這個單元要來探討的主題是：如何求得「阻尼比」(damping ratio)？ – 頻率域(frequency domain)：半能量點法(Half Power Point method)。
不同於前一個單元，係以「對數衰減」(Logarithmic decrement)δ及其與「阻尼比」ξ的關係，由時間域法(time domain method)，取得結構系統的「阻尼比」(damping ratio)。
本單元，則是由頻率域法(frequency domain method)，來求得「阻尼比」(damping ratio)。這個方法，就稱為半能量點法(Half Power Point
method)。
要求得「阻尼比」，首先提問：(1) 甚麼是(What is?)「阻尼」(damping)？讀者可參考先前單元：#116，【什麼是「阻尼」(damping)？】，摘錄該單元圖片，如圖示右上方。重點摘錄如下：
1. 「阻尼」(damping)是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說，可以想像一個材料構件，因為結構體的變形，使得材料分子之間有摩擦，而產生磨擦的能量損失，即為「阻尼效應」。
2. 圖示的「質塊-彈簧系統」，可以建構對應此系統的「數學模型」，如圖示的「m、c、k」，「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」。其中，阻尼元件(damper)：為了模擬彈簧的「阻尼效應」，常採用的「阻尼模型」(damping model)是「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，𝑐，代表此彈簧的「阻尼效應」，SI制單位：N / m/s = N.s/m。
3. 圖示「無阻尼」、「阻尼小」、及「阻尼大」的質塊位移x(t)時間域波形，可以看出質塊來回振盪之位移振幅的不同衰減效應。當「阻尼效應」大，也就是𝑐 值較大時，質塊來回振盪的振幅衰減效應，就相對比較快。
另外，回顧一下「阻尼比」的定義：𝜉=𝑐/
𝒄_𝒄。𝜉 就是「阻尼比」，是「黏滯阻尼係數」𝑐除以「臨界黏滯阻尼係數」𝒄_𝒄。而，𝒄_𝒄=𝟐√(𝒎𝒌)。完整的說法，應該是「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，不過，常簡稱「阻尼比」(damping ratio)。
其次的自我提問：(2) 為什麼需要(Why to do?)，求得 𝜉「阻尼比」(damping ratio)呢？能取得𝜉，可以知道振動的特性，以及阻尼效應的大小量值。不同「阻尼比」的特性，彙整如下：
1. 𝝃 < 0：negative
damping 負阻尼
2. 𝝃 =
0：without damping 無阻尼
3. 0 < 𝝃 <
1：under damped 次阻尼
4. 𝝃 =
1：critically damped 臨界阻尼
5. 𝝃 >
1：over damped 過阻尼
本單元要介紹的，由頻率域法(frequency domain method)，求得「阻尼比」(damping ratio)，就是考慮工程實務上，最常見的0 < 𝝃 < 1：under
damped 次阻尼。
可參考先前單元：#220，【SDOF簡諧激振FRF系列(7)：黏滯阻尼係數增大或減小，對頻率響應函數(FRF)有甚麼影響？】，摘錄該單元圖片，如圖示右上方。這個單元探討：「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)增大或減小，對「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響？重點摘錄如下：
1. 令「系統參數」：m= 1 (kg)及k=
39.48 (N/m)固定，變動不同的c = 0.5, 1, 2 (N/ m/s)。對應的「阻尼比」𝝃 = 0.0398, 0.0796,
0.1592。
2. c增大，𝒇𝒏=1/2π*(k/m)^0.5不變。因為：「自然頻率」只和「質量」及「彈簧常數」相關，和「黏滯阻尼係數」不相關。
3. c增大，𝝃增大。因為：「阻尼比」和「黏滯阻尼係數」成正比。
4. 「單自由度系統」之 FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，會和「系統參數」：m、c、k相關，也會隨著不同的「激振頻率」𝒇，而會有不同的𝑯(𝒇)。
5. 當c增大， 𝑯(𝒇)「峰值」頻率的振幅值，會減小。
本單元，就是應用𝑯(𝒇)「單自由度系統」之「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)特性，來界定系統的「阻尼比」(damping ratio)。因為，𝑯(𝒇)是頻率域的頻譜，所以是頻率域法(frequency domain method)。
接著，再提問：(3) 要達到甚麼目標？(What goals?) 當然就是要取得結構系統的「阻尼比」(damping ratio)，在這個單元，要介紹的是頻率域法(frequency domain method)。針對工程實務上，可以量測到振動的頻譜(spectrum)，進而以半能量點法(Half Power Point method)來求得系統的「阻尼比」(damping ratio)。
最後，再提問：(4) 要如何做呢？(How to do?) 重點步驟流程，說明如下：
1. 量測系統的振動響應頻譜：參閱圖片右下方圖示，一個典型的振動頻譜，可以是系統的FRF「頻率響應函數」，取其絕對值|𝑯(𝒇)|，或是以加速度規(accelerometer)量測到𝑮𝒂𝒂(𝒇)，也就是加速度的auto PSD 「自身功率頻譜」(auto power spectral density)。圖示中，僅顯示一個振動模態的頻譜示意圖，實務上，會有多個振動模態，每個模態的分析方法，都相同。
2. 辨識 𝒇𝒓：由|𝑯(𝒇)|或是𝑮𝒂𝒂(𝒇)，其曲線的峰值(peak)，對應的頻率，就是𝒇𝒓
自然頻率(natural
frequency)。
3. 取得𝑸：在𝒇𝒓頻率點，對應|𝑯(𝒇=𝒇𝒓)|的數值，就是𝑸，稱為放大因子(amplification factor)。
4. 取得𝑸/√𝟐或是小於𝑸值3 dB：在|𝑯(𝒇)|的數值，等於𝑸/√𝟐的數值，就是半能量點(Half Power Point)。如果量測的頻譜，顯示的是絕對量值，就除以√𝟐，取得半能量點。如果量測的頻譜，顯示的是dB值，就取小於𝑸值3 dB，就是半能量點。為什麼是小於𝑸值3 dB？請參閱圖片上的計算式，根據dB的定義，是取log，乘以20。所以，當數值為1/√𝟐時，會是 −𝟑 𝐝𝐁。
5. 取得𝒇𝒂
和 𝒇𝒃頻率值：由半能量點=𝑸/√𝟐，與|𝑯(𝒇)|或是𝑮𝒂𝒂(𝒇)曲線交叉的位置，會有兩個交叉點，此兩個交叉點的頻率值，分別就是𝒇𝒂
和 𝒇𝒃。
6. 計算求得 𝜉「阻尼比」(damping ratio)：𝝃 ≅ (𝒇𝒃−𝒇𝒂)/(𝟐𝒇𝒓
) = 𝜟𝒇/(𝟐𝒇𝒓
)。
綜合一下這個單元的討論，以【4W心法】來思考，如何求得「阻尼比」(damping ratio)？包括：
(1)
甚麼是(What is?)
(2)
為什麼需要(Why to do?)
(3)
甚麼目標？(What goals?)
(4)
要如何做呢？(How to do?)
當然，也回顧說明介紹了前單元：#116，【什麼是「阻尼」(damping)？】，以及#220，【SDOF簡諧激振FRF系列(7)：黏滯阻尼係數增大或減小，對頻率響應函數(FRF)有甚麼影響？】，相關背景知識。
針對工程實務上，可以由量測到的振動頻譜，以頻率域法(frequency domain method)就是由頻譜(spectrum)，以半能量點法(Half Power Point method)，可以取得結構系統的 𝝃「阻尼比」(damping ratio)，重點步驟流程，說明如下：
1. 量測系統的振動響應頻譜：可以是系統的FRF「頻率響應函數」，取其絕對值|𝑯(𝒇)|，或是以加速度規(accelerometer)量測到𝑮𝒂𝒂(𝒇)，也就是加速度的auto PSD 「自身功率頻譜」(auto power spectral density)。
2. 辨識 𝒇𝒓：由|𝑯(𝒇)|或是𝑮𝒂𝒂(𝒇)，其曲線的峰值(peak)，對應的頻率，就是𝒇𝒓
自然頻率(natural
frequency)。
3. 取得𝑸：在𝒇𝒓頻率點，對應|𝑯(𝒇=𝒇𝒓)|的數值，就是𝑸，稱為放大因子(amplification factor)。
4. 取得𝑸/√𝟐或是小於𝑸值3 dB：在|𝑯(𝒇)|的數值，等於𝑸/√𝟐的數值，就是半能量點(Half Power Point)。或是，取小於𝑸值3 dB，就是半能量點。
5. 取得𝒇𝒂
和 𝒇𝒃頻率值：由半能量點=𝑸/√𝟐，與|𝑯(𝒇)|或是𝑮𝒂𝒂(𝒇)曲線交叉的位置，此兩個交叉點的頻率值，分別就是𝒇𝒂
和 𝒇𝒃。
6. 計算求得 𝜉「阻尼比」(damping ratio)：𝝃 ≅ (𝒇𝒃−𝒇𝒂)/(𝟐𝒇𝒓
) = 𝜟𝒇/(𝟐𝒇𝒓
)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.09.09
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