻尼比ξ很小,阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式,可以化簡為:𝝃 𝜹/𝟐𝝅

 

接著,再提問:(3) 要達到甚麼目標?(What goals?) 當然就是要取得結構系統的「阻尼比(damping ratio),在這個單元,要介紹的是時間域法(time domain method)。針對工程實務上,最常見的0 < 𝝃 < 1under damped 次阻尼。

 

最後,再提問:(4) 要如何做呢?(How to do?) 重點步驟流程,說明如下:

 

1.      量測系統的自由振動響應:參閱圖片右下方圖示,一個具衰減效應之單頻率時間波形,可能來自如圖示的單自由度振動系統。也可以是任意的具有衰減效應之單頻率時間波形,都可以引用本單元的方法,來求得「阻尼比(damping ratio)

2.      取得𝒙𝟏 以及 𝒙𝒏:觀察具衰減效應之單頻率時間波形,可以求得每一個波峰的峰值。

3.      𝒙𝟏 以及 𝒙𝒏,求得「對數衰減」(Logarithmic decrement)δ𝜹=𝟏/(𝒏𝟏)*𝐥𝐧 (𝒙𝟏/𝒙𝒏 )

4.      求得「阻尼比(damping ratio):由阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式:ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。如果,阻尼很小時:𝝃 𝜹/𝟐𝝅

 

讀者,可參閱圖片右下方的表格,顯示了不同𝒙𝒏的「阻尼比(damping ratio)計算結果。其中,𝒙𝟏=0.5,不同𝒙𝒏的數值,如𝒏=2𝒙𝒏=𝒙2=0.455𝜹=0.040959,精準的計算,𝝃 =0.006519。簡要的估算,𝝃 𝜹/𝟐𝝅 =0.006519

 

表格顯示了不同𝒏的計算結果,技巧上,由於實務的量測,可能有不一定精準的情形,所以,可以以不同𝒏的計算結果,取平均的方式,來取得此系統的阻尼比(damping ratio),本案例,𝝃 =0.006541

 

綜合一下這個單元的討論,以【4W心法】來思考,如何求得「阻尼比(damping ratio)?包括:

 

(1)    甚麼是(What is?)

(2)    為什麼需要(Why to do?)

(3)    甚麼目標?(What goals?)

(4)    要如何做呢?(How to do?)

 

當然,也回顧說明介紹了前單元:#116什麼是「阻尼」(damping)】,以及#122甚麼是「對數衰減」?】,相關背景知識。

 

針對工程實務上,最常見的0 < 𝝃 < 1under damped 次阻尼。如何由時間域法(time domain method),取得結構系統的「阻尼比(damping ratio),重點步驟流程,說明如下:

 

1.      量測系統的自由振動響應:取得一個具衰減效應之單頻率時間波形。

2.      取得𝒙𝟏 以及 𝒙𝒏:觀察具衰減效應之單頻率時間波形,可以求得每一個波峰的峰值。

3.      𝒙𝟏 以及 𝒙𝒏,求得對數衰減(Logarithmic decrement)δ𝜹=𝟏/(𝒏𝟏)*𝐥𝐧 (𝒙𝟏/𝒙𝒏 )

4.      求得「阻尼比(damping ratio):由阻尼比ξ和「對數衰減δ的關係式:ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。如果,阻尼很小時:𝝃 𝜹/𝟐𝝅技巧上,以取平均的方式,來取得此系統的阻尼比(damping ratio)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.09.09

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