這個單元是SDOF簡諧激振FRF系列的第7篇，要來探討的主題是：「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)增大或減小，對「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響？
首先，快速回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊-彈簧的「實際結構」(real structure)，建構此系統「數學模型」(mathematical model)，如示意圖。其中，
1.
「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數」(spring constant)。
2.
「輸入」是f(t)，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件」(initial condition, IC)，包括：「初始位移」(initial displacement) X0及「初始速度」(initial velocity) V0。
3.
「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移響應。
由系統的「數學模型」，可以推導出這個「單自由度系統」的「運動方程式」：ma+cv+kx=f(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表位移、速度、加速度。】
接著，定義系統的「輸入參數」，假設系統受到了「簡諧外力」激振，為正弦函數
𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其中，𝑭 =「簡諧外力振幅」；𝒇=「簡諧外力」的「激振頻率」。
當這個正弦波的「簡諧外力」，作用在此「SDOF單自由度系統」，由先前單元：#208，【SDOF簡諧激振系列(2)：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？】，質塊的位移響應𝒙(𝒕)，可以區別出，有「暫態響應」(transient state response)，以及「穩態響應」(steady state response)的區間。
其中，有興趣的是「穩態位移響應」，也是「簡諧響應」，可以寫出位移響應方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕+𝝓)，其中，
1. 𝑿：是「穩態位移響應」的「位移振幅」。
2. 𝒇：是「穩態位移響應」的「響應頻率」，此頻率值就是「簡諧外力」的「激振頻率」。
3. 𝝓：是「穩態位移響應」的「相位角」(phase
angle)，是「位移」𝒙(𝒕)和「外力」𝒇(𝒕)的「相位角」差。
特別有興趣的是「位移振幅」𝑿 和「相位角」𝝓。為了有效率的全盤了解「穩態位移響應」的特性，所以，定義了「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)，𝑯(𝒇)：
1.
𝑯(𝒇) = 輸出/輸入。
2.
𝑯(𝒇) =
𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)。
3.
𝑯(𝒇) =「穩態位移振幅」/「外力振幅」。
這樣，可以快速知道𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)的關係。又，因為不同的「激振頻率」𝒇，會有不同的「穩態位移振幅」𝑿，所以，分別以𝑿(𝒇)和𝑭(𝒇)變數符號表示之。
針對「單自由度系統」之 FRF：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) = 𝟏/[(𝒌−𝒎𝝎^𝟐 )+𝒊(𝝎𝒄)]，會和「系統參數」：m、c、k相關，也會隨著不同的「激振頻率」𝒇，而會有不同的𝑯(𝒇)。
首先，由FRF定義：𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇)，可以推導出來，𝑿(𝒇) = 𝑭(𝒇)
𝑯(𝒇)。也就是說，如果知道系統的m、c、k，就可以求得「頻率響應函數」𝑯(𝒇)，當已知「簡諧外力」的「外力振幅」𝑭，以及其「激振頻率」𝒇，就可以透過上面的方程式，推算出「穩態位移響應」𝑿(𝒇)，包括：「位移振幅」𝑿和「相位角」𝝓。
這個單元要來探討：「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)增大或減小，對「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響？
在此，列舉的實際數值案例，令「系統參數」：m = 1 (kg)、c =
0.5, 1, 2 (N/ m/s)、k = 39.48 (N/m)，也就是m及k固定，變動不同的c =
0.5, 1, 2 (N/ m/s)。
由「系統參數」：m、c、k，可以推算得到「模態參數」：「自然頻率」𝒇𝒏 = 0.707, 1, 1.414 (Hz)，「阻尼比」𝝃 = 0.0398, 0.0796, 0.1592。因為，0 < 𝝃 < 1，所以都是「次阻尼」狀態。可以知道：變動不同的m
= 0.5, 1, 2 (kg)，「模態參數」的變化特徵：
1. c增大，𝒇𝒏不變。因為：「自然頻率」只和「質量」及「彈簧常數」相關，和「黏滯阻尼係數」不相關。
2. c增大，𝝃增大。因為：「阻尼比」和「黏滯阻尼係數」成正比。
接著，假設「簡諧外力」激振：𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝅𝒇𝒕)，其中，「簡諧外力振幅」𝑭 =1 (N)；「簡諧外力」的「激振頻率」𝒇=0~5 (Hz)。
將已知的「系統參數」：m、c、k，帶入「單自由度系統」之 FRF方程式，並畫出𝑯(𝒇)的5種圖示，包括：(1)「振幅」(amplitude)、(2)「相位角」(phase angle)、(3)「實數部」(real)、(4)「虛數部」(imaginary)、以及(5)「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極坐標圖」(polar plot)。
以下就針對𝑯(𝒇)的5種圖示，在固定m及k固定，而變動不同的c =
0.5, 1, 2 (N/ m/s)時，來觀察有甚麼特徵與差異：
1. 「振幅」(amplitude)：FRF曲線的「峰值」(peak)，有最大的位移響應，對應的頻率就是「自然頻率」𝒇𝒏。可以觀察到，變動不同的c時，因為𝒇𝒏不變，所以「峰值」是在相同位置。實務上，因為「阻尼比」𝝃都很小，出現「峰值」的頻率點，參閱圖示的方程式，可知，會是𝒇≈𝒇𝒏。另外，在「峰值」頻率的振幅值，可參閱圖示的方程式，可知：c增大，𝝃增大，其振幅值會越小。在此，也可觀察：因為，c增大，所以，「峰值」頻率的振幅值，也減小。因此可以知道，就算系統受到「共振激振」(resonant excitation)，如果能夠增大「阻尼」，也是可以降低振動量。另外，一個重要特徵，當𝒇=0時，𝑯(0) =1/k，在此，雖然c值不同，因為k值相同，所以，𝑯(0)也會相同。
2. 「相位角」(phase angle)：有「自然頻率」𝒇𝒏的頻率附近，會有𝝓 =180°的「相位角」變化。在𝒇=𝒇𝒏時，𝝓 =90°。當c值增大時，如圖示會有微小的偏移，不過，仍然有以下特徵：𝒇<𝒇𝒏時，𝝓≈0°，是「同相」(in phase)。在 𝒇>𝒇𝒏時，𝝓≈180°，是「反相」(out-of-phase)。
3. 「實數部」(real)：「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，通過「0點」的頻率，雖然c值不同，因為𝒇𝒏不變，所以，通過「0點」的頻率都在相同的頻率點。參閱圖示中的方程式，可以知道：因為，c增大，𝝃增大，所以，「峰值」頻率所對應的振幅值減小。
4. 「虛數部」(imaginary)：「自然頻率」𝒇𝒏會出現在，有最大「峰值」的頻率，雖然c值不同，因為𝒇𝒏不變，所以，最大「峰值」的頻率都在相同的頻率點。參閱圖示中的方程式，可以知道：因為，c增大，𝝃增大，所以，「峰值」頻率所對應的振幅值減小。
5. 「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極坐標圖」(polar plot)：會形成一個「圓圈」，在「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。因為，c增大，所以，「峰值」頻率所對應的「虛數部」振幅值減小，因此，「圓圈」會有較小的直徑。有一個模態，就會形成一個「圓圈」，所以，在多自由度系統時，FRF的「奈氏圖」就會形成多個「圓圈」。
綜合一下這個單元的討論重點：「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)增大或減小，對「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)有甚麼影響？統整如下：
1.
令「系統參數」：m及k固定，變動不同的c =
0.5, 1, 2 (N/ m/s)。
2.
c增大，𝒇𝒏不變。
3.
c增大，𝝃增大。
4.
「振幅」(amplitude)圖：因為，c增大，𝒇𝒏不變，所以，雖然c值不同，「峰值」就是「自然頻率」𝒇𝒏，會出現在相同頻率點。同時，「峰值」的振幅值𝑯(𝒇𝒏)，也會因為c增大，而振幅值𝑯(𝒇𝒏)隨著減小。
5.
「相位角」(phase angle)圖：在「自然頻率」𝒇𝒏的頻率附近，會有𝝓 =180°的「相位角」變化。在𝒇=𝒇𝒏時，𝝓 =90°。當c值增大時，如圖示會有微小的偏移，不過，仍然有以下特徵：在𝒇<𝒇𝒏時，𝝓≈0°，是「同相」(in phase)。在 𝒇>𝒇𝒏時，𝝓≈180°，是「反相」(out-of-phase)。
6.
「實數部」(real)圖：通過「0點」的頻率，會是「自然頻率」𝒇𝒏，雖然c值不同，因為𝒇𝒏不變，所以，通過「0點」的頻率都在相同的頻率點。「峰值」頻率所對應的振幅值，會隨著c增大，而減小。
7.
「虛數部」(imaginary)：有最大「峰值」的頻率，會是「自然頻率」𝒇𝒏，雖然c值不同，因為𝒇𝒏不變，所以，最大「峰值」的頻率都在相同的頻率點。「峰值」頻率所對應的振幅值，會隨著c增大，而減小。
8.
「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極坐標圖」(polar plot)：會形成一個「圓圈」，在「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。因為，c增大，所以，「圓圈」的直徑也會減小。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.05.14
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