《振動噪音科普專欄》對一個信號進行頻譜分析，可以得到甚麼？

在【典型的振動噪音量測信號之物理量是甚麼？】單元，介紹了典型的振動噪音量測「感測器」，包括：力轉換器、加速度規、及麥克風。對應量測到的「物理量」，分別是：力、加速度、及聲音壓力。這三個物理量，分別對應的是：作用在鼓鈸結構的打擊力、鼓鈸結構振動的響應、以及空氣波動的聲音壓力響應。

當取得了量測信號，要對信號進行FFT「頻譜分析」，簡單的說：FFT是將一個時間域的信號，轉換到頻率域。【甚麼是頻譜分析？】：頻譜分析(spectral analysis)，主要是應用快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算，將時間域的信號，p(t)，轉換到頻率域，得到此信號的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，P(f)，以對信號作進一步的解析觀察。

那麼除了「傅立葉頻譜」之外，還有哪些「頻譜」呢？進行「頻譜分析」，一般有興趣的「參數」有那些呢？這個單元就來信號的時間域波形(time waveform)、傅立葉頻譜(Fourier spectrum)、自身功率頻譜(auto power spectrum)、三分之一八音頻帶頻譜(one third octave band spectrum)、位準(Level)的三種「頻譜」以及「位準」參數名詞的基本概念。

由【甚麼是ISO及SPR？】單元，SPR分別是：

1.          Source 振動或噪音源。

2.          Path是傳遞路徑。

3.          Receiver是接受者，也可以說是Response響應。

參閱圖示的鼓鈸結構，係由結構振動所引發的聲音。當以衝擊錘敲擊鼓鈸，可以量測到所施加的外力f(t)，進而引發鼓鈸結構的振動，可以再深入解剖SPR為兩個階段，Path傳遞路徑可以區分出：

(1)    結構路徑Structural Path：在結構上的振動響應Response，通常藉由加速度規(accelerometer)量測得到加速度a(t)。當然，也可由速度計量測結構的速度v(t)，或由位移計來量測結構的位移x(t)。

(2)    空氣路徑 Air Path：在空氣中的聲音響應Response，通常藉由麥克風(microphone)量測得到聲音壓力p(t)。

參閱圖示可知，當量測到f(t)、a(t)、v(t)、x(t)、p(t)的「時間域波形」信號，可以透過頻譜分析及信號處理，取得三種「頻譜」以及一個「位準」的數值，以f(t)為例，說明如下：

1.      Fourier spectrum傅立葉頻譜：理論上，是由「時間域波形」信號，如f(t)，以傅立葉轉換(Fourier transform)取得傅立葉頻譜F(f)。在此須注意：傅立葉頻譜是複數(complex number)。理論上，傅立葉轉換的積分上下限是無窮大及無窮小，在實務上，則採用離散傅立葉轉換(discrete Fourier transform, DFT)、或以快速傅立葉轉換(FFT)做數值運算，以取得F(f)。可參閱：【甚麼是頻譜分析？】

2.      Auto power spectrum自身功率頻譜：係由傅立葉頻譜F(f)，取其共軛複數(complex conjugate) F*(f)，可以推算得到自身功率頻譜Gff(f)=F*(f)F(f)。讀者可參閱：【傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同？】。另外的補充說明，自身功率頻譜，有多種說法，如auto PSD係指auto power spectral density function、auto spectrum、power spectrum，對應的中文為：自身功率頻譜密度函數、自身頻譜、功率頻譜。

3.      One-third octave band spectrum三分之一八音頻帶頻譜：在先前單元【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave band)？】就介紹了1/3 octave band的「中心頻率」、「下限頻率」及「上限頻率」定義。三分之一八音頻帶頻譜的變數符號寫成Gff,1/3(fc)，其中，fc就是「中心頻率」，代表f(t)信號在此「中心頻率」頻帶的總量大小。Gff,1/3(fc)係由自身功率頻譜Gff(f)運算處理而取得，如何取得再另闢單元討論。

4.      Level位準：「外力位準」的變數符號寫成Lf，當表示成「位準」，其單位為dB。不同物理量之「位準」dB的定義可參考：【甚麼是dB？】。

介紹到這裡，從「時間域波形」信號，到取得三種「頻譜」及一個「位準」數值，如前述所列，並沒有冠上「物理量」的「物理意義」(physical meaning)。因此，不管是time waveform時間域波形、Fourier spectrum傅立葉頻譜、auto power spectrum自身功率頻譜、One-third octave band spectrum三分之一八音頻帶頻譜、Level位準，都只能說是「數學意義」(mathematical meaning)。

當信號處理的對象是外力f(t)、加速度a(t)、速度v(t)、位移x(t)、聲音壓力p(t)，得到了對應的三種「頻譜」及「位準」數值，才會分別冠上「物理量」，此時的「頻譜」及「位準」就有其「物理意義」了。

以下彙整本單元討論之所有變數符號，以及對應的中英文「物理意義」，提供讀者參考：

1.      外力，force：

f(t)：外力時間域波形，force time waveform

F(f)：外力傅立葉頻譜，force Fourier spectrum

Gff(f)：外力自身功率頻譜，force auto power spectrum

Gff,1/3(fc)：外力三分之一八音頻帶頻譜，force 1/3 octave band spectrum

Lf：外力位準，force level

2.      加速度，acceleration：

a(t)：加速度時間域波形，acceleration time waveform

A(f)：加速度傅立葉頻譜，acceleration Fourier spectrum

Gaa(f)：加速度自身功率頻譜，acceleration auto power spectrum

Gaa,1/3(fc)：加速度三分之一八音頻帶頻譜，acceleration 1/3 octave band spectrum

La：加速度位準，acceleration level

3.      速度，velocity：

v(t)：速度時間域波形，velocity time waveform

V(f)：速度傅立葉頻譜，force Fourier spectrum

Gvv(f)：速度自身功率頻譜，force auto power spectrum

Gvv,1/3(fc)：速度三分之一八音頻帶頻譜，force 1/3 octave band spectrum

Lv：速度位準，force level

4.      位移，displacement：

x(t)：位移時間域波形，displacement time waveform

X(f)：位移傅立葉頻譜，displacement Fourier spectrum

Gxx(f)：位移自身功率頻譜，displacement auto power spectrum

Gxx,1/3(fc)：位移三分之一八音頻帶頻譜，displacement 1/3 octave band spectrum

Ld：位移位準，displacement level

5.      聲音壓力，sound pressure：

p(t)：聲音壓力時間域波形，sound pressure time waveform

P(f)：聲音壓力傅立葉頻譜，sound pressure Fourier spectrum

Gpp(f)：聲音壓力自身功率頻譜，sound pressure auto power spectrum

Gpp,1/3(fc)：聲音壓力三分之一八音頻帶頻譜，sound pressure 1/3 octave band spectrum

Lp：聲音壓力位準，sound pressure level

本單元花了大篇幅，寫出典型振動噪音量測的「物理量」，包括：外力、加速度、速度、位移、及聲音壓力，所對應的三種「頻譜」以及「位準」，包括其變數符號及其中英文名稱，目的是在提醒讀者，「數學意義」與「物理意義」之間的差異。後續的單元將探討實際物理量信號的案例，以及說明取得三種「頻譜」及其「位準」的工作原理。

本單元介紹了三種「頻譜」以及「位準」的「頻譜分析」流程，著重在名詞的介紹，並區別出「數學意義」及「物理意義」。希望由本單元的探討，讀者能夠進一步了解對一個信號進行「頻譜分析」可以得到三種「頻譜」以及「位準」的基本理念。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2019.04.18

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