這個單元的主題：「基座激振」的「單自由度系統」之「振動分析」，解剖下來有兩個問題，「甚麼是『基座激振』的『單自由度系統』？」以及「甚麼是『振動分析』？」
首先，來回顧一下甚麼是「基座激振」的「單自由度系統」，參閱先前單元：【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」？】，簡要說明如下：
1. 實體結構：也就是左上方圖示的「基座激振之質塊彈簧系統」。「質塊」和「基座質點」以一個「彈簧」連接，「基座質點」施予「位移」輸入，「質塊」就會上下來回振盪有「位移」輸出。
2. 數學模型：對此「基座激振之質塊彈簧系統，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到如圖示對應的「數學模型」(mathematical model)。其中，「系統參數」(system parameters)，就是：m、c、k，分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。「輸入」是y(t)，為「基座質點」的位移輸入，以及「質塊」本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。「輸出」是x(t)，為系統「質塊」的位移響應。
3. 運動方程式：ma+cv+kx= c*yd(t)+k*y(t)。是「二階的常微分方程式」，所以需要兩個「初始條件」：「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以x、v、a，代表「質塊」的位移、速度、加速度。y(t)及yd(t)分別代表「基座質點」的「位移」輸入及其「速度」】
接下來，要對此「基座激振」的「單自由度系統」進行「振動分析」，可以藉由”4W”的思考想一下「振動分析」：
1. What is?：甚麼是「振動分析」？
2. Why to do?：為什麼要進行「振動分析」？
3. What to get/know?：進行「振動分析」可以得到/知道甚麼？
4. How to do?：如何進行「振動分析」？
接著，甚麼是「振動分析」？一個結構的「振動」「分析」，就是透過理論解析或實驗方法進行「分析」，以瞭解結構的「振動」現象、行為、特徵及影響。本單元以「理論分析」的角度進行探討。
一個結構的「振動」「分析」，可以分為四種類型，從”WHY to
do?”及”WHAT to get/know?”分別說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：”WHY”：瞭解結構的「振動模態」(vibration mode)。”WHAT
to get?”：求得結構的「模態參數」(modal parameters)。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。”WHAT to get?”： 求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「外部激振」時，系統輸出的「時間域響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：”WHY”：瞭解結構系統受到「隨機」(random)的「外部激振」之系統「響應」。”WHAT
to get?”：求得結構系統如位移的「頻率域響應」。
接下來，針對此「基座激振」的「單自由度系統」之四種「振動分析類型」分別進一步討論：
1. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「模態參數」(modal
parameters)。在此「基座激振」的「單自由度系統」之「模態參數」為：「自然頻率」，ωn=2πfn=(k/m)^0.5，「阻尼比」，ξ=c/Cc。其中，c是「黏滯阻尼係數」，Cc=2*(mk)^0.5=2mωn，是「臨界黏滯阻尼係數」。所以，由「系統參數」：m、c、k，就可以求得「自然頻率」ωn以及「阻尼比」ξ。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：主要在求得結構的「頻率響應函數」(frequency
response function, FRF)，圖示以H(ω)代表，其物理意義是：結構受到「簡諧激振」(harmonic
excitation)，其輸入的「位移振幅」Y，而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」，其「位移振幅」X，所以H(ω)是輸出的「位移振幅」X除以輸入的「位移振幅」Y，H(ω)=X/Y，完整的表示式參閱圖示，可以觀察和「系統參數」：m、c、k，及「激振頻率」：ω=2πf相關。典型「基座激振」的「單自由度系統」之「頻率響應函數」H(ω)的振幅圖，如圖示，其特性再另闢單元討論。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統輸入的「位移」y(t)，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。可以求得「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，如圖示的「隨機位移」y(t)，若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」，雖然可行，但是不容易解析、也曠日廢時，所以會將「隨機位移」y(t)，進行FFT(快速傅立業轉換)【甚麼是頻譜分析？】，求得「隨機位移」的「自身功率頻譜」Gyy(f)，透過「頻譜響應分析」方式求解之系統位移的「頻率域響應」Gxx(f)，也就是位移的「功率頻譜密度函數」。對Gxx(f)取積分、開根號，可以求得位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小，可達到分析目的。
最後，統整一下本單元介紹的四種「振動分析類型」，總結說明如下：
1. 模態分析(modal analysis)：主要在求得結構的「系統」資訊，也就是「模態參數」(modal parameters)，在此「基座激振」的「單自由度系統」之模態參數」包括：「自然頻率」ωn以及「阻尼比」ξ。所以，「模態分析」是一種「系統分析」(system analysis)，在求得結構系統的「模態域參數」。
2. 簡諧響應分析(harmonic response analysis)：也是一種「系統分析」，在求得結構系統的「頻率域參數」，是求得輸出與輸入之間的FRF。主要在得到結構的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)， H(ω) =X/Y，其物理意義是：輸出的「位移振幅」X除以輸入的「位移振幅」F，H(ω)=X/Y。其中，ω=2πf為「簡諧激振」的「激振頻率」。補充說明：由於H(ω) =X/Y，是位移除以位移，此「頻率響應函數」也可稱為「位移傳輸比」(displacement transmissibility)。
3. 暫態響應分析(transient response analysis)：可以說是R-analysis「響應分析」(response analysis)，在求得系統的「輸出響應」(output response)。主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的「外部激振」的「位移輸入」y(t)，以及質塊本身的「初始位移」X0及「初始速度」V0。可以求得「輸出」是x(t)，為系統質塊的位移「時間域響應」。
4. 頻譜響應分析(spectrum response analysis)：也是R-analysis「響應分析」(response analysis)，在求得系統的「頻率域」之「輸出響應」(output response)。會採用「頻譜響應分析」，主要應用在結構系統受到「隨機」的「外部激振」時，將「時間域」之「隨機位移」y(t)，透過”FFT”轉換到「頻率域」進行求解，取得系統輸出的位移「功率頻譜密度函數」，進而可求得位移的「平方平均根值」(RMS, root mean square)，相當於瞭解了結構的位移響應量值大小。
本單元，以「基座激振」的「單自由度系統」為例，探討了典型的四種「振動分析類型」，包括：「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。也由”4W”的思考：”What is?”、” Why to do? ”、”What to get? What to know?
”、”How to do? ”，引導說明與討論四種「振動分析類型」，希望讀者能對「振動分析」有進一步的瞭解。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.02.14文章粉絲團連結
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