《振動噪音產學技術聯盟》結構的振動分析需要設定阻尼效應嗎？

這個單元要來探討的主題是：結構的振動分析需要設定「阻尼效應」(damping effect)嗎？

 

這是進行結構振動分析時，經常會提問的問題。首先，就破題，做主題的「關鍵詞」(keywords)分析提問：

 

1.      「結構」(Structure)：有甚麼樣的結構嗎？

2.      「振動分析」(Vibration Analysis)：有哪些種類的分析？

3.      「需要」(Needed)：設定「阻尼效應」(damping effect)是必要的嗎？

4.      「設定」(Set / Specify)：需要怎樣設定呢？

5.      「阻尼效應」(damping effect)：有甚麼樣的「阻尼效應」？

 

其次，來看「結構/振動系統」(structure/vibration system)的分類，參閱圖片右上方表格，說明如下：

 

1.      「離散系統」(Discrete system)：又可概分為：(1) 「單自由度系統」(SDOF system)，例如圖示的m、c、k質塊彈簧阻尼系統。(2) 「多自由度系統」(MDOF system)，如圖示，是三個質塊和三個彈簧阻尼的三個自由度的系統。「離散系統」的主要特徵，質塊會是「剛體」(rigid body)的假設，通常會由彈簧、阻尼元件，連接組成。

2.      「連續系統」(Continuous system)：物體都是考慮為「彈性體」(elastic body)或「撓性體」(flexible body)的假設，也就是結構體是會變形的。常見的結構振動系統(structural vibration system)：(1)「線側向振動」(string lateral vibration)。(2) 「柱軸向振動」(bar axial vibration)。(3)「軸扭轉振動」(shaft torsional vibration)。(4)「樑側向振動」(beam lateral vibration)。(5)「板側向振動」(plate lateral vibration)。(6)「任意結構三軸向振動」(arbitrary structure in triaxial vibration)。

 

「線側向振動」就是，如小提琴弦、吉他弦的振動。「柱軸向振動」就是，只考慮了沿著柱軸向的振動特性。「軸扭轉振動」就是，考慮了旋轉的振動模態效應。其他，如樑、板、殼、甚至是任意結構形狀，都會有所謂的「振動模態」(vibration mode)。

 

而結構「振動模態」(vibration mode)的特徵，會有軸向、側向、扭轉等，基本上就是結構「自由度」(degree of freedom, DOF)的概念。會有三個方向的「平移振動模態」(translation vibration mode)，以及三個方向的「旋轉振動模態」(rotational vibration mode)。

 

再來，「振動分析」(vibration analysis)可以概分為有4種振動分析類型(four types of vibration analysis)：

 

1.      「模態分析」(Modal analysis)

2.      「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)

3.      「暫態響應分析」(Transient response analysis)

4.      「頻譜響應分析」(Spectrum response analysis)

 

參閱圖片中央的截圖，係來自ANSYS軟體的分析選項，可以看出，也是有：Modal、Harmonic、Transient、Spectrum，4個分析選項。

 

有關此4種振動分析類型(four types of vibration analysis)的簡介說明，讀者可參閱以下單元：

 

1.      #151，【「外力激振」的「單自由度系統」之振動分析】。

2.      #153，【「基座激振」的「單自由度系統」之振動分析】。

3.      #172，【「外力激振」的「多自由度系統」之振動分析】。

4.      #170，【樑結構之振動分析有哪些？】。

5.      #175，【印刷電路板振動分析】。

 

接著，再看甚麼是「阻尼效應」(damping effect)？模擬結構的阻尼，主要有兩種「阻尼模型」(damping model)：

 

1.      「黏滯阻尼」(Viscous damping)：參閱圖示，通常以c，代表「黏滯阻尼係數」(Viscous damping coefficient)。讀者可參閱：#390，【甚麼是黏滯阻尼(viscous damping)？黏滯阻尼比(viscous damping ratio)？】。

2.      「結構阻尼」(Structural damping)：參閱圖示，通常以h，代表「結構阻尼係數」(Structural damping coefficient)。讀者可參閱：#391，【甚麼是結構阻尼(structural damping)？散失因子_損耗因數(loss factor)？】。

 

最後，回到這個單元主題的提問：結構的振動分析需要設定「阻尼效應」(damping effect)嗎？簡單的答案：是，進行結構的振動分析，需要設定「阻尼效應」(damping effect)！針對4種振動分析類型(four types of vibration analysis)的阻尼影響，將另闢單元討論。

 

由結構系統(structure system)，來看「阻尼效應」(damping effect)的設定，說明如下：

 

1.      「離散系統」(Discrete system)：如圖示的「單自由度系統」(SDOF system)、或是「多自由度系統」(MDOF system)，因為有阻尼元件 c，已經自動納入了「阻尼效應」。

2.      「連續系統」(Continuous system)：對任意結構的連續系統，都需要對結構，設定其材料的「阻尼參數」(damping parameter)。如何設呢？再另闢單元討論。

 

雖然，簡單的答案：是。但是，在「模態分析」(Modal analysis)，設定材料的「阻尼參數」(damping parameter)，則不是必要的！為什麼呢？再另闢單元討論。

 

綜合這個單元的討論：結構的振動分析需要設定「阻尼效應」(damping effect)嗎？總結如下：

 

1.      探討主題的「關鍵詞」(keywords)分析。

2.      探討「結構/振動系統」(structure/vibration system)的分類。

3.      說明了「振動分析」(vibration analysis)可以概分為4種振動分析類型(four types of vibration analysis)。分別是：模態Modal、簡諧Harmonic、暫態Transient、頻譜Spectrum。

4.      模擬結構的阻尼，主要有兩種「阻尼模型」(damping model)：(1)「黏滯阻尼」(Viscous damping)。(2) 「結構阻尼」(Structural damping)。

5.      結構的振動分析需要設定「阻尼效應」(damping effect)嗎？簡單的答案：是，進行結構的振動分析，需要設定「阻尼效應」(damping effect)！但是，在「模態分析」(Modal analysis)，設定材料的「阻尼參數」(damping parameter)，則是，不一定是必需的！

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.12.28

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《振動噪音產學技術聯盟》都是測定橡膠材料的動態剛性或動態模數，ISO 9052-1 與 ASTM D 5992有甚麼異同？

 

這個單元要來探討的主題是：都可以測定材料的「動態模數」(dynamic modulus)與「阻尼」(damping)，ASTM E 756 與 ASTM D 5992有甚麼異同？

 

首先，參閱圖片上方，兩個圖示，分別摘錄自兩篇單元：

 

1.      #405，【如何應用ASTM E 756的理念，求得一個結構材料的動態剛性與阻尼？】。ASTM E 756，英文名稱：Standard Test Method for Measuring Vibration-Damping Properties of Materials。中文名稱：量測材料振動阻尼特性的標準測試方法。

2.      #404，【如何以振動方法取得橡膠類材料之動態模數以及阻尼參數？ – ASTM D 5992】。ASTM D 5992是怎樣的標準或規範呢？英文名稱：Dynamic Testing of Vulcanized Rubber and Rubber-Like Materials Using Vibratory Methods。中文名稱：使用振動方法對硫化橡膠和橡膠類材料進行動態測試。

 

彙整ASTM E 756的理念，如下：

 

1.      目的：在使用「振動方法」(Vibratory Methods)，取得硬質材料之「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼」(damping)參數。適用在可製作成如規範訂出的均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體，所以適用在硬質材料。也可以採用規範理念，應用在任意形狀的單體結構。

2.      「動態模數」(dynamic modulus)定義與取得方式：𝑬 = 𝝈/𝜺 = (𝟏𝟐𝝆𝑳^𝟒 𝒇𝒓^𝟐)/(𝑯^𝟐 𝑪𝒓^𝟐 )。其中，𝝆 是試體材料的密度，單位：kg/m^3。𝑳 和 𝑯 分別是懸臂樑的長度和厚度，單位：m。𝒇𝒓是懸臂樑第𝒓個自然頻率。𝑪𝒓是懸臂樑的第𝒓個模態係數，圖中，顯示了前5個模態的 𝑪𝒓 值。由於結構系統有多振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝑬𝒓。

3.      「試體」(specimen)：依照規範，如圖片左上方，是採用均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體。也可以採用規範理念，應用在任意形狀的單體結構，如圖示的響鈴板結構。

4.      數學模型：規範採用均勻懸臂薄樑，也可以擴充應用在任意形狀結構，因此，是「連續系統」(continuous system)。又，係透過簡易的實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)，以衝擊鎚(impact hammer)敲擊樑結構，可得到外力頻譜𝑭𝒋 (𝒇)。另外，以加速度規(accelerometer)量測樑結構的加速度響應頻譜𝑨𝒊 (𝒇)。所以，是外力激振(force excitation)。

5.      量測FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：係衝擊鎚外力輸入，與加速度規量測結構的加速度響應輸出，兩者之間的系統FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。

6.      取得「自然頻率」：由量測的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)，可求得「自然頻率」𝒇𝒓, 𝒓=𝟏,𝟐,…。因為，結構是連續系統，理論上，會有無窮多個「自然頻率」。

7.      取得「動態模數」：由於結構系統有多個振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝑬𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「動態模數」(dynamic modulus) = 𝑬= (∑𝑬𝒓 )/𝑵。

8.      取得「阻尼比」：以半能量點法(Half Power Point method)，取得「阻尼比」(damping ratio) = 𝝃：𝝃𝒓 ≅ (𝒇𝒃−𝒇𝒂)/(𝟐𝒇𝒓 ) = 𝜟𝒇/(𝟐𝒇𝒓 )。其中，𝒇𝒂 和 𝒇𝒃頻率值：由半能量點=𝑸/√𝟐，與|𝑯(𝒇)|曲線交叉的位置，會有兩個交叉點，此兩個交叉點的頻率值，分別就是𝒇𝒂 和 𝒇𝒃。𝜟𝒇=(𝒇𝒃−𝒇𝒂)。由於結構系統有多個振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝝃𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)= 𝝃 = (∑𝝃𝒓 )/𝑵。

 

彙整ASTM D 5992的理念，如下：

 

1.      目的：在使用「振動方法」(Vibratory Methods)，取得「橡膠類材料」(Rubber-Like Materials)之「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼」(damping)參數。適用在小尺寸橡膠材料，沒有特定的指定用途，如隔振墊、墊片等橡膠材料。

2.      「動態模數」(dynamic modulus)定義與取得方式：𝑬 = 𝝈/𝜺 = (𝑭⁄𝑨)/(𝒙⁄𝑳) = (𝑭/𝒙) (𝑳/𝑨)= 𝒌 𝑳/𝑨。其中，𝑬 = 𝝈/𝜺，是「彈性模數」的定義，實際單位：N/m^2=Pa，慣用單位： MN/m^2=MPa。𝝈 = 𝑭⁄𝑨 是應力，單位： N/m^2=Pa。而是𝜺=𝒙⁄𝑳應變。𝑳 是試體的高度，𝑨= 𝒂 ^𝟐是試體的面積。

3.      「試體」(specimen)：如圖片右上方，大小，25 mm X 25 mm。厚度=12.5 mm。採取較小的平面尺寸，主要是對小尺寸的應用，如隔振墊、墊片等橡膠材料。

4.      數學模型：SDOF – 基座激振(base excitation)。如圖示，受到「基座激振」𝒚(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。實務上，會採用加速度規，量測基座加速度= 𝒂𝒋 (𝒕)，以及質塊加速度=𝒂𝒊 (𝒕)。

5.      量測FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：係基座與質塊兩者之間的關係，FRF =加速度「傳輸比」(Transmissibility) = 𝑻𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇) / 𝑨𝒋(𝒇)。

6.      取得「自然頻率」：由量測的FRF= 𝑻𝒊𝒋 (𝒇)，可求得「自然頻率」𝒇𝒏。

7.      取得「動態模數」：必須先推算「彈簧常數」：𝒌=𝒎(𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。再取得「動態模數」，𝑬=𝒌 𝑳/𝑨。

8.      取得「阻尼比」：由 𝑻𝒊𝒋 (𝒇)，(1)取得 𝑸 = 𝑻𝐦𝐚𝐱 (𝒇)。(2) 推算阻尼比 = 𝝃 = 𝟏/𝟐𝑸。

 

比較一下ASTM E 756與 ASTM D 5992有甚麼相同之處，統整如下：

 

1.      都是採用「振動方法」(Vibratory Methods)：目的在取得材料之「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼」(damping)參數。

2.      「動態模數」(dynamic modulus)定義是相同的：𝑬 = 𝝈/𝜺。

3.      都是量測系統的FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)。

4.      都需要取得系統的「自然頻率」(natural frequency)。

5.      都可以取得材料的「動態模數」(dynamic modulus)。

6.      都可以取得材料的「阻尼比」(damping ratio)。

 

比較一下ASTM E 756 與 ASTM D 5992有甚麼差異之處，統整如下：

 

1.      適用的材料：ASTM E 756應用在硬質材料。ASTM D 5992應用在「橡膠類材料」(Rubber-Like Materials)。

2.      「試體」(specimen)：ASTM E 756規範要求是均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體，也可以採用規範理念，應用在任意形狀的單體結構。ASTM D 5992規範要求是立方體試體：25 mm X 25 mm。厚度=12.5 mm。採取較小的平面尺寸，主要是對小尺寸的應用，如隔振墊、墊片等橡膠材料。

3.      數學模型：ASTM E 756考慮了懸臂薄樑、或任意結構，是「連續系統」(continuous system)，而且是外力激振(force excitation)。ASTM D 5992假設系統是SDOF – 基座激振(base excitation)。

4.      FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：ASTM E 756系統FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。ASTM D 5992系統FRF =加速度「傳輸比」(Transmissibility) = 𝑻𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇) / 𝑨𝒋(𝒇)。

5.      「自然頻率」(natural frequency)：在ASTM E 756，測試的結構系統有無窮多個「自然頻率」。在ASTM D 5992，測試的系統只有一個「自然頻率」。

6.      材料的「動態模數」(dynamic modulus)：在ASTM E 756，會取每個振動模態推算的𝑬𝒓，取其平均值(mean value)，推算「動態模數」(dynamic modulus) = 𝑬= (∑𝑬𝒓 )/𝑵。在ASTM D 5992，透過SDOF系統假設，先推算「彈簧常數」：𝒌=𝒎(𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。再取得「動態模數」，𝑬=𝒌 𝑳/𝑨。

7.      材料的「阻尼比」(damping ratio)：在ASTM E 756，每個振動模態都可取得「阻尼比」(damping ratio)：𝝃𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「阻尼比」(damping ratio)= 𝝃 = (∑𝝃𝒓 )/𝑵。在ASTM D 5992，只有一個「阻尼比」，由 𝑻𝒊𝒋 (𝒇)，(1)取得 𝑸 = 𝑻𝐦𝐚𝐱 (𝒇)。(2) 推算阻尼比 = 𝝃 = 𝟏/𝟐𝑸。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.12.28

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