《振動噪音科普專欄》頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？

「頌缽」(singing bowl)是一種常見的宗教法器，也有用於身心靈療法，以工程角度來說，「頌缽」就是一種打擊樂器。這個單元就來探討「頌缽」的「發聲頻率」和「振動模態」(vibration modes)的關係？

首先，請讀者觀看影片，可以聆聽圖示中「頌缽」的聲音，由上方圖示，可以看到此聲音的「時間波形」(time waveform)，由其響應特徵可以知道是beating sound，稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」，讀者可參閱先前單元：【甚麼是重擊現象(beating phenomenon)？】。

在「時間波形」有這種「重擊現象」的聲音，通常是有兩個頻率相近的聲音所合成之組合。接著，就對此「時間波形」進行「頻譜分析」(spectral analysis)，可以得到如下方圖示的「聲音頻譜」(sound spectrum)，其頻譜特徵討論如下：

1.      多個「峰值」(peaks)：如箭頭指出，共有8個peak frequencies。

2.      第一個「峰值」：實際上有兩個頻率，分別為118.4 Hz及120.2 Hz，這兩個頻率就是造成「重擊現象」的主要原因。觀察「時間波形」在2秒到4秒之間，有3個波動，也就是波動頻率是3/(4-2)=1.5 Hz。而118.4 Hz及120.2 Hz的差值是1.6 Hz，就是形成此beating sound的主因。

3.      第二個「峰值」：也有兩個頻率，分別為361.7 Hz及36.3.4 Hz，其聲音貢獻度與第一個「峰值頻率」相當。

4.      其他高頻率的「峰值」：其「振幅」(amplitude)有逐漸遞減的趨勢，也就是對聲音的貢獻度越小。

其次，因為「頌缽」是一種打擊樂器，每個「發聲頻率」會和結構的「振動模態」有關，彙整一下「振動模態」的同義詞如下：

1.      Vibration modes 振動模態。

2.      Natural modes of vibration 振動自然模態。

3.      Modal parameters 模態參數。

其中，「模態參數」包括三個重要參數：

(1)   Natural frequency 自然頻率/固有頻率：「聲音頻譜」中的「峰值頻率」就對應於結構的「自然頻率」。

(2)   Mode shape 模態振型：每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。

(3)   Modal damping ratio模態阻尼比：「時間波形」除了beating現象外，還有明顯的「衰減」現象，這就是「模態阻尼比」的效應。

參閱「聲音頻譜」圖示上方的「模態振型」動畫或圖示，係分別由EMA「實驗模態分析」及FEA「有限元素分析」，所求得此「頌缽」的「振動模態」，包括：(1)Natural frequency 自然頻率/固有頻率。(2)Mode shape 模態振型。綜合討論如下：

1.      「模態振型」的解讀：係以(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)到(1,9)表示，物理意義是「環模態」(ring modes)，從最低頻率的「振動模態」是118.4 Hz，最高為3357.8 Hz。

2.      分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型」：可以看出來兩兩有明確的對應，可以相互比對觀察其「模態振型」的物理意義。

3.      「頌缽」的「環模態」(ring modes)：由於敲擊「頌缽」外環的上緣位置，所以激發的「振動模態」，其「模態振型」都是「環模態」。

4.      「軸對稱模態」(axis-symmetric modes)：由於「頌缽」是個碗形結構，如果是完美的真圓，就是「軸對稱」結構，就會有「軸對稱模態」，其主要特徵是有兩個「振動模態」，其「自然頻率」會相等，而兩個「模態振型」則呈現90度相位差異，並有相同的「模態振型」物理意義。

5.      非真圓結構的「頌缽」：使得「軸對稱模態」的兩個「自然頻率」，很相近但是不相等，如前述為118.4 Hz及120.2 Hz。

6.      聲音響應的高貢獻「振動模態」：通常越低頻率的「振動模態」，有較高的聲音響應貢獻度。在此「頌缽」，前兩個「峰值頻率」118.4 Hz及361.7 Hz有較高的貢獻度。越高頻率的「振動模態」之聲音特徵也可觀察到，但是對聲音的實際貢獻度不大。

綜合一下本單元的討論，此「頌缽」的聲音特徵，以及與「振動模態」的關聯性：

1.      聲音的「主觀評價」：有嗡嗡的聽感，就是beating sound，稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」。

2.      聲音的「時間波形」：可以觀察到有典型的「重擊現象」波形特徵。

3.      「聲音頻譜」：每一個「峰值頻率」就是對應於結構的「自然頻率」。而每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。

4.      此「頌缽」的「發聲頻率」：主要是來自「環模態」(ring modes)的「自然頻率」。可分別由分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型」，觀察出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)到(1,9)的「振動模態」特徵。

5.      對聲音有高貢獻度的「振動模態」：主要是低頻率的「振動模態」，來自前兩個「峰值頻率」118.4 Hz及361.7 Hz有較高的貢獻度。

6.      「頌缽」的「軸對稱模態」：由於不是真圓，所以會有兩個「自然頻率」為118.4 Hz及120.2 Hz，很相近但是不相等，因而使得有beating sound的「重擊音」效應。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2020.06.02

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