首先，參閱圖1以一個「餘弦波」的位移信號為例，可以寫出以下的方程式：x(t)=Xcos(2πft-φ)，或是=Xcos(ωt-φ) ，當寫出一個方程式，可以說這就是其「數學意義」，當然就要了解其中所有「變數」(variable)代表的意義，其中：
1.
x(t)，代表「餘弦波」的位移，x是時間t的函數，代表隨時間t變化的量值。
2.
X，為此「餘弦波」位移的「振幅」(amplitude)，單位：m。
3.
f，為此「餘弦波」位移的「頻率」(frequency)，單位：Hz。
4.
ω=2πf，為此「餘弦波」位移的「圓周頻率」(circular frequency)，單位：rad/sec。
5.
φ，是此「餘弦波」位移的「相位角」(phase angle)，單位：rad。
同時，我們也可以畫出這個「餘弦波」的時間域波形(time waveform)，參閱圖1，可以了解各個參數在時間域波形的關係，也就是「幾何意義」。
圖1為「餘弦波」的幾何示意圖，水平軸為時間t，垂直軸為x(t)，「餘弦波」x(t)呈現波動的特徵，可以觀察出幾個特性：
1.
餘弦波的「振幅」(amplitude)：此波形的最大值為X，最小值為-X，原來方程式中的X，就是+/-之間的最大值及最小值，所以稱為餘弦波的「振幅」。
2.
餘弦波的「週期」(period)：圖示中，波峰到波峰的時間間距為T，因為有重複性的特徵，所以稱T為「週期」。
3.
餘弦波的「頻率」(frequency)：再進一步探討，可以發現：f=1/T，此餘弦波的「頻率」f，會是週期T的倒數。
4.
餘弦波的「相位角」(phase angle)：不同的相位角，則是會使得餘弦波最大值出現在不同的時間點，此時間差如圖示為φ/ω。
由以上對「餘弦波」在時間域的圖示說明，可以看出波形的特徵，可以說就是此「餘弦波」的「幾何意義」。在此，我們假設x(t)是「位移」的信號，所以這個「餘弦波」的「物理意義」就是「位移」了。
回顧了「餘弦波」的「數學意義」、「幾何意義」及「物理意義」，接著參閱圖2來探討：如何表示「位移」的振動量大小呢？
參閱圖2如前述，「餘弦波」的「位移」信號為x(t)=Xcos(2πft-φ)，表達「位移」的振動量大小有幾種方式：
1. 峰值(peak)：Xpeak=X。
2. 波峰至波峰值(peak-to-peak)：Xp-p=X。
3. 平方平均根值 (root mean
square, RMS)：Xrms=X/sqrt(2)=0.707X。
4. 平均值(averaged)：Xavg=0。
以上4種「位移」振動量值的表示方式，peak 及 peak-to-peak的定義很直觀，只要了解「餘弦波」的定義，就能理解。
如何求得Xrms呢？先對信號取平方、再取平均、再開根號，所以稱為「平方平均根值」，或可簡稱「方均根值」，不宜稱為「均方根值」，因為對信號處理的次序不正確了。
在此需注意：Xrms=X/sqrt(2)=0.707X，僅適用於「正弦波」及「餘弦波」單一頻率的信號，如果是任意的隨機信號，必須對實際的信號：取平方、再取平均、再開根號，才能正確取得Xrms「平方平均根值」。
由於振動信號，不管是「位移」、「速度」、「加速度」，其「平均值」大都為零，所以，幾乎不以「平均值」當作振動的大小量值。這也間接說明，以Xrms「平方平均根值」為「振動量值」的潛在意義！
綜合來說，表達一個結構的「振動量」，也就是「振動大小」的方式：
2. 選擇適當的「量值」：此「量值」包括：(1)peak、(2)peak-to-peak、以及(3)RMS值。在「位移」時，除了RMS值，peak-to-peak也是常用的「量值」。在「速度」或「加速度」則多以RMS值表達，也有以peak表示。總之，仍須注意標示的「量值」形式。
本單元探討了表達「振動大小」的「振動量」時，要注意選用的「物理量」，以及所選用的「量值」。
在實務上，例如：機器「振動量」的驗收標準，就要明確的敘明是哪一個「物理量」。如果是「位移」，就要確認是哪一個「量值」：Xpeak、Xp-p、或是Xrms，否則將會引起爭議，因為3種「量值」的差異是：X、2X、或是0.707X。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.02.08
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圖1、餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義？
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| 圖2、如何表示「位移」的振動量大小？ |
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