《振動噪音科普專欄》如何計算質塊彈簧系統的「自然頻率」?


質塊彈簧系統」是基礎「振動學」中,入門的課程單元之一。本單元來探討,如何計算求得「質塊彈簧系統」的「自然頻率(natural frequency)

如圖示,以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方,如果,對「質塊」施予外力,「質塊」就會來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。

在先前單元:【什麼是「阻尼」(damping)】,對這個「質塊」往下拉一個距離,然後釋放開「質塊」,由「質塊」來回的振盪現象,探討說明了甚麼是阻尼(damping)。不同阻尼,「質塊」振盪的「振動週期」,有相同的現象,這和「自然頻率」相關,本單元,將會解釋說明此現象的原因。

由圖示可知,「質塊」來回振盪,其「位移振幅」完全沒有衰減,也就是「無阻尼」狀態。當「有阻尼」時,「質塊」的來回振盪就會有衰減的現象。同時,也可以觀察到,「質塊」來回振盪有穩定的「振動週期」,Tn,又知道「週期」和「頻率」為倒數關係,所以,「質塊」的「震盪/振動頻率」是fn =1/Tn,其中,fn就是系統的「自然頻率」。

有趣的是,當對這個「質塊」往下拉不同的距離時,「質塊」的振盪幅度會不同,但是,「振動頻率fn是不會改變的。因為,fn是此「質塊彈簧系統」的「自然頻率」,而且,系統的「自然頻率」是不會受外力影響,而改變的。

接下來,就來討論如何求得此「質塊彈簧系統」的「自然頻率」,首先,對此「質塊彈簧系統」的「實體結構」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示的「數學模型(mathematical model)示意圖,說明如下:

1.          質塊(mass):假設質塊為「剛體(rigid body),以一個質點「質量」m,代表質塊,SI制單位:kg
2.          彈簧(spring):彈簧以其「彈簧常數(spring constant)k,代表此彈簧的剛性(stiffness)SI制單位:N/m,是彈簧每單位長度變形的受力。也就是彈簧力fs = k*x,其中,x是質塊的位移變形量,「彈簧力」fsx成正比。在相同x位移時,k值,越大,彈簧力fs,就越大。
3.          阻尼元件(damper):為了模擬彈簧的「阻尼效應」,常採用的「阻尼模型(damping model)是「黏滯阻尼模型(viscous damping model),以「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)c,代表此彈簧的「阻尼效應(damping effect)SI制單位:N / m/s = N.s/m,是彈簧變形每單位速度的受力,也就是「彈簧阻尼力」fd=c*v。其中,v是質塊的速度,對質塊位移x取一次微分,可以得到質塊的速度v。作用在質塊的「阻尼力(damping force) fd,和質塊速度v,成正比。「黏滯阻尼係數」c越大,「阻尼效應」越大。

在本單元,先忽略c黏滯阻尼係數」,沒有「阻尼」效應,參閱圖示的「自然頻率」方程式,可知:fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5。也可參考圖示的計算範例,已知:m= 1 (kg)k = 100 (N/m),則「自然頻率」ωn=10 (rad/sec),或fn = 1.5915 (Hz),注意:ωnfn兩者的單位不同,ωnfn兩者的關係:ωn=2πfn,因為,一個圓,轉一圈的徑度是2π。同時,也可以由「自然頻率」fn,推算得到「質塊」的「振動週期Tn = 1/fn = 0.6283 (sec)

到這裡,已經達到本單元的目標,學會如何推算此「質塊彈簧系統」的「自然頻率fn以及「振動週期Tn。在此,補充「ISO系統方塊圖」的理念【甚麼是ISOSPR】、【系統方塊圖】,並以mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」做對應的說明:

1.          Input輸入:主要就是外力f(t)。還包括:質塊的初始位移及初始速度。
2.          System系統:就是mck,三個系統參數。
3.          Output輸出:就是質塊的位移x(t)、速度v(t)、加速度a(t)

在觀察【系統方塊圖】,可以從「物理域(physical domain)觀點,也就是f(t)mckx(t)v(t)a(t)的角度看,以上變數符號都是「物理量(physical quantity)甚麼是「感測器」(sensor)及物理量(physical quantity)】。

另一個角度看,是從「模態域(modal domain),此系統的「模態參數(modal parameter),就是「自然頻率fn及「黏滯阻尼比ξ,本單元介紹的是fnξ另闢單元討論。

由圖示,可知自然頻率fn,和質塊「質量m的根號成反比,和「彈簧常數k的根號成正比,討論如下:

1.      「彈簧常數」k不變:當質塊「質量m增大,則「自然頻率fn減小,「振動週期Tn增大。反之亦然。
2.      質塊「質量」m不變:當「彈簧常數k增大,則「自然頻率fn增大,「振動週期Tn減小。反之亦然。

另外,再由「自然頻率fn 和「質量m及「彈簧常數k的關係,比擬結構的「自然頻率fn特性,會與結構材料的「密度ρ根號成反比,和「楊氏係數E根號成正比。

最後,總結一下,結構「自然頻率」的特徵

1.      每一個結構系統都有它的「自然頻率fn (natural frequency)
2.      不同的結構【幾何形狀尺寸】、【材料】、【結構邊界】,「自然頻率fn會有所差異。
3.      自然頻率fn是固定的、不變的,也有稱為「固有頻率」。

這個單元以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方,對這個「質塊」往下拉一個距離,然後釋放開質塊,由質塊會來回的振盪現象,觀察探討其「振動週期」與系統的「自然頻率」相關。透過「數學模型化」的步驟,合理取得mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的「數學模型」,並由質塊的「質量m,以及彈簧的「彈簧常數k,可以求得「自然頻率fn。並且說明了結構「自然頻率」的特徵。希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解自然頻率」的簡要計算方式與特徵

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.07.04

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