「質塊彈簧系統」是基礎「振動學」中，入門的課程單元之一。本單元來探討，如何計算求得「質塊彈簧系統」的「自然頻率」(natural
frequency)？
如圖示，以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方，如果，對「質塊」施予外力，「質塊」就會來回振盪，可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。
在先前單元：【什麼是「阻尼」(damping)？】，對這個「質塊」往下拉一個距離，然後釋放開「質塊」，由「質塊」來回的振盪現象，探討說明了甚麼是「阻尼」(damping)。不同阻尼，「質塊」振盪的「振動週期」，有相同的現象，這和「自然頻率」相關，本單元，將會解釋說明此現象的原因。
由圖示可知，「質塊」來回振盪，其「位移振幅」完全沒有衰減，也就是「無阻尼」狀態。當「有阻尼」時，「質塊」的來回振盪就會有衰減的現象。同時，也可以觀察到，「質塊」來回振盪有穩定的「振動週期」，Tn，又知道「週期」和「頻率」為倒數關係，所以，「質塊」的「震盪/振動頻率」是fn =1/Tn，其中，fn就是系統的「自然頻率」。
有趣的是，當對這個「質塊」往下拉不同的距離時，「質塊」的振盪幅度會不同，但是，「振動頻率」fn是不會改變的。因為，fn是此「質塊彈簧系統」的「自然頻率」，而且，系統的「自然頻率」是不會受外力影響，而改變的。
接下來，就來討論如何求得此「質塊彈簧系統」的「自然頻率」，首先，對此「質塊彈簧系統」的「實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical modeling)，可以得到如圖示的「數學模型」(mathematical model)示意圖，說明如下：
1.
質塊(mass)：假設質塊為「剛體」(rigid body)，以一個質點「質量」m，代表質塊，SI制單位：kg。
2.
彈簧(spring)：彈簧以其「彈簧常數」(spring constant)，k，代表此彈簧的剛性(stiffness)，SI制單位：N/m，是彈簧每單位長度變形的受力。也就是彈簧力fs = k*x，其中，x是質塊的位移變形量，「彈簧力」fs與x成正比。在相同x位移時，k值，越大，彈簧力fs，就越大。
3.
阻尼元件(damper)：為了模擬彈簧的「阻尼效應」，常採用的「阻尼模型」(damping model)是「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，c，代表此彈簧的「阻尼效應」(damping effect)，SI制單位：N / m/s = N.s/m，是彈簧變形每單位速度的受力，也就是「彈簧阻尼力」fd=c*v。其中，v是質塊的速度，對質塊位移x取一次微分，可以得到質塊的速度v。作用在質塊的「阻尼力」(damping force) fd，和質塊速度v，成正比。「黏滯阻尼係數」c越大，「阻尼效應」越大。
在本單元，先忽略c「黏滯阻尼係數」，沒有「阻尼」效應，參閱圖示的「自然頻率」方程式，可知：fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5。也可參考圖示的計算範例，已知：m= 1 (kg)，k = 100 (N/m)，則「自然頻率」ωn=10
(rad/sec)，或fn = 1.5915 (Hz)，注意：ωn及fn兩者的單位不同，ωn及fn兩者的關係：ωn=2πfn，因為，一個圓，轉一圈的徑度是2π。同時，也可以由「自然頻率」fn，推算得到「質塊」的「振動週期」Tn = 1/fn = 0.6283 (sec)。
到這裡，已經達到本單元的目標，學會如何推算此「質塊彈簧系統」的「自然頻率」fn以及「振動週期」Tn。在此，補充「ISO系統方塊圖」的理念【甚麼是ISO及SPR？】、【系統方塊圖】，並以mck「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」做對應的說明：
1.
Input輸入：主要就是外力f(t)。還包括：質塊的初始位移及初始速度。
2.
System系統：就是m、c、k，三個系統參數。
3.
Output輸出：就是質塊的位移x(t)、速度v(t)、加速度a(t)。
在觀察【系統方塊圖】，可以從「物理域」(physical domain)觀點，也就是f(t)、m、c、k、x(t)、v(t)、a(t)的角度看，以上變數符號都是「物理量」(physical quantity)【甚麼是「感測器」(sensor)及物理量(physical quantity)？】。
另一個角度看，是從「模態域」(modal domain)，此系統的「模態參數」(modal parameter)，就是「自然頻率」fn及「黏滯阻尼比」ξ，本單元介紹的是fn，ξ另闢單元討論。
由圖示，可知「自然頻率」fn，和質塊「質量」m的根號成反比，和「彈簧常數」k的根號成正比，討論如下：
1. 「彈簧常數」k不變：當質塊「質量」m增大，則「自然頻率」fn減小，「振動週期」Tn增大。反之亦然。
2. 質塊「質量」m不變：當「彈簧常數」k增大，則「自然頻率」fn增大，「振動週期」Tn減小。反之亦然。
另外，再由「自然頻率」fn 和「質量」m及「彈簧常數」k的關係，比擬結構的「自然頻率」fn特性，會與結構材料的「密度」ρ根號成反比，和「楊氏係數」E根號成正比。
最後，總結一下，結構「自然頻率」的特徵：
1. 每一個結構系統都有它的「自然頻率」fn (natural frequency)。
2. 不同的結構【幾何形狀尺寸】、【材料】、【結構邊界】，「自然頻率」fn會有所差異。
3. 「自然頻率」fn是固定的、不變的，也有稱為「固有頻率」。
這個單元以一個「質塊」吊掛在「彈簧」的下方，對這個「質塊」往下拉一個距離，然後釋放開質塊，由質塊會來回的振盪現象，觀察探討其「振動週期」與系統的「自然頻率」相關。透過「數學模型化」的步驟，合理取得mck「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的「數學模型」，並由質塊的「質量」m，以及彈簧的「彈簧常數」k，可以求得「自然頻率」fn。並且說明了結構「自然頻率」的特徵。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解「自然頻率」的簡要計算方式與特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.07.04YouTube影片連結
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